ObzornLekcMAN

Содержание

1

Пр изводная, дифференцируем сть и диффере циал.

Понятия

акт , которые должен знать студент 1 5

2

Неопределенный интеграл.

Основные методы интегри

акты, которые должен знать студент 6 10

3

Числ вой ряд. Сходимость

5.

Формулалинейныйряд Тейлоðà

Теоремыиформулы, которые необходимо знать с доказательством

интег л. Формула Грина

4

Êðèâ

интегрирование по частям

Если u v дифференцируемы и существует один из

интегралов R udv èëè R vdu, то существует и другой, и имеет

место равенство

R udv = uv R vdu

)

R

x sin xdx =

(

u = x;

du = dx

=

dv = sin xdx;

v = cos x

Содержание

1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

акт , которые должен знать студент 1 5

2

Неопределенный

. Îñíîвные методыдиффереíтегри

5.

КриволинейныйФормула ряд Тейлоинтеграл

Понятия

акты, которые должен знать студент 6 10

3

Числ вой ряд. Сходимость

Теоремыиформулы, которые необходимо знать с доказательством

интег

. Формула Грина

Числовой ряд

4

Пусть дана последовательность действительных чисел fu g1 .

Выражение P1

uk

называют числовым рядом, а числа ku1k,=1

k=1

u2

, . . . членами ряда

Частная сумма ряда

Сумму первых n

,членовт. . S

ряда называют n-той частной суммой

и обозначают S

n

= u

1

+ u

2

+ : : : + u

n

= Pn

u

k

n

k=1

Сходимость ряда

Ðÿä P1

uk

называется сходящимся, если существует

k=1

конечный

предел limn!1 Sn

= S. Число S

этом случае

íå

называется суммой ряда. Если

последовательность

f

Sng1

имеет конечного предела, то говорят, что ряд расходитсяn=1

Содержание

1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

акт , которые должен знать студент 1 5

2

Неопределенный

. Îñíîвные методыдиффереíтегри

5.

КриволинейныйФормула ряд Тейлоинтеграл

Понятия

акты, которые должен знать студент 6 10

3

Числ вой ряд. Сходимость

Теоремыиформулы, которые необходимо знать с доказательством

интег

. Формула Грина

Предел последовательности

4

>

Число A называется пределом последовательности fukg1

(обозначение lim u

= A), åñëè 8" > 0 9N("): 8k

k=1

k

N(")

k!1

выполняется juk Aj < "

Необходимое условие сходимости ряда

Åñëè ðÿä

1

сходится, то lim u

= 0

P u

k

k

k=1

k!1

Критерий Коши сходимости ряда

>

N

Ðÿä

P1

uk сходится тогда и только тогда, когда для него

k=1

выполняется условие Коши: 8" > 0 9N(") : 8n

N(

") 8p 2

P

)

n+p

< "

k=n+1 uk

Содержание

1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

Понятия

акт , которые должен знать студент 1 5

2

Неопределенный интеграл. Оснîвные методыдиффереíтегри

акты, которые должен знать студент 6 10

3

Числ вой ряд. Сходимость

4

Криволинейный интег л. Формула Грина

Теоремыиформулы, которые необходимо знать с доказательством

5.

Формула и ряд Тейлора

Криволинейный6 6

интеграл первого рода

Пусть спрямляемая кривая задана уравнением ~r = ~r(s)

0

s S, где s переменная длина дуги этой кривой. Тогда,

если на кривой определена функция F , то число

R S F ~r(s) ds называют

интегралом первого

рода от функции F по кривойкриволинейнымобозначают

R

F ds

0

Формула вычисления

6

6

Пусть гладкая кривая задана

~r = ~r(t) = x(t); y(t); z(t) , a

уравнениемt b, функция F непрерывна

на кривой . Тогда

z

2dt

R F ds = Rab F (x(t); y(t); z(t))p

(x0(t))2 + (y0(t))

2

+ (

0(t))

Содержание

1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

Понятия

акт , которые должен знать студент 1 5

2

Неопределенный интеграл. Оснîвные методыдиффереíтегри

акты, которые должен знать студент 6 10

3

Числ вой ряд. Сходимость

4

Криволинейный интег

л. Формула Грина

Теоремыиформулы, которые необходимо знать с доказательством

5. Формула и ряд Тейлора

Криволинейный интеграл второго рода

Ïóсть гладкая кривая задана уравнением ~r = ~r(s). Тогда

~r

= ~ = (cos ; cos ; cos ) единичный вектор

ê

ds

этой кривой ( , ,

образованные касательнойкасательной

осями Oxуглы,Oy и Oz соответственно).

координатнымиПусть кривой определена вектор-функция F = (P; Q; R)

такая, что для скалярной функции

~

R

~

~

(F ; ~) = P cos + Q cos + R cos существует

(F ; ~)ds.

