1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

Понятия

Содержание

2

. Îñíîвные методыдиффереíтегри

акты, которые должен знать студент 6 10

4

НеопределенныйКрив линейный интегинтеграл. Формула Грина

акт , которые должен знать студент 1 5

3

Числ вой ряд. Сходимость

Теоремыиформулы, которые необходимо знать с доказательством

5. Формула и ряд Тейлора

Критерий

представимости функции рядом Тейлора

B

1

B

Пусть f 2 C

B

R(x0) . Тогда f можна представить рядом

Тейлора

(x ) тогда и только тогда, когда 8x 2

(x )

выполняется

lim r (x) = 0

R 0

R

0

n

ДостаточноеB

n!1

условие разложения в ряд ТейлораB

Пусть f бесконечно дифференцируемая в

R

(x

0

), и существует M > 0, что для всех xокрестности2 (x ) всех

n = 0; 1; 2; : : : выполняется f(n)

(x)

6

Mn. Тогда в

B

R(x0)

функция f раскладывается в ряд Тейлора

Содержание

6

П меры разложения функции в ряд Тейлора

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

àêò

которые должен знать

1 5

7

Интеграл Римана его свойства

Теоремы иформулы,

которые необходимостудентзнать

доказательством

9. Двойной интеграл. Вычисл ние

10. Функциональный ряд. Точåчнаяинтеграларавномерная сходи

Примеры

разложений в ряд Тейлора

x

P1

x

e =

k

, x 2 ;

k=0 k!

R

k

Rk

sin x = P1

( 1)

x2

+1

, x 2

R

;

k=0

(2k+1)!

cos x =

P1

( 1)

k

x2

k

,

x 2

;

k=0

(2k)!

P1

( 1):::( n+1)

(1 + x) = 1 +

xk, x 2 ( 1; 1);

k=1

k

+1x

k

k!

ln(1 + x) =

P1

( 1)

, x 2 ( 1; 1].

k=1

k

Содержание

6

П меры разложения функции в ряд Тейлора

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

акт которые должен знать

1 5

7

Интеграл Римана и его свойства

Теоремы иформулы, которые необходимостудентзнать

доказательством

9.

Двойной интеграл. Вычисл ние

сходи

Криволинейная

10. Функциональный ряд. Точåчнаяинтеграларавномерная

Содержание

6 П меры разложения функции в ряд Тейлора

акт которые должен знать

1 5

7 Интеграл Римана и его свойства

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8 Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

9. Двойной интеграл. Вычисл ние

Теоремы иформулы, которые необходимостудентзнать доказательством

сходи

Разбиение

10. Функциональный ряд. Точåчнаяинтеграларавномерная

Разбиением отрезка [

b] называется система точек

[a; b] = fxkgn

, ãäåa; = x0 < x1

< x2 < : : : < xn 1 < xn = b.

k=0

Длина отрезка разбиения xk = xk xk 1, k = 1; 2; : : : ; n

Мелкость разбиения

Диаметром или мелкостью разбиения называется величина

d( ) = maxf xk; k = 1; 2; : : : ; ng

Интегральная сумма

Пусть функция f определена на отрезке [a; b]. Рассмотрим

разбиение [a; b] и систему точек : = f kgn

, k 2 [xk 1; xk].

k=1

Содержание

6

П меры разложения функции в ряд Тейлора

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

акт которые должен знать

1 5

7 Интеграл Римана и его свойства

Теоремы иформулы,

которые необходимостудентзнать доказательством

9. Двойной интеграл. Вычисл ние

сходи

Интеграл Римана

10. Функциональный ряд. Точåчнаяинтеграларавномерная

Интегралом Римана (определенным интегралом) функции f на

отрезке [a; b]

R b f(x

x) называется предел

(обозначениесумм f; ; )a при )d( ) ! 0 если он существует,

интегральныхконечен не зависит от выбора системы точек .

Определение интеграла на языке "

Число A = R b f(x)dx, åñëè 8" > 0 9 (") > 0: 8 [a; b]: d( ) < ,

8 ) j (f; ;a ) Aj < "

Интегрируемая функция

Функция f называется интегрируемой по Риману на отрезке

[a; b] если существует число A =

Rab f(x)dx. Множество

âñåõ

Rфункций,[a; b]

интегрируемых по Риману на [a; b], обозначается

Содержание

6

П меры разложения функции в ряд Тейлора

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

àêò

которые должен знать

1 5

7 Интеграл Римана и его свойства

Теоремы иформулы, которые необходимостудентзнать доказательством

9.

Двойной интеграл. Вычисл ние

сходи

Свойства интеграла Римана

10. Функциональный ряд. Точåчнаяинтеграларавномерная

f 2 R[a; b] ) f ограничена на [a; b].

f монотонна на [a; b] ) f 2 R[a; b]

f 2 C[a; b] ) f 2 R[a; b].

