Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции_ТУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

986.87 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

8. Устойчивость линейных динамических систем

4. Пусть λk – кратный комплексный корень, тогда существует сопряжен-

ный комплексный корень λ j = λ*k той же кратности,

функций xk (t ) + x j (t ) имеет вид:

xk (t ) + x j (t ) = (pk (t )cos βk t + p j (t )sin βk t )eα k t , αk p j (t ) – полиномы степени µk − 1.

Если αk	> 0 , то lim (xk (t ) + x j (t )) не существует;
	t →∞
если αk	= 0 , то lim (xk (t ) + x j (t )) не существует;
	t →∞
если α k	< 0 , то lim (xk (t ) + x j (t ))= 0 .
	t →∞

исумма соответствующих

=Re λk , βk = Imλk , pk (t ),

Проведенные рассуждения позволяют сформулировать признак асимпто-

тической устойчивости.

Утверждение (признак асимптотической устойчивости). Динамическая система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть.

Пример 8.3. Исследовать на асимптотическую устойчивость с помощью

признака устойчивости систему с дифференциальным уравнением			d 2 x		− 3	dx	+
признака устойчивости систему с дифференциальным уравнением			dt	2	− 3	dt	+
			dt	2		dt
+2x (t ) = 4	dy	+ 5 y (t ) где y(t ) – вход, x(t ) – выход системы.
+2x (t ) = 4		+ 5 y (t ) где y(t ) – вход, x(t ) – выход системы.
	dt
Решение. Найдем корни характеристического уравнения:
		p2 − 3 p + 2 = 0;
		λ1 = 2, λ2 = 1.
Re λ1 = 2 > 0 , Re λ2 = 1 > 0 , следовательно, система асимптотически							не

устойчива.

Отметим, что для установления асимптотической устойчивости системы неважна величина каждого корня характеристического уравнения, а важна информация о его положении на комплексной плоскости.

Для примера 8.3 расположение корней на комплексной плоскости представлено на рис. 8.5.

Таким образом, признак асимптотической устойчивости можно переформулировать так: динамическая система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда корни ее характеристического уравнения лежат в левой комплексной полуплоскости.

72	8. Устойчивость линейных динамических систем

Рис. 8.5 – Расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости для примера 8.3

Пример 8.4. Исследовать на асимптотическую устойчивость с помощью

признака устойчивости систему с передаточной функцией W (p) =

2 p − 5

2 + 2 p + 1

Восстановим дифференциальное уравнение системы.

W ( p ) =

X ( p )

2 p − 5

;

Y ( p )

p2 + 2 p + 1

p2 X ( p ) + 2 pX ( p ) + X ( p ) = 2 pY ( p ) − 5Y ( p );

d 2 x

+ 2

+ x(t ) = 2

− 5 y(t ).

dt 2

Заметим, что характеристическим полиномом системы всегда будет зна-

менатель

передаточной функции.

Корни характеристического

полинома:

λ1 = λ2 = −1,

Re λ1 = Re λ1 = −1 < 0 ,

следовательно, система асимптотически

устойчива.

Для установления асимптотической устойчивости системы, согласно обоснованному признаку, требуется решение характеристического уравнения. Как известно, решение алгебраического уравнения n -й степени при n ≥ 5 является сложной вычислительной задачей. В связи с этим разработаны условия и критерии асимптотической устойчивости, позволяющие установить факт устойчивости без решения характеристического уравнения.

8.3 Необходимое условие асимптотической устойчивости

Рассмотрим линейную стационарную ДС с характеристическим полино-

мом D(p) = an p n + ... + a1 p + a0 . Изучим зависимость устойчивости динами-

ческой системы от коэффициентов ее характеристического уравнения.

Утверждение (необходимое условие асимптотической устойчивости).

Если динамическая система является асимптотически устойчивой, то ее характеристический полином имеет коэффициенты одного знака.