Тогда это число называют

интегралом второго

рода от функции F по кривойкриволинейнымобозначают

~

R P dx + Qdy + Rdz

Содержание

1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

акт , которые должен знать студент 1 5

2

Неопределенный интеграл. Оснîвные методыдиффереíтегри

Понятия

акты, которые должен знать студент 6 10

3

Числ вой ряд. Сходимость

4

Криволинейный

интег л. Формула Грина

Теоремыиформулы, которые необходимо знать с доказательством

Формула вычисления

5. Формула и ряд Тейлора

t

b, à

6

6

Если гладкая кривая задана уравнением ~r = ~r(t), a

~

вектор-функция F = (P; Q; R) непрерывна на , тогда

R

P dx + Qdy + Rdz =

R

~

R b

~

0

a

(F ; d~r) =

F ; ~r (t) dt =

R bhP x(t); y(t); z(t) x0(t) + Q x(t); y(t); z(t)

y0(t)+

a

+R x(t); y(t); z(t) z0(t)idt

Формула Грина

Пусть граниöà плоской огðаниченной области G состоит из

конечíîãî íабора кусочно гладких кривых. Тогда, если функции

@P

@Q

P; Q; @y

; @x непрерывны в G, то справедлива формула Грина

RR

@Q

@P

R

G

dxdy =

P dx

+ Qdy, где контур

@x

@y

ориентирован так, что при его

обходе область G остается слева

1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

Содержание

2

. Îñíîвные методыдиффереíтегри

Понятия

акт , которые должен знать студент 1 5

3

Числ вой ряд. Сходимость

акты, которые должен знать студент 6 10

4

НеопределенныйКрив линейный интегинтеграл. Формула Грина

Теоремыиформулы,

которые необходимо знать с доказательством

Тейлора

5. Формула и ряд

Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме

Пеано

некоторой окрестности точки

Пусть функциÿ kf(x) определена

x0

, имеет

этой точке производн

ые до порядка n

k

верно равенство

включительно. Тогда при x ! x

0

f(x) =

Pn

f( )(x

)

(x x0)k

(x x0)n

.

k=0

k! 0

+ o

Многочлен Pn(x) =

Pn

f( )

(x0)

(x x0)k

k=0

k!

многочленом Тейлора функции f(x) в точкеназываетсяx , функция

rn

(x) = f(x) Pn(x) остаточным членом n-0го порядка

формулы Тейлора

1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

Понятия

Содержание

2

. Îñíîвные методыдиффереíтегри

акты, которые должен знать студент 6 10

4

НеопределенныйКрив линейный интегинтеграл. Формула Грина

акт , которые должен знать студент 1 5

3

Числ вой ряд. Сходимость

Теоремыиформулы, которые необходимо знать с доказательством

5.

Формула и ряд Тейлора

Разложение по

формуле

Тейлора Маклорена

элементарных

функций. При x ! 0 выполняются равенства

x

x

2

x

n

n

Pn

x

k

n

+

n

k

e

= 1 + x +

+ : : :

+ o x

=

k=0

+ o x

;

x3

2!

x2

n!

n n

2n+2

k!

x2

2n+2

sh x = x+

3!

+: : :+ (2n+1)!

+o

x

=

k=0

(2k+1)!

+o

x

;

n

2n+1

Pn

k

2n+1

x

2

x2

x2

ch x = 1 +

+ : : : +

+ o

=

+ o

x

;

2!

n)!

x

k=0k(2k)!

sin x = x x3

+ : : : +(2 1)nx2n+1

+ o x2n+2

=

x2 +1

3!

(2n+1)!

=

Pn

( 1)

+ o

x2n+2

;

( 1) x2

k=0

(2k+1)!k k

x2

+ : : : +

+ o

x

2n+1

=( 1) x2

cos x = 1 2!

(2n)!

Pn

+ o

x2n+1

;

=

k=0

(2k)!

1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

Содержание

2

. Îñíîвные методыдиффереíтегри

Понятия акты, которые должен знать студент 6 10

4

НеопределенныйКрив линейный интегинтеграл. Формула Грина

акт , которые должен знать студент 1 5

3

Числ вой ряд. Сходимость

Теоремыиформулы,

которые необходимо знать с доказательством

5.

Формула и ряд Тейлора

Разложение по формуле Тейлора Маклорена элементарных

функций. При x ! 0 выполняются равенства

( 1)

( 1):::( n+1)

(1 + x) = 1 + +

x2 + : : : +

xkn + o

xn

;

2!

n!

k

( 1)

1x

ln(1 + x) = x x2 + : : :k+

n

n

+ o xn =

2

n

=

Pn

( 1)

+1x

+ o

xn

;

Pn

k

xk2

2n+2

k=1

k

arctg x =

( 1)

+ o

x

;

k=0

2k+1

arcsin x = x +

Pn

(2k 1)!!

+ o

x2n+2

.

k=1

2 k!(2k+1) x2k+1

1

Пр изводная, дифференцируем сть и

öèàë.

Содержание

2

. Îñíîвные методыдиффереíтегри

Понятия акты, которые должен знать студент 6 10

4

НеопределенныйКрив линейный интегинтеграл. Формула Грина

àêò

, которые должен знать студент 1 5

3

Числ вой ряд. Сходимость

Теоремыиформулы, которые необходимо знать с доказательством

5. Формула и ряд Тейлора

Ряд Тейлора

некоторой окрестности точки x

Пусть функция f определена

0

и имеет в этой точке производные

всех порядков. Тогда ряд

k

P1

f(

)(x0) (x x0)k называется рядом Тейлора функции f в

k=0

k!

точке x0