Лекции_ТУ

− нахождения требуемого входа, позволяющего получить известный выход.

Пример 4.6. Записать дифференциальное уравнение, описывающее функционирования системы из примера 4.5.

Решение. При решении примера 4.5 найдена передаточная функция:

TpY (p) = TpX (p) + X (p).

Взяв обратное преобразование Лапласа от операторного уравнения и воспользовавшись свойством дифференцирования оригинала при нулевых н. у., получим:

Ty′(t ) = Tx′(t )+ x(t ).

Запишем полученное дифференциальное уравнение в терминах функций U1(t ) и U2 (t ) (по условию U1(t ) – вход, U2 (t ) – выход):

Таким образом, формула (4.7) позволяет получить выход системы по известному входу при нулевых н. у.

Пусть система имеет передаточную функцию W (p), и на выходе требуется

Таким образом, формула (4.8) позволяет получить вход системы для известного выхода при нулевых н. у.

4.5 Свойства передаточной функции

Передаточные функции всех линейных стационарных детерминированных одномерных систем обладают сходными свойствами, которые мы далее рассмотрим.

Свойство 1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами, зависящей от комплексного аргумента p .

Доказательство. Из общего вида дифференциального уравнения описания функционирования системы указанного класса во времени выше получено

выражение (4.6) передаточной функции: W (p) = bm pm + bm−1 pm−1 + ... + b1 p + b0 . an pn + an−1 pn−1 + ... + a1 p + a0

Действительно, функция W ( p) является дробно-рациональной функцией от комплексного аргумента p . Обоснуем действительность коэффициентов

в (4.6). Коэффициенты получены из дифференциального уравнения, которое описывает функционирование системы во времени, и зависят от физических параметров системы (массы, коэффициента жесткости, сопротивления, индуктивности и т. д.), которые по сути являются вещественными величинами, следовательно, указанные коэффициенты вещественны.

Свойство 2. Комплексные нули и полюса передаточной функции, если они имеются, должны быть попарно комплексно-сопряженными.

Доказательство свойства 2 основано на свойстве 1 и было проведено в курсе алгебры.

Свойство 3. Для физически реализуемых систем порядок числителя передаточной функции не превышает порядка знаменателя.

Без доказательства.

Контрольные вопросы к теме 4

Основной уровень

1.Дайте определение передаточной функции системы.

2.Какими способами можно найти передаточную функцию системы?

3.Для чего применяется передаточная функция системы?

4.Что называют операторным уравнением системы? Как связаны операторное уравнение и передаточная функция системы?

5.Какие функции относят к типовым сигналам систем управления?

Продвинутый уровень

1.Что такое импеданс системы? Приведите пример использования импедансов при нахождении передаточной функции системы.

2.Сформулируйте свойства передаточных функций линейных стационарных детерминированных одномерных систем.

5. Динамические характеристики системы

Определение. Переходный процесс – это переход системы от одного установившегося режима к другому при каких-либо входных воздействиях.

Примером переходного процесса может служить процесс нагревания печи до установившегося значения или процесс установления постоянного напряжения между заданными точками электрической цепи. Переходный процесс характеризует динамические свойства системы и ее поведение. Поскольку входные воздействия могут изменяться во времени, то и переходные характеристики будут каждый раз разные. Для простоты анализа систем входные воздействия приводят к одному из типовых видов, рассмотренных в п. 3.2.

5.1 Переходная и весовая функции системы Определение. Переходной функцией (единичной переходной характерис-

тикой) h(t,τ ) называется реакция ДС в момент времени t на единичное ступенчатое воздействие, оказанное на систему в момент времени τ .

В теме 4 определено единичное ступенчатое воздействие, оказанное на

систему в момент времени τ = 0 : I (t ) = 1, t ≥ 0,

0, t < 0.

ступенчатое воздействие, оказанное на систему в произвольный момент времени τ , описывается функцией:

1, t −τ ≥ 0, 1, t ≥ τ , I (t −τ ) = 0, t −τ < 0, = 0, t < τ . .

График единичного ступенчатого воздействия, оказанного на систему в момент времени τ , приведен на рис. 5.1, а реакция системы на такое воздействие, согласно введенному выше определению, схематически изображена на рис. 5.2.

I (t − τ )

1

τ t

Рис. 5.1 – График единичного ступенчатого воздействия, оказанного на систему в момент времени τ

34 5. Динамические характеристики системы

Рис. 5.2 – Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие, оказанное в момент времени τ

При τ = 0 переходную функцию будем обозначать h(t ), т. е. h(t ) = h(t,0). Заметим, что для физических реализуемых систем выполняется условие:

t < τ : h(t,τ ) = 0 , т. к. реакция системы не может возникнуть раньше, чем вызвавшая ее причина.

