Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции_ТУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

986.87 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

7. Типовые звенья динамических систем

Несмотря на различную физическую и конструктивную сущность функциональных элементов в динамических системах, имеет место общность математических выражений, связывающих входные и выходные переменные. Можно выделить ограниченное число типовых подсистем, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка.

7.1 Понятие типовых звеньев

Определение. Типовым динамическим звеном системы называют состав-

ную часть системы, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка.

Классификацию типовых звеньев удобно осуществлять, рассматривая различные частные формы дифференциального уравнения описания функционирования системы во времени.

Рассмотрим линейную стационарную динамическую систему с передаточной функцией:

W (p) =	b		p m + b			p m−1 + ... + b p + b
	m			m−1		1		0	.	(7.1)
	a	n	p n + a	n−1	p n−1 + ... + a p + a			0

						1
Разложим числитель и	знаменатель W (p) на						множители,			приведя их

к стандартному виду; при этом будем предполагать, что старший коэффициент знаменателя an = 1 (если это не так, то числитель и знаменатель разделим на an ).

Обозначим: R(p) – числитель, Q(p) – знаменатель передаточной функции,

γ1 ,...,γ m – корни числителя, λ1,...,λn – корни знаменателя;							тогда передаточная
функция примет вид:
W (p) =	R(p)	=	bm (p − γ 1 )(p − γ 2 ) ... (p − γ m )						.	(7.2)
	Q(p)
			(p − λ )(p − λ		2	) ... (p − λ	n	)
		1
Предположим, что числитель имеет u				нулевых, µ вещественных,						η пар
комплексно-сопряженных корней, причем				u + µ + η = m ;			знаменатель			имеет
v нулевых, ρ вещественных, σ		пар комплексно-сопряженных корней, причем
v + ρ + σ = n .

В числителе и знаменателе передаточной функции сгруппируем отдельно скобки с нулевыми, вещественными и комплексными корнями.

Произведение скобок числителя с нулевыми корнями имеет вид: p p ... p = pu .

52										7. Типовые звенья динамических систем
		Каждую скобку числителя с вещественным корнем γ k												представим в виде:
(			)	(	)			1			1	(	)		1
		− γ k					−			=
	p														.
				= p + − γ k		= −γ k		γ k	p + 1		Tk	Tk	p + 1 , где Tk = −
															γ k

Тогда произведение всех скобок с вещественными корнями примет вид:

∏(p − γ

) =∏

(T p + 1) =K

∏(T p + 1), где K

= ∏

k =1 Tk

k =1

Каждую пару скобок числителя с комплексно-сопряженными корнями

представим в следующем виде:

( p − γ

)( p − γ

* ) =

( p −

+ ib

))( p − (a

− ib

))

= ( p − a

− ib

)( p − a

+ ib

) =

= ( p − a

)

+ b2

= p2

− 2 pa

+ a

+ b2

(a2 + b2 )

p2 −

p + 1 =

a j + bj

a j

+ bj

2 p 2

+ 2C

p + 1), где C

, ξ

= −

a j

C 2j

a 2j + b2j

+ b

Тогда произведение всех скобок числителя с комплексно-сопряженными

корнями примет вид:

∏η (p − γ

)(p − γ * )= ∏η

2 p 2

+ 2C

p + 1)= K

∏η (C 2 p 2 + 2C

p + 1),

j =1 C 2j

j=1

где K 2 = ∏

j=1 C 2j

В результате указанных преобразований числитель передаточной функции

примет вид:

R(p) = b

∏µ (T p + 1) K

∏η

(C 2 p 2

+ 2C

p + 1).

(7.3)

k =1

j=1

Аналогичные преобразования проделаем со знаменателем передаточной

функции и получим:

p + 1),

Q(p) = p v K

∏(τ

p + 1) K

∏ (S

2 p 2 + 2S ψ

(7.4)

r r

l =1

r =1

α r

где

τ l

= −

K3 = ∏

, ψ r

= −

α r

= Re λr ,

+ β

α r

+ β r

βr = Im λr , K4 = ∏

S 2

7. Типовые звенья динамических систем

Соберем вместе все постоянные, обозначив K = bm K1K 2 . После всех

K3 K4

сделанных преобразований передаточная функция примет вид:

p + 1)