8. Устойчивость линейных динамических систем

Доказательство. Пусть динамическая система является асимптотически устойчивой. Обозначим λ1 ,..., λn – корни характеристического полинома D(p),

тогда D(p) можно представить в виде:

D(p) = an (p − λ1 )	... (p − λn ).	(8.4)
Не ограничивая общности рассуждений,	положим	an > 0 , и рассмотрим

отдельно скобки выражения (8.4) с действительными и комплексными корнями. Так как динамическая система устойчива, то, в силу признака асимптотической устойчивости, все корни λ1 ,..., λn имеют отрицательные действительные части.

Если	λk – действительный корень, то λk < 0 , и его можно представить
в виде λk	= −α k , где α k > 0 ; тогда (p − λk ) = (p − (− α k )) = (p + α k ).
Если λ j – комплексный корень, то Re λ j < 0 , и его можно представить
в виде λ j	= −β j + iγ j , где β j > 0 . По свойствам передаточной функции су-

ществует сопряженный комплексный корень λ*j : λ j = −β j − iγ j . Тогда произве-

дение скобок с комплексно-сопряженными корнями имеет вид:

(p − λ j )( p − λ*j ) = ( p − (−β j + iγ j ))( p − (−β j − iγ j )) =

=( p + β j − iγ j )( p + β j + iγ j ) = ( p + β j )2 − (iγ j )2 = p2 + 2 pβ j + β 2j + γ 2j .

Таким образом, в результате проведенных преобразований характеристический полином D(p) представлен в виде:

D(p) = a	n	∏	(p + α	k	) ∏ (p	2 + 2 pβ	j	+ β 2	+ γ 2 ).	(8.5)
	n			k			j	j	j
		λk R			λ j C
Полученное выражение (8.5) представляет собой произведение многочле-

нов с положительными коэффициентами, причем an > 0 , тогда D(p) имеет все положительные коэффициенты, то есть коэффициенты одного знака. Утверждение доказано.


Пример 8.5.			Проверить		выполнение необходимого условия асимпто-
тической		устойчивости			для системы	с передаточной	функцией
W (p) =		2 p + 1
				. Сделать вывод об асимптотической устойчивости.
	p3
		− 2 p 2 + 3 p + 1
Решение. Характеристический полином системы: D(p) = p3 − 2 p 2 + 3 p + 1 .
Необходимое			условие		асимптотической	устойчивости не	выполнено
(коэффициенты D(p) разного знака), значит,						система не является асимпто-

тически устойчивой.


74				8. Устойчивость линейных динамических систем
Пример 8.6. Проверить					выполнение необходимого			условия	асимпто-
тической			устойчивости		для	системы	с передаточной		функцией
W (p) =			p + 5
				. Сделать вывод об асимптотической устойчивости.
		2		. Сделать вывод об асимптотической устойчивости.
	p	2	+ 3 p + 17
Решение. Характеристический						полином	системы:	D(p) = p 2 + 3 p + 17 .

Необходимое условие выполнено, однако сделать вывод об устойчивости на основании необходимого условия нельзя.

Воспользуемся признаком асимптотической устойчивости; корни D(p):

− 3 ± i

; действительная часть корней:

Reλ

= −

< 0 , следовательно,

1,2

система асимптотически устойчива.

Пример 8.7.

Проверить

выполнение необходимого условия

асимпто-

тической

устойчивости

для

системы

с передаточной

функцией

W (p) =

p + 3

. Сделать вывод об асимптотической устойчивости.

(p 2 + 1)(p + 3)

Решение. Характеристический полином системы:

D(p) = (p 2 + 1)(p + 3).

Необходимое условие выполнено, однако сделать вывод об устойчивости

на основании необходимого условия нельзя.

Воспользуемся признаком асимптотической устойчивости; корни D(p):

λ1 = −3, λ2 = i, λ3 = −i ; действительная часть корней: Re λ1 = −3 < 0 ,

Re λ2,3 = 0 ,

значит, система не является асимптотически устойчивой.

Пример 8.7 подтверждает, что необходимое условие, вообще говоря, не

является достаточным для асимптотической устойчивости системы.

