Лекции_ТУ

в выражении передаточной функции.

Сцелью получения модуля и аргумента АФЧХ выделим ее

Определение. Годограф АФЧХ – кривая, которую описывает конец вектора W (iω) при изменении ω (− ∞;+∞).

называется амплитуда ее АФЧХ: A(ω ) = W (iω ) .

Определение. Фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) системы называется аргумент ее АФЧХ: ϕ (ω ) = Arg W (iω ).

Получим выражения АЧХ и ФЧХ, используя равенства (6.4) и (6.5).

Итак, мы получили выражения АЧХ и ФЧХ:

провести исследование свойств частотных характеристик.

Свойство 1. АЧХ является четной функцией аргумента ω . Доказательство. Покажем, что для любого ω справедливо A(ω) = A(− ω).

Воспользуемся равенством (6.6) и тем, что функции a(ω) и c(ω) по

Свойство 2. ФЧХ является нечетной функцией аргумента ω . Доказательство. Покажем, что для любого ω справедливо ϕ (− ω ) = −ϕ (ω ).

Воспользуемся равенством (6.7) и свойствами функций a(ω), b(ω), c(ω)

и d(ω).

соотношением: W (iω ) = A(ω )eiφ(ω ) .

Доказательство. Согласно определениям АЧХ и ФЧХ, A(ω ) = W (iω ) ,

ϕ (ω ) = Arg W (iω ).

Тогда, записав АФЧХ в показательной форме, получим:

W (iω ) = W (iω ) ei Arg W (iω ) = A(ω ) eiφ (ω ) .

Свойство 4. Действительная часть АФЧХ является четной функцией, а мнимая – нечетной функцией аргумента ω .

Доказательство. В п. 6.2 АФЧХ представлена в виде W (iω) =U (ω) + iV (ω), где U (ω) = ReW (iω), V (ω) = ImW (iω). Покажем, что U (ω) – четная, V (ω) – нечетная функции аргумента ω .

Воспользуемся тригонометрической формой записи АФЧХ:

W (iω) = A(ω)(cosφ (ω) + i sinφ (ω)).

Из тригонометрической формы записи получаем: U (ω) = A(ω)cosϕ(ω),

V (ω) = A(ω)sinφ (ω) . Тогда:

U (−ω) = A(−ω)cosφ (−ω) = A(ω)cos(−φ (ω)) = A(ω)cos(φ (ω)) = U (ω);

V (−ω) = A(−ω)sinφ (−ω) = A(ω)sin(−φ (ω)) = −A(ω)cos(φ (ω)) = −V (ω) ;

x(t ) = y0 A(ω )cos(ωt + ϕ (ω )), где A(ω) – АЧХ, ϕ(ω) – ФЧХ данной системы. Без доказательства.

На практике частотные характеристики можно определить экспериментально, используя генератор частотных колебаний и устройство для измерения амплитуды и фазы выходных колебаний.

Пример 6.1. В результате эксперимента для некоторой динамической системы были получены показатели, приведенные в таблице. Изобразить эскиз годографа АФЧХ данной системы.

Решение. Эскиз годографа АФЧХ приведен на рис. 6.2.

ImW (iω)

0

ReW (iω)

на комплексной плоскости.

Решение. Выражение АФЧХ получим формальной подстановкой iω вместо p в выражение передаточной функции системы и преобразованием полученного дробно-рационального выражения.

Годограф АФЧХ можно рассмотреть как график кривой, заданной параметрически. Построим данную кривую по точкам, используя следующую таблицу. Заметим, что в силу свойств частотных характеристик расчет для отрицательных значений частот проводить нет необходимости; соответствующие точки годографа легко получить отражением уже построенных соответствующих точек относительно координатных осей.

Годограф АФЧХ данной системы приведен на рис. 6.3.