K pu ∏(T p + 1) ∏

2 p

2 + 2C

W (p) =

k =1

j=1

(7.5)

p + 1)

p v ∏(τ

p + 1) ∏

2 p 2

+ 2S ψ

r r

l =1

r=1

Выражение (7.5) передаточной функции имеет 7 типов сомножителей, поэтому выделяют 7 видов типовых звеньев соответственно виду сомножителя. Типовые звенья имеют следующие названия, обусловленные свойствами того или иного звена:

1)усилительное: W (p) = K ;

2)чисто дифференцирующее: W (p) = p ;

3)дифференцирующее первого порядка W (p) = Tp + 1;

4)дифференцирующее второго порядка: W (p) = C 2 p 2 + 2Cξ p + 1 ;

5)интегрирующее: W (p) = 1 ;

					p
6)	апериодическое: W (p )	=		1			;


				τp + 1
7)	колебательное: W (p) =					1		.

			S 2 p 2
						+ 2Sψ p + 1

Пример 7.1. Определить, какие типовые звенья составляют систему с

передаточной функцией W (p) = 2 p2 + 10 p + 12 . p2 + 5 p + 4

Решение. Приведем передаточную функцию к стандартному виду (7.5). Для этого сначала найдем корни числителя и знаменателя.

R(p) = 2 p 2 + 10 p + 12 = 0 ; p 2 + 5 p + 6 = 0 ;

γ1 = −2 , γ 2 = −3 .

Q(p) = p 2 + 5 p + 4 = 0 ;

λ1 = −1, λ2 = −4 .

54			7. Типовые звенья динамических систем
Тогда передаточная функция примет вид:
			2 2 3	1	p + 1			1	p + 1					3	1	p + 1		1	p + 1
	2(p + 2)(p + 3)		2 2 3		p + 1				p + 1					3		p + 1			p + 1
W (p) =	2(p + 2)(p + 3)	=	2				3						=	2			3								.
W (p) =		=											=												.
	(p + 1)(p + 4)					1											1
			4(p + 1)				p +			1				(p + 1)				p + 1
			4(p + 1)				p +			1				(p + 1)				p + 1
						4											4
Таким образом, данная система содержит 5 типовых звеньев:
1) усилительное звено с параметром K = 3 ;
2) дифференцирующее звено первого порядка с параметром T =																					1		;
2) дифференцирующее звено первого порядка с параметром T =																							;
																	1			2
																				2
3) дифференцирующее звено первого порядка с параметром T																				=		1		;
3) дифференцирующее звено первого порядка с параметром T																				=				;
																	2			3
																				3
4) апериодическое звено с параметром τ1 = 1;
5) апериодическое звено с параметром τ 2 =											1	.
5) апериодическое звено с параметром τ 2 =												.
										4
	7.2 Свойства типовых звеньев
Рассмотрим линейную стационарную ДС, которая содержит																				N типовых
звеньев. Передаточная функция такой системы будет иметь вид:
					N
			W (p) = ∏Wk (p),																	(7.6)
					k =1

где Wk (p) – передаточные функции типовых звеньев, составляющих систему.

Выясним, как связаны частотные характеристики системы с частотными характеристиками составляющих ее типовых звеньев.

Обозначим: A(ω) – АЧХ системы, A1 (ω ),..., AN (ω ) – АЧХ типовых звеньев,

ϕ(ω) – ФЧХ системы, ϕ1 (ω ),...,ϕ N (ω ) – ФЧХ типовых звеньев, L(ω) – ЛАЧХ системы, L1 (ω ),..., LN (ω ) – ЛАЧХ типовых звеньев.

Утверждение 1. АЧХ системы равна произведению АЧХ составляющих ее типовых звеньев; ФЧХ системы равна сумме ФЧХ составляющих ее типовых звеньев.

N	N
Доказательство. Нужно показать, что A(ω ) = ∏ Ak (ω ) , ϕ (ω ) = ∑ϕk		(ω ).
	k 1
k =1	=
Для доказательства воспользуемся представлением АФЧХ в показательной
форме:
W (iω ) = A(ω )eiφ (ω ) .		(7.7)

Воспользуемся выражением (7.6):

7. Типовые звенья динамических систем

N	N	(ω )eiϕk (ω )
W (iω ) = ∏Wk	(iω ) = ∏ Ak	(ω )eiϕk (ω )
k =1	k =1

N		N
= ∏ A j	(ω ) exp i ∑ϕk		(ω ) . (7.8)
=		k =1
k 1

Сравним представления (7.7) и (7.8); в силу единственности представления

	N
комплексного числа в показательной форме получим: A(ω ) = ∏ Ak		(ω ),
	k =1
N
ϕ (ω ) = ∑ϕk	(ω ), что и требовалось доказать.

k =1

Утверждение 2. ЛАЧХ системы равна сумме ЛАЧХ составляющих ее типовых звеньев.