Утверждение

(следствие из

необходимого

условия). Необходимое

условие является достаточным для асимптотической устойчивости систем, у которых порядок характеристического полинома не превышает 2.

Доказательство. Согласно формулировке, необходимое условие является достаточным условием асимптотической устойчивости для систем с характе-

ристическим полиномом порядка 1 и 2.
Рассмотрим	случай			n = 1. Характеристический	полином имеет вид:
D(p) = a1 p + a0 .	Пусть			коэффициенты полинома	D(p) положительны:
a0 , a1 > 0 ; покажем, что система является асимптотически устойчивой.
Корни D(p): λ = −		a0		< 0 ; значит, система асимптотически устойчива.

	1		a1

8. Устойчивость линейных динамических систем

Рассмотрим

случай

n = 2 .

Характеристический

полином

имеет

вид:

D(p) = a

p 2 + a p + a

. Пусть коэффициенты полинома

D(p)

положительны:

a0 , a1, a2 > 0 ; покажем, что система является асимптотически устойчивой.

− a ±

a 2

− 4a

Корни D(p): λ

1,2

2a2

Рассмотрим случай,

когда λ

C : тогда

Re λ = −

< 0

значит, система

1, 2

1,2

асимптотически устойчива.

Рассмотрим случай, когда λ1, 2 R .

− a − a 2

− 4a

a + a 2 − 4a

λ =

= −

< 0 ;

2a2

− a + a 2

− 4a

a − a 2

− 4a

2 − 4a

= −

< 0 , так как

< a .

2a2

Следовательно, система асимптотически устойчива. Следствие доказано.

8.4 Частотный критерий Михайлова

Критерий Михайлова относится к классу графоаналитических методов, позволяющих по графикам частотных характеристик системы судить об ее устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального

уравнения.
Рассмотрим			динамическую систему с характеристическим				полиномом
D(p) = a	n	p n + ... + a p + a			0	. Для определенности будем полагать,	что a	n	> 0 ,
			1
в противном случае можно умножить характеристический полином на − 1 .
Рассмотрим			полином D(iω), ω R , и проанализируем свойства					D(iω)
в случае, когда система является асимптотически устойчивой.
При		этом	будем	пользоваться известными нам фактами:			признаком

и необходимым условием асимптотической устойчивости. Согласно признаку асимптотической устойчивости, полином D(p) устойчивой системы не должен

иметь корней с нулевой действительной частью,	то есть корней вида
λ = iω,ω R . Отсюда получаем условие:
D(iω ) ≠ 0, ω R .	(8.6)

В силу необходимого условия асимптотической устойчивости, коэффициенты характеристического полинома для устойчивой системы

76 8. Устойчивость линейных динамических систем

должны иметь один знак. Отсюда следует, что, так как an > 0 , то, в частности,

a0 > 0 , или:
D(0) = a0 > 0 .	(8.7)

Рассмотрим понятие годографа Михайлова и изучим его свойства для устойчивой динамической системы.

Определение. Годограф Михайлова – это кривая, которую описывает конец вектора D(iω) при изменении ω от 0 до + ∞ .

Рассмотрим величину	Arg D(iω )	+∞	(изменение аргумента годографа
		ω =0
Михайлова при изменении ω	от 0 до + ∞ ) и изучим связь этой величины

с фактом устойчивости системы.

Обозначим λ1 ,..., λn – корни D(p), тогда D(iω) можно представить в виде:

D(iω ) = an (iω − λ1 ) ... (iω − λn ). Отсюда:

Arg D(iω ) = Arg (an (iω − λ1 ) ... (iω − λn )) =

= Arg an + Arg (iω − λ1 )+ ... + Arg (iω − λn ) = ∑ Arg (iω − λk ).

k =1

Нетрудно видеть, что Re D(iω) – четная функция от ω , а Im D(iω) – нечетная функция отω . Отсюда следует:

Arg D (iω ) ω+∞=0

	1				1	n
=		Arg D (iω )	ω+∞=−∞	=		∑Arg (iω − λk )	ω+∞=−∞ .	(8.8)

2					2 k =1

Выясним величину слагаемого Arg (iω − λ			k	)	+∞	, k {1,...,n} в зависимос-
			k		ω =−∞
ти от типа корня λk .

