ObzornLekcMAN

Содержание

6

Ï

ìåðû

функции ряд Тейлора

акт которые должен знать

1 5

7

Интеграл

разложенияРимана его свойства

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический

ряд. Ряд Фурье

Теоремы иформулы, которые необходимостудентзнать доказательством

9. Двойной интеграл. Вычисл ние интеграла

сходи

10. Функциональный ряд. Точечная и равномерная

Вычисление интеграла по прямоугольнику

Пусть прямоугольник A = [a; b] [c; h]. Функция f 2 R(A), и

при каждом фиксированном x 2 [a; b]

существует

g(x) = R h f(x; y)dy. Тогда существует повторный интеграл

Rab dx Rchcf(x; y)dy = RRA f(x; y)dxdy

Интеграл Римана по ограниченному множеству

.

Пусть E ограниченное множество в

R

2

, функция f : E !

R

Существует прямоугольник A: E A. Рассмотрим функцию

Ff (~x) =

(f(~x);

~x 2 E;

Будем говорить, что f интегрируема

0;

~x 2= E

по Риману на E, если F

2 R(A). При этом считаем

RE f(x)dx = RA Ff (x)dxf

Содержание

6

Ï ìåðû

функции ряд Тейлора

акт которые должен знать

1 5

7

Интеграл разложенияРимана его свойства

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Теоремы иформулы, которые необходимо

студентзнать

доказательством

9.

Двойной интеграл. Вычисл ние интеграла

10. Функциональный ряд. Точечная и равномерная сходи

Вычисление интеграла по правильному множеству

Пусть E = (x; y) 2

R

2 : a

6

x

6

b; '(x)

6

y

6

(x)

фигура, правильная в направлении оси ординат. Функция

f 2 R(E), для каждого x 2 [a; b] существует

(x)

b

(x)

R

RR

R

R

f(x; y)dy

g(x) = '(x) f(x; y)dy. Тогда

E

f(x; y)dxdy = a

dx'(x)

Содержание

6

Ï

ìåðû

функции ряд Тейлора

акт которые должен знать

1 5

7

Интеграл разложенияРимана его свойства

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический

ряд. Ряд Фурье

Теоремы иформулы, которые необходимо

студентзнать доказательством

9. Двойной интеграл. Вычисл ние интеграла

Функциональный ряд

N

10. Функциональный ряд. Точечная и равномерная

сходи

Пусть функции u

k

(x) (k 2

) определены на множестве E.

P1

Функциональным рядом называется

k=1 uk(x)

Поточечная сходимость функциональной последовательности

Функциональная последовательность

uk(x)

1

называется

сходящейся точке x

k=1

2 E, если сходится числовая

последовательность uk(x0)

0

Поточечная сходимость функционального ряда

Функциональный ряд

P1

u

k

(x) называется сходящимся в

k=1

P1

точке x0 2 E, если сходится числовой ряд

k=1 uk(x0)

Содержание

6

Ï ìåðû

функции ряд Тейлора

àêò

которые должен знать

1 5

7

Интеграл разложенияРимана его свойства

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический

ряд. Ряд Фурье

Теоремы иформулы,

которые необходимостудентзнать

доказательством

9. Двойной интеграл. Вычисл ние интеграла

10. Функциональный ряд. Точечная и равномерная

сходи

Сходимость на множестве функциональной последовательности

последовательность uk(x) 1

называется

Функциональнаясходящейся множестве E, если она сходится в каждой точке

этого множества

k=1

Сходимость на множестве функционального ряда

Функциональный ряд

P1

uk(x) называется сходящимся на

k=1

множестве E, если он сходится в каждой точке этого множества

Частная сумма

Сумма Sn(x) = Pn

uk(x) называется n-й частной суммой

P1

k=1

ðÿäà

k=1 uk(x)

Содержание

6

Ï ìåðû

функции ряд Тейлора

àêò

которые должен знать

1 5

7

Интеграл разложенияРимана его свойства

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический

ряд. Ряд Фурье

Теоремы иформулы, которые необходимостудентзнать

9. Двойной интеграл. Вычисл ние интеграла

доказательством

сходи

10. Функциональный ряд. Точечная и равномерная

Равномерная сходимость функциональной последовательности

Пусть

u

k

(x)