Определение. Весовой функцией (импульсной переходной характеристикой) k(t,τ ) называется реакция ДС на импульсный сигнал, оказанный на систему в момент времени τ .

Втеме 4 импульсное воздействие, оказанное на систему в момент времени

τ= 0 , определено с помощью функции Дирака δ (t ); тогда импульсное воздей-

ствие, оказанное на систему в произвольный момент времени τ , описывается функцией δ (t −τ ).

Реакция системы на такое воздействие, согласно введенному выше определению, схематически изображена на рис. 5.3.

Рис. 5.3 – Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие, оказанное в момент времени τ

При τ = 0 весовую функцию будем обозначать k(t ), т. е. k(t ) = k (t, 0).

Заметим, что для физических реализуемых систем верно: t < τ : k(t,τ ) = 0. Определение. Переходная и весовая функции называются динамическими

характеристиками системы.

Пример 5.1. Система описывается следующим дифференциальным уравнением: x′(t ) + 2x(t ) = 2 y′(t ) − 3 y(t ). Найти ее переходную функцию h(t ) и весо-

вую функцию k(t ).

Решение. Для нахождения переходной функции положим вход y(t ) = I (t )

и воспользуемся дифференциальным уравнением, представив его в операторной форме: (p + 2)X (p) = (2 p − 3)Y (p).

В операторное уравнение подставим X (p) = L[x(t )]= H (p) = L[h(t )],

Y (p) = L[y(t )] = L[I (t )] = 1 , получим: p

(p + 2)H (p) = (2 p − 3) 1 ;

p

p(p + 2)H (p) = 2 p − 3 ;

H (p ) = p(p + 2) .

дифференциальным уравнением в операторной форме. В операторное

5.2 Свойства динамических характеристик

Свойство 1. Переходная и передаточная функции связаны соотношением:

1

Свойство 3. Переходная и весовая функции связаны соотношением: k(t) = h′(t ).

(рис. 5.5) с входом U1 (t ) и выходом U 2 (t ) выполнить задания.

1.Найти передаточную функцию и привести ее к стандартному виду.

2.Записать дифференциальное уравнение системы и найти выход, если

вход задается функцией: y(t ) = 3e2t , t > 0 .

3. Найти переходную и весовую функции системы.

2

Рис. 5.5 – Схема динамической системы к примеру 5.2

3.Найдем переходную функцию по формуле: h(t ) = L−1 W (p) .

p

− t

Тогда переходная функция системы равна: h (t ) = 1 − e T .

t

Весовая функция системы равна: k (t ) = h′(t ) = 1 e− T .

T

Контрольные вопросы к теме 5

Основной уровень

1.Что называют динамическими характеристиками системы?

2.Дайте определения переходной и весовой функций системы.

Продвинутый уровень

1.Сформулируйте свойства динамических характеристик системы.

2.Приведите пример нахождения динамических характеристик системы.

6. Частотные характеристики линейной динамической системы

Если подать на вход динамической системы гармонический сигнал, то после завершения переходного процесса на выходе установятся гармонические колебания с той же частотой, но иными амплитудой и фазой, по которым можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками. Анализ частотных характеристик системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.

6.1 Некоторые сведения из теории комплексных чисел

Напомним, что множество комплексных чисел C представляет собой расширение множества действительных чисел R . Любое комплексное число z

Рис. 6.1 – Геометрическая интерпретация комплексного числа

Модулем комплексного числа называется длина соответствующего радиусвектора: z = a2 + b2 .

Аргументом комплексного числа называется угол между соответствующим радиус-вектором и положительным направлением действительной оси,

отсчитываемый против часовой стрелки (рис. 6.1): Arg z = arctg Im z = arctg b .

зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Комплексное число может быть представлено в алгебраической, пока-

зательной и тригонометрической формах. Алгебраической называется запись

z = z (cos Arg z + i sin Arg z ).

Для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Сложение и вычитание удобно осуществлять в алгебраической форме согласно следующим правилам: пусть z1 = a1 + ib1 ,

z2 = a2 + ib2 , тогда z1 ± z2 = (a1 ± a2 ) + i(b1 ±b2 ). Для выполнения умножения и деления удобно использовать показательную форму комплексных чисел:

6.2 Понятие частотных характеристик системы

Рассмотрим линейную стационарную динамическую систему, функционирование которой описывается дифференциальным уравнением вида:

Будем пользоваться следующими свойствами преобразования Фурье (они аналогичны соответствующим свойствам преобразования Лапласа):

−линейность: Φ[ax(t ) + by(t )]= aF (iω ) + bG(iω );

−дифференцирование оригинала: Φ[f (n )(t )]= (iω )n F (iω ).

= bm (iω )m Y (iω ) + bm−1 (iω )m−1 Y (iω ) + ... + b1iωY (iω ) + b0Y (iω );