Пусть Re λ	k	< 0 , тогда, согласно рис. 8.6,	Arg (iω − λ				k	)	+∞	= π .
	k						k		ω =−∞

Рис. 8.6 – Изменение аргумента выражения iω − λk в случае Re λk < 0

Пусть Re λ	k	> 0 , тогда, согласно рис. 8.7,	Arg (iω − λ	k	)	+∞	= −π .
	k			k		ω =−∞

8. Устойчивость линейных динамических систем

Рис. 8.7 – Изменение аргумента выражения iω − λk в случае Re λk > 0

Пусть система имеет m корней с положительной действительной частью, n − m корней с отрицательной действительной частью и нулевых корней не

имеет, тогда искомое изменение аргумента

Arg D(iω )

+∞

примет вид:

ω =0

Arg D(iω )

ω+∞=0 =

∑ Arg (iω − λk )

ω+∞=−∞ =

(m(− π )+ (n − m)π ) =

(nπ − 2mπ );

2 k =1

Arg D(iω )

ω+∞=0 =

(nπ − 2mπ ).

(8.9)

Полученное равенство (8.9) называется принципом аргумента (принципом

аргумента Коши) и лежит в основе критерия Михайлова.

В случае, когда система устойчива, количество корней с положительной

действительной частью m = 0 , и равенство (8.9) принимает вид:

Arg D(iω ) ω+∞=0

=	nπ	.	(8.10)

Равенство (8.10), а также неравенства (8.6), (8.7) обосновывают следующий

частотный критерий устойчивости Михайлова.

Утверждение (критерий Михайлова). Динамическая система асимптоти-

чески устойчива тогда и только тогда, когда ее годограф Михайлова начинается при ω = 0 на положительной части действительной оси, не проходит через начало координат и обходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов (четвертей) комплексной плоскости, где n – порядок характеристического полинома.

Примеры годографов Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем приведены на рис. 8.8 и 8.9.

Рис. 8.8 – Примеры годографов Михайлова для устойчивых систем

78	8. Устойчивость линейных динамических систем

Рис. 8.9 – Примеры годографов Михайлова для неустойчивых систем

Пример 8.8. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Михай-

лова систему с передаточной функцией W (p) =			1	.

		2
	p		+ 2 p + 5
Решение. Характеристический полином		системы: D ( p ) = p2 + 2 p + 5;

тогда D (iω ) = −ω 2 + 2iω + 5 , U (ω ) = Re D (iω ) = 5 − ω 2 , V (ω) = Im D(iω) = 2ω .

Построим годограф Михайлова данной системы «по точкам» (рис. 8.9).

Re D(iω)	5	4	1	–4	–11	–95


Im D(iω)	0	2	1	6	8	20

Рис. 8.9 – Эскиз годографа Михайлова для примера 8.8

Все условия критерия Михайлова выполнены: годограф Михайлова начинается при ω = 0 на положительной части действительной оси (в т. (5; 0)), не проходит через начало координат и обходит последовательно против часовой стрелки 2 квадранта комплексной плоскости. Следовательно, система является асимптотически устойчивой.

8. Устойчивость линейных динамических систем

8.5 Критерий перемежаемости корней

Критерий перемежаемости (чередуемости) корней является следствием критерия Михайлова и связывает факт устойчивости со свойствами действительной U (ω) и мнимой V (ω) частей характеристического полинома D(iω).

Утверждение (критерий перемежаемости корней). Динамическая

система является асимптотически устойчивой	тогда и только тогда, когда
U (0) > 0 , V (0) = 0 и уравнения U (ω ) = 0,V (ω ) = 0	имеют все действительные и

перемежающиеся корни.

