Лекция 7. Атом. физ

Лекция 7

4. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

4.1. Уравнение Шредингера

Обнаружение волновых свойств микрочастиц показало, что классическая механика не в состоянии описать их поведение. Новая механика, учитывающая эти свойства, была созданная Шредингером, Гейзенбергом, Дираком и др. и получила название квантовой механики.

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера. Подобно уравнению Ньютона в классической механике это уравнение не может быть получено теоретически. Оно является существенно новым принципом, его невозможно вывести логически из старых принципов, в которых он не содержится. Можно, конечно, привести некоторые соображения, объясняющие установление уравнения Шредингера (например, провести разумное обобщение волнового уравнения на случай дебройлевских волн), но подобные обобщения не могут, конечно, служить доказательством этого уравнения. Справедливость же уравнения Шредингера, как и любого исходного положения новой теории, подтверждается согласованием с опытом результатов, получаемых с его помощью.

Заметим, что уравнение Шредингера является нерелятивистским постулатом квантовой механики. В релятивистской области используется

равномерное движение микрочастицы. Основная задача квантовой механики - определение волновой функции частицы, находящейся в заданном силовом поле. Для решения этой задачи и служит уравнение Шредингера

потенциальная энергия частицы.

Как следует из уравнения (4.1) вид волновой функции определяется потенциальной энергией, т.е. характером сил, действующих на частицу. Вообще говоря, U U (r,t) . Для стационарного силового поля U не зависит

явным образом от времени. В этом случае волновая функция состоит из амплитуды (функции, не зависящей от времени) и множителя, периодического по времени (стоячая волна).

Предположим, что содержит время только в множителе типа e i t , тогда распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй – от координат:

(x, y, z,t) е i t (x, y, z) .

Подставим в (4.1):

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. Функция U определяется классически, как будто бы частица никакими волновыми свойствами не обладает.

Полная волновая функция е i t является периодическим решением. Но хотя уравнение Шредингера в некоторых случаях удовлетворяется периодическими решениями, никаких реальных волн, распространяющихся в физической среде, они не описывают. Волновую функцию принципиально нельзя наблюдать - это не физическая величина.

Согласно Борну, волновой функции следует придать статистическую (вероятностную) интерпретацию. При рассмотрении волн деБройля мы показали, что поведение свободного электрона описывается плоской волной де-Бройля, но физический смысл имеет только квадрат амплитуды (интенсивность) этой волны, пропорциональный вероятности выявить частицу в некотором месте пространства (плотность вероятности).

Аналогично этому, квадрат модуля 2 * для любой точки пространства играет роль функции распределения и характеризует плотность

Для стационарных состояний

* e i t ei t * * ,

так что в этом случае плотность вероятности от времени не зависит. Поскольку * интерпретируется как вероятность, необходимо

нормировать функцию так, чтобы вероятность достоверного события равнялась 1, тогда условие нормировки будет иметь вид

Это означает, что частица находится где-нибудь в пространстве.

Перейдем к анализу уравнения Шредингера. По классификации это дифференциальное уравнение второго порядка. На волновую функцию, как решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа Штурма-

Лиувилля должны накладываться следующие условия. Функция должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную, кроме того, должна быть однозначной и конечной во всем пространстве, а также удовлетворять определенным граничным условиям, определяющимся видом функции U (r) .

Эти требования приводят к тому, что решения волновых уравнений существуют не при любых, а только при некоторых значениях параметра, получивших название собственных значений. В данном случае таким параметром является энергия с собственными значениями Е1, Е2, Е3... .

Соответствующие этим собственным значениям решения волнового уравнения 1, 2 , 3 ... называются собственными функциями. Возможные

значения энергии образуют так называемый энергетический спектр. Далее мы увидим, что в случае, когда движение частицы не ограничено в пространстве, её энергетический спектр непрерывный, если ограничено - дискретный.

Таким образом, Шредингер решил проблему квантования энергии системы. В частности для атома водорода собственные значения энергии, как мы покажем позднее, совпадают с теми, что дает теория Бора. Нахождение собственных значений и собственных функций - довольно сложная задача. В дальнейшем мы рассмотрим некоторые наиболее важные в атомной физике случаи движения.

4.2.Операторный метод

Вбольшинстве построений квантовой механики широко используется операторный метод. Под оператором понимают символ, который при действии на функцию некоторых переменных дает новую функцию тех же переменных. Символически это записывается следующим образом:

ˆ , f Q

где ˆ – символическое обозначение оператора.

Q

Под символом оператора прячется совокупность действий, с помощью которых исходная функция превращается в другую функцию f. Например, под символом оператора Лапласа понимается операция

над некоторой функцией . В частности оператор может определять произведение исходной функции на некоторую функцию Q. Тогда

Тогда уравнению Шредингера можно придать вид

Рассмотрим элементы алгебры операторов.

ˆˆ

1.Под суммой операторов A B понимают такой оператор, действие

В квантовой механике применяются только линейные операторы. Возвратимся к уравнению Шредингера (4.7). Специфика его в том, что

точностью до произвольного множителя Е. Понятно, что это не может быть справедливым для произвольной функции и произвольного числа Е.

принадлежит к собственной функции f этого оператора.

Таким образом, уравнение Шредингера можно трактовать как уравнение для определения собственных значений и собственных функций

ˆ

оператора H . Величина Е представляет собой всевозможные значения энергии частицы (электрона) в силовом поле U (r) , тогда можно считать, что

ˆ

возможные значения энергии суть собственные значения оператора H . На

ˆ

основании этого оператор H называют еще оператором энергии. Совокупность собственных значений оператора энергии образует

спектр допустимых значений энергии частицы. В этом и заключается принцип квантования энергии частицы, движущейся в произвольном силовом поле.

Такое сопоставление проводится не только для энергии, но и для других физических величин: каждой физической величине сопоставляется

оператор, совокупность собственных значений которого определяет спектр допустимых значений этой величины.

В операторе энергии (4.6) второе слагаемое – потенциальная энергия частицы, его можно рассматривать как оператор потенциальной энергии

следует рассматривать как оператор кинетической энергии. В классической

отличаться от оператора квадрата импульса частицы. Отсюда pˆ i –

оператор импульса, а, соответственно, операторы проекций импульса имеют вид

каждому из которых соответствует свой спектр собственных значений. Возникает вопрос: всегда ли существует состояние , в котором величины А и В могут быть измерены одновременно?

так как n – не произвольная функция, а лишь одна из общих собственных

наоборот. Существует математическая терема, которую мы досказывать не будем, что произвольная волновая функция может быть разложена по

ˆ ˆ

собственным функциям оператора A ( или B ), т.е.

n cn n .

i1

Из этой формулы и соотношения (4.10) следует, что

эти операторы коммутируют. Другими словами, две величины А и В могут быть измерены одновременно тогда и только тогда, когда соответствующие