		N
Доказательство. Нужно показать, что L(ω ) = ∑Lk (ω ). Для доказательства
		k =1
			N
достаточно воспользоваться доказанным		утверждением	1 ( A(ω ) = ∏ Ak	(ω ))
			k =1
и определением ЛАЧХ:
N	N	N
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg ∏ Ak	(ω ) = 20 ∑lg Ak (ω ) = ∑ Lk		(ω ).
k =1	k =1	k =1

7.3 Характеристики типовых звеньев

Рассмотрим основные характеристики семи типовых звеньев:

−передаточная функция звена;

−дифференциальное уравнение, описывающее систему;

−частотные характеристики;

−эскиз ЛАЧХ.

7.3.1 Усилительное звено

Передаточная функция усилительного звена:

W (p) = K .

Запишем операторное уравнение системы:

X (p) = KY (p);

тогда дифференциальное уравнение системы имеет вид: x(t ) = K y(t ).

Из дифференциального уравнения следует, что усилительное звено усиливает входной сигнал x(t ) в K раз.

АФЧХ системы имеет вид: W(iω) = K . Найдем АЧХ и ФЧХ (см. рис. 7.1):

56 7. Типовые звенья динамических систем

A(ω) = Re2 W (iω)+ Im2 W (iω) = K 2 + 0 = K ;

0, K > 0,

ϕ (ω ) = Arg W (iω ) = π , K < 0.

Рис. 7.1 – Годограф АФЧХ усилительного звена

Запишем ЛАЧХ системы: L(ω ) = 20 lgW (iω ) = 20 lg K . График ЛАЧХ

усилительного звена приведен на рис. 7.2.

Рис. 7.2 – График ЛАЧХ усилительного звена

7.3.2 Чисто дифференцирующее звено

Передаточная функция чисто дифференцирующего звена:

W (p) = p .

Операторное уравнение системы:

X (p) = pY (p);

тогда дифференциальное уравнение системы (при нулевых начальных

условиях) имеет вид:

x(t ) = y′(t ).

Из дифференциального уравнения следует, что выход чисто дифференцирующего звена получается путем дифференцирования входа.

7. Типовые звенья динамических систем						57
АФЧХ системы имеет вид: W (iω) = iω , ReW (iω) = 0 ,						ImW (iω) = ω .
Найдем АЧХ и ФЧХ (см. рис. 7.3):

A(ω) = Re2 W (iω)+ Im2 W (iω) = 0 + ω 2 =				ω	;
A(ω) = Re2 W (iω)+ Im2 W (iω) = 0 + ω 2 =				ω	;
	π
			, ω > 0,
		2	, ω > 0,
		2
ϕ (ω ) = Arg W (iω ) = 0, ω = 0,

3π , ω < 0.

Рис. 7.3 – Годограф АФЧХ чисто дифференцирующего звена

Запишем ЛАЧХ системы: L(ω ) = 20 lgW (iω ) = 20 lg ω . График ЛАЧХ

чисто дифференцирующего звена приведен на рис. 7.4.

Рис. 7.4 – График ЛАЧХ чисто дифференцирующего звена

7.3.3 Дифференцирующее звено первого порядка

Передаточная функция дифференцирующего звена первого порядка:

W (p) = Tp + 1.

Операторное уравнение системы:

X (p) = (Tp + 1)Y (p);

58	7. Типовые звенья динамических систем

тогда дифференциальное уравнение системы (при нулевых начальных условиях) имеет вид:

x(t ) = Ty′(t ) + y(t ).

Из дифференциального уравнения следует, что выход дифференцирующего звена первого порядка равен линейной комбинации входа и его первой производной.