V (ω) h(t )

0,25

0,5

U (ω ) t

Рис. 6.3 – Эскиз годографа АФЧХ для примера 6.2

6.4 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Определение. Логарифмической амплитудной частотной характерис-

тикой (ЛАЧХ) динамической системы с передаточной функцией W (p)

называется кривая, соответствующая двадцати десятичным логарифмам модуля АФЧХ данной системы, построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот: L(ω ) = 20 lg W (iω ) .

Рис. 6.5 – График функции L(ω ) = 3lgω в логарифмическом масштабе частот

Итак, наклон графика постоянен L(ω) (то есть в логарифмическом масшта-

бе частот график функции L(ω ) = K lgTω – прямая линия) и равен K (дбдек).

График функции L(ω ) = K lgTω представлен на рис. 6.6.

Рис. 6.6 – График функции L(ω ) = K lgTω в логарифмическом масштабе частот

Пример 6.6. Построить график функции L(ω) = 20lg ω , ω > 0 , если шкала

4

ω имеет десятичный логарифмический масштаб.

Решение. Воспользуемся результатами исследования, проведенного в примере 6.5. Функция обращается в нуль при ω0 = 1 T = 4 , наклон графика постоянен и равен 20 (дбдек).

Рис. 6.7 – График функции L(ω) = 20lg ω в логарифмическом масштабе частот

4

Пример 6.7. Определить ЛАЧХ и построить ее график в логарифмическом масштабе частот для динамической системы, имеющей передаточную функцию

W (p ) = 1 Tp + 1 .

Согласно определению ЛАЧХ, L(ω ) = 20 lg W (iω ) .

Определим значения ЛАЧХ в характерных точках.

функция L(ω ) = −20 lgTω , график которой – прямая с наклоном – 20 (дбдек).

Проведенные исследования позволяют изобразить эскиз графика ЛАЧХ в логарифмическом масштабе частот (рис. 6.8).

Рис. 6.8 – График ЛАЧХ L(ω ) = −20 lg 1 + T 2ω 2

влогарифмическом масштабе частот

Внекоторых случаях построение эскиза ЛАЧХ – достаточно сложная задача, поэтому на практике часто обходятся построением сопрягающих асимптот ЛАЧХ, указывающих поведение ЛАЧХ. Сопрягающие асимптоты получают на основании свойств типовых звеньев, составляющих данную систему.

Рассмотрим некоторые исторические аспекты введения ЛАЧХ. В технике

связи используют понятие коэффициента передачи по мощности k p = Pвых .

Рвх

Значительный диапазон изменения этого коэффициента заставил использовать логарифмическое представление: логарифмический коэффициент пере-

дачи по мощности Lp = lg Pвых . Логарифмический коэффициент усиления по

Рвх

мощности измеряют специальными единицами, которые носят название Белл (Б) (1 Белл соответствует усилению мощности в 10 раз). Чаще используют единицу в десять раз меньшую – децибел (дБ).

Логарифмический коэффициент усиления, выраженный в децибелах, имеет

вид Lp = 10lg Pвых .

Рвх

Децибел – это безразмерная единица, применяемая для измерения отношения некоторых величин – «энергетических» (мощности, энергии и т. п.) или «силовых» (силы тока, напряжения и т. п.). Величина в 1 дБ – это 10 десятичных логарифмов отношения двух одноименных энергетических величин.

Так как электрическая мощность прямо пропорциональна напряжению, то логарифмический коэффициент усиления можно выразить через отношение выходного и входного напряжений при одинаковых сопротивлениях R :

Такое представление коэффициента усиления используют в теории управления для измерения амплитудной частотной характеристики в децибелах:

L(ω ) = 20 lg X (iω ) .

Y (iω )

Контрольные вопросы к теме 6

Основной уровень

1.Что относят к частотным характеристикам системы?

2.Дайте определения АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, годографа АФЧХ системы.

Продвинутый уровень

1.Сформулируйте свойства частотных характеристик системы.

2.В каком масштабе изображается ЛАЧХ системы?

3.Приведите пример построения ЛАЧХ системы.