R b dx = b a.

fa2 R[a; b] ) 8[c; h] [a; b] f 2 R[c; h]

\ R[c; b]. Тогда f 2 R[a; b] и

Пусть a < c < b, f 2 R[a; c]

R

Rab f(x)dx = Rac f(x)dx + Rcb f(x)dx.

f; g 2 R[a; b]. Тогда 8 ; 2

f + g 2 R[a; b] è

R b f(x) + g(x) dx = R b f(x)dx + R b g(x)dx.

a

>

a

a

>

f; g 2 R[a; b]. Тогда f g 2 R[a; b].

f 2 R[a; b], f(x)

0 на [a; b]. Тогда

Rab f(x)d

x

0.

Содержание

6

П меры разложения функции в ряд Тейлора

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

акт которые должен знать

1 5

7 Интеграл Римана и его свойства

Теоремы иформулы, которые необходимостудентзнать

доказательством

9. Двойной интеграл. Вычисл ние

Свойства интеграла Римана

10. Функциональный ряд. Точåчнаяинтеграларавномерная сходи

R b f(x)dx =6 R a f(x)dx.

fa2 R[a; b] ) jfbj 2 R[a; b]. Ïðè ýòîì åñëè a < b, òî

Rab f(x)dx

Rab jf(x)jdx.

Пусть f 2 R[a; b], функция g отличается от f на [a; b]

конечном числе точек. Тогда g 2 R[a; b], и выполняется

равенство Rab g(x)dx =

Rab f(x)dx.

f 2 C[a; b], g 2 R[a; b]

и не меняет знака на [a; b]. Тогда

существует 2 (a; b): R b f(x)g(x)dx = f( ) R b g(x)dx.

a

a

Пусть f 2 R[a; b], F непрерывная на [a; b] первообразная

f на (a; b). Тогда

R b

b

a f(x)dx = F (x) a= F (b) F (a)

Содержание

6

Ï ìåðû

функции ряд Тейлора

àêò

которые должен знать

1 5

7

Интеграл разложенияРимана его свойства

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический

ряд. Ряд Фурье

Теоремы иформулы, которые необходимостудентзнать

9. Двойной интеграл. Вычисл ние

доказательством

сходи

Тригонометрическая система

10. Функциональный ряд. Точåчнаяинтеграларавномерная

Пусть ! > 0. Система функций

f1; cos !x; sin !x; cos 2!x; sin 2!x; : : :g называется

тригономеòðической системой с общим периодом T = 2 =!

Тригонометрический ряд

Ðÿä âèäà a0

+ P1

ak cos k!x + bk sin k!x называется

2

k=1

тригонометрическим рядом

Ряд Фурье

Пусть функция f периодическая с периодом T , f 2 R[0; T ].

2

R T

f(x) cos k!xdx (k = 0; 1; 2; : : :),

Èíòåãðàëû ak = T

0

bk = 2

R T f(x) sin k!xdx (k = 1; 2; : : :) называются

åå

T

0

Содержание

6

Ï ìåðû

функции ряд Тейлора

àêò

которые должен знать

1 5

7

Интеграл

разложенияРимана его свойства

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Теоремы иформулы,

которые необходимостудентзнать доказательством

9. Двойной интеграл. Вычисл ние интеграла

сходи

Прямоугольник и его разбиение

10. Функциональный ряд. Точечная и равномерная

2 называется

Пусть a < b,

< h. Прямоугольн ком в

A = [a; b] [c; h]. Если есть разбиения

R

a; b] = fa = x0

< x1

< : : : < xn = bg,

[c; h] = fc = y0

< y1 < : : : < ym = hg, то разбиением (A)

называется совокупность всевозможных прямоугольников

(A) =

[xj 1; xj] [yk 1; yk]

n

m

j=1k=1. Их конечное число

p = n m. Перенумеруем их произвольным образом:

p

(A) = fAqgq=1

длина диагонали

Обозначим d(A ) = sup j zj: ; z 2 A

k

прямоугольникаq A ,

jAqj = [xj 1

; xj] q [yk 1; yk] =

(xj xj 1) (yk

yk

1)

объем Aq

Содержание

6

Ï ìåðû

функции ряд Тейлора

акт которые должен знать

1 5

7

Интеграл разложенияРимана его свойства

Понятия и акты, которые должен знать студент 6 10

8

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Теоремы иформулы, которые необходимостудентзнать

доказательством

9. Двойной интеграл. Вычисл ние интеграла

сходи

Диаметр разбиения

10. Функциональный ряд. Точечная и равномерная

Диаметром разбиения называется величина

d( ) = max d(Aq); q = 1; 2; : : : ; pg

Интегральная сумма

Пусть функция f определена на прямоугольнике A. Рассмотрим

разбиение (A) и систему точек : = f qgp

, q 2 Aq.

q=1

Интегральной суммой функции f, соответствующей разбиению

и системе точек , называется (f; ; ) =

Pp

q=1 f( q) jAqj

Интеграл Римана по прямоугольнику

Интегралом Римана от функции f по прямоугольнику A

(обозначение RA f(x)dx èëè RRA f(x; y)dxdy)

называется

предел интегральных сумм (f;

; ) ïðè d( ) !

0 åñëè îí

существует, конечен и не зависит

от выбора системы точек