АФЧХ системы имеет вид: W (iω) = Tiω +1, ReW (iω) = 1, ImW (iω) = Tω . Найдем АЧХ и ФЧХ:

A(ω ) = Re2 W (iω )+ Im2 W (iω ) = 1 + T 2ω 2 ;

ϕ (ω ) = ArgW (iω ) = arctg Tω .

Запишем ЛАЧХ системы: L(ω) = 20 lgW (iω ) = 20 lg 1 + T 2ω 2 . График ЛАЧХ дифференцирующего звена первого порядка звена приведен на рис. 7.5 (пунктирная линия – график ЛАЧХ, сплошные линии – графики сопрягающих асимптот).

Рис. 7.5 – График ЛАЧХ дифференцирующего звена первого порядка

7.3.4 Дифференцирующее звено второго порядка

Передаточная функция дифференцирующего звена второго порядка:

W (p) = C 2 p 2 + 2ξCp + 1.

Операторное уравнение системы:

X (p) = (C 2 p 2 + 2ξCp + 1)Y (p);

тогда дифференциальное уравнение системы (при нулевых начальных условиях) имеет вид:

x(t ) = C 2 y′′(t )+ 2ξCy′(t )+ y(t ).

Из дифференциального уравнения следует, что выход дифференцирующего звена второго порядка равен линейной комбинации входа и его первой и второй производных.

7. Типовые звенья динамических систем

АФЧХ системы имеет вид: W (iω ) = −C 2ω 2 + 2ξC iω + 1 , ReW (iω ) = 1 − C 2ω 2 ,

ImW (iω) = 2ξCω . Найдем АЧХ и ФЧХ:

A(ω ) = Re 2 W (iω )+ Im 2 W (iω ) = (1 − C 2ω 2 )2 + 4ξ 2C 2ω 2 ;

ϕ (ω ) = Arg W (iω ) = arctg		2ξCω		.

	C	2ω 2	− 1

Запишем ЛАЧХ системы:			L(ω ) = 20 lg (1 − C 2ω 2 )2 + 4ξ 2C 2ω 2 . График

ЛАЧХ дифференцирующего звена второго порядка звена приведен на рис. 7.6 (пунктирная линия – график ЛАЧХ, сплошные линии – графики сопрягающих асимптот).

Рис. 7.6 – График ЛАЧХ дифференцирующего звена второго порядка

7.3.5 Интегрирующее звено

Передаточная функция интегрирующего звена:

W (p) = 1 . p

Операторное уравнение системы: pX (p) = Y (p);

X (p) = 1 Y (p); p

тогда интегральное уравнение системы (при нулевых начальных условиях) имеет вид:

x(t ) = ∫ y(τ )dτ .

Из дифференциального уравнения следует, что выход интегрирующего звена равен интегралу от входа.

7. Типовые звенья динамических систем

АФЧХ системы

имеет

вид: W (iω ) =

− iω

− i

, ReW (iω) = 0 ,

iω

ω 2

ImW (iω ) = −1 ω . Найдем АЧХ и ФЧХ (см. рис. 7.7):

A(ω ) =

= 0 +

;

Re2 W (iω )+ Im2 W (iω )

ω 2

< 0,

, ω

ϕ (ω ) = Arg W (iω )

3π

, ω > 0.

Рис. 7.7 – Годограф АФЧХ интегрирующего звена

Запишем ЛАЧХ системы: L(ω ) = 20 lgW (iω ) = 20 lg 1 = −20 lg ω . График

ЛАЧХ интегрирующего звена приведен на рис. 7.8.

Рис. 7.8 – График ЛАЧХ интегрирующего звена

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025113.66 Кб0Лекции.doc
#
01.05.2025287.23 Кб0Лекции.методика аудита.doc
#
01.03.2025516.1 Кб0Лекции2.doc
#
01.05.2025492.64 Кб0Лекции_Excel.docx
#
01.05.2025441.74 Кб0Лекции_Word.docx
#
13.04.2015986.87 Кб21Лекции_ТУ.pdf
#
16.03.2016152.58 Кб8Лекция 1.8..DOC
#
14.11.201976.29 Кб5Лекция для студентов.doc
#
04.12.2018135.17 Кб4ЛЕКЦИЯ - СХЕМЫ.doc
#
01.05.20253.85 Mб0Лекция 1 для БЭ-131-В-до.doc
#
11.11.2019178.69 Кб18Лекция 1 Основы технической диагностики .doc