1

и u(x) заданы на множестве E. Будем

k=1

говорить, что указанная последовательность сходится к

функции u равномерно на E

>

u (x)

E u(x),

k ! 1), если 8" > 0 9N("): 8(обозначениеk N ") 8xk 2 E выполняется

неравенство uk(x) u(x)

< "

Последовательность называется равномерно сходящейся на

множестве E, если существует функция u, к которой она

равномерно сходится

Равномерная сходимость функционального ряда

Ðÿä P1

uk(x) называется равномерно сходящимся на

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНе бходимыеЛейбница дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

Предел функции в точке

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

0(x ). Число

Пусть функция f определена в некоторой

B

A называется пределом функции f в точке x0 0(обозначение

lim f(x) = A), если 8" > 0 9 (") > 0: 8x, для которого

x!x

0 <0jx x0j < , выполняется jf(x) Aj < "

Непрерывность функции в точке

Функция f, определенная в некоторой окрестности точки x

называется непрерывной в точке x

0

, åñëè

lim f(x) = f(x

0

)0

Непрерывность на множестве

x!x0

Функция f

непрерывной на множестве D, если она

непрерывнаназываетсякаждой точке этого множества

(обозначение

f 2 C(D))

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНе бходимыеЛейбница дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНе бходимыеЛейбница дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

О сохранении неравенства

B

Пусть функция f непрерывна в точке x0

, причем f(x0) =6 0.

Тогда найдется окрестность этой точки

(x0), значения

функции в которой имеют тот же знак, что и значение f(x0)

Больцано Коши о промежуточных значениях

Пусть f 2 C[a; b], f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа

C, лежащего между A и B, найдется точка 2 [a; b]: f( ) = C

В основе

доказательства лежит метод

Теорема лежитконструктивногооснове метода интервалов

половинного деления

принцип вложенных отрезков.

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНе бходимыеЛейбница дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

Вейерштрасса, I и II

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

Пусть f 2 C[a; b]. Тогда выполняются следующие условия.

I. f ограничена на [a; b], то есть найдется число C > 0:

8x 2 [a; b] jf(x)j

6

C.

II. f достигает на [a; b] своих верхней и нижней граней, то есть

найдутся xm; xM

2 [a; b]: f(xm) = m = infff(x); x 2 [a; b]g,

f(xM ) = M = supff(x); x 2 [a; b]g

неограниченность

I. Доказываем от противного. Предположимk

1

функции и построим fxngn=1: jf(xn)j > n. Выделив из нее

сходящуюся

xn ! x0 2 [a; b] получим

противоречиеподпоследовательностьнепрерывностью f в x0

II. Предположим f(x) < M 8x 2 [a; b] и рассмотрим

0 < g(x) = 1= M f(x) 2 C[a; b] и по доказанному

I,

определениюg(x) C, откудаM

f(x)

6

M (1=C), что противоречит

6

Содержание

1

Непрерывные функции. Свойства функций непрерывн

,

1 5

2

Локальный экстремум функций одной переменной. Не

Понятия и акты, которыедолжензнатьстудент6 10

3

Интеграл Римана. Формула

5.

Формула Тейлора. Ряд Тейлора.НьютонаНе бходимыеЛейбница дост

Теоремы иформулы, которые необходимо знать с доказательств м

4

Дифференцируемость функции неск льких переменны

Точки экстремума

x ). Тогда точка

Пусть функция f определена в некоторой

x0 называется точкой максимума (соответственно минимума)

B

0

R

0 (x0)

функции f, если существует 2 (0; R), что для всех x 2

B

выполняется f(x) < f(x0) (соответственно f(x) > f(x0). Точки

минимума и максимума называются

экстремума

(строгого, а если неравенства нестрогие,точкаминестрогого)

Экстремумы функции

Значение функции в точке экстремума называется

экстремумом функции, соответственно локальным максимумом

или минимумом, обозначается fmax (fmin)