Строгого доказательства критерия перемежаемости корней в данном пособии не приводим, отметим только, что так как, согласно критерию Михайлова, D(0) = a0 > 0 , то U (0) = Re D(0) = a0 > 0 , V (0) = ImD(0) = 0 . Так как годограф Михайлова устойчивой системы не проходит через начало координат и обходит последовательно против часовой стрелки 2 квадранта комплексной плоскости, то уравнения U (ω ) = 0,V (ω ) = 0 имеют все действительные и пере-

межающиеся корни. Перемежаемость корней уравнений U (ω ) = 0,V (ω ) = 0

означает, что между каждыми двумя соседними корнями уравнения U (ω) = 0

лежит ровно один корень уравнения V (ω) = 0 , и наоборот. Последнее условие проиллюстрировано на рис. 8.10, 8.11.

Рис. 8.10 – Иллюстрация критерия перемежаемости корней

Рис. 8.11 – Иллюстрация критерия перемежаемости корней: × – корни уравнения U (ω ) = 0

o – корни уравнения V (ω ) = 0

80	8. Устойчивость линейных динамических систем
Пример 8.9. Исследовать на устойчивость с помощью критерия переме-
жаемости корней систему с передаточной функцией W (p) =				1	.


			p 2 + 2 p + 5
Решение. Характеристический полином системы:		D(p) = p 2 + 2 p + 5; тогда
D(iω ) = −ω 2 + 2iω + 5 , U (ω ) = Re D(iω ) = 5 − ω 2 , V (ω) = Im D(iω) = 2ω .
Графики функций U (ω) и V (ω ) представлены		на рис. 8.12; согласно
графикам, все	условия критерия перемежаемости	корней		выполняются:

U (0) = 5 > 0 , V (0) = 0 , уравнения U (ω ) = 0, V (ω ) = 0 имеют все действительные и перемежающиеся корни. Следовательно, система асимптотически устойчива.

Рис. 8.12 – Графики функций U (ω) и V (ω ) для примера 8.9

Пример 8.10. Исследовать на устойчивость с помощью критерия перемежае-

мости корней систему с передаточной функцией W (p ) =			2 p − 7		.

	p 4	+ 3 p 3	+ 5 p 2
				+ 7 p + 3

Решение. Характеристический полином системы: D ( p ) = p 4 + 3 p3 + 5 p 2 +

+7 p + 3 . Отметим, что для данной системы проблематично применить признак устойчивости в силу высокого порядка характеристического полинома, построение годографа Михайлова «по точкам» потребует большого объема вычислений.

D(iω ) = (iω )4 + 3(iω )3 + 5(iω )2 + 7iω + 3 = ω 4 − 3iω 3 − 5ω 2 + 7iω + 3 ;

U (ω ) = Re D(iω ) = ω 4 − 5ω 2 + 3 ; V (ω ) = Im D(iω ) = −3ω 3 + 7ω .

U (0) = 3 > 0 ; V (0) = 0 .

Найдем корни уравнений U (ω) = 0 и V (ω ) = 0 .

1) U (ω ) = ω 4 − 5ω 2 + 3 = 0 – биквадратное	уравнение;	для его решения
сделаем замену t = ω 2 , получим квадратное	уравнение	t 2 − 5t + 3 = 0 . Его

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025113.66 Кб0Лекции.doc
#
01.05.2025287.23 Кб0Лекции.методика аудита.doc
#
01.03.2025516.1 Кб0Лекции2.doc
#
01.05.2025492.64 Кб0Лекции_Excel.docx
#
01.05.2025441.74 Кб0Лекции_Word.docx
#
13.04.2015986.87 Кб21Лекции_ТУ.pdf
#
16.03.2016152.58 Кб8Лекция 1.8..DOC
#
14.11.201976.29 Кб5Лекция для студентов.doc
#
04.12.2018135.17 Кб4ЛЕКЦИЯ - СХЕМЫ.doc
#
01.05.20253.85 Mб0Лекция 1 для БЭ-131-В-до.doc
#
11.11.2019178.69 Кб18Лекция 1 Основы технической диагностики .doc