Лекции_ТУ

Таким образом, условия 1) и 2) представлены в виде равенств (3.2) и (3.3) соответственно. Используя полученные равенства (3.2) и (3.3), докажем принцип суперпозиции.

Необходимость. Пусть динамическая система линейна; покажем, что равенства (3.2) и (3.3) выполняются. Так как ДС линейна, то ее оператор A – линейный оператор; в силу свойств линейного оператора получаем:

A( y1 (t ) + y2 (t )) = Ay1 (t ) + Ay2 (t ) , т. е. выполняется (3.2); C A y1 (t ) = A(C y1 (t )) , т. е. выполняется (3.3).

Достаточность. Пусть условия (3.2) и (3.3) выполняются; покажем, что данная ДС линейна, то есть что ее оператор A – линеен. Для этого докажем,

k =1

Таким образом, оператор А линеен. Принцип суперпозиции доказан.

Сущность принципа суперпозиции заключается в том, что линейной комбинации произвольных входных сигналов соответствует линейная комбинация соответствующих выходных сигналов. Принцип суперпозиции позволяет выразить реакцию системы на любое произвольное воздействие через реакцию системы на элементарное типовое воздействие. Для этого достаточно представить данное входное воздействие в виде совокупности выбранных типовых воздействий. Благодаря принципу суперпозиции разработана общая теория линейных систем автоматического управления, описываемых линейными дифференциальными уравнениями любого порядка.

К нелинейным системам принцип суперпозиции не применим. Нет и общей теории нелинейных дифференциальных уравнений, на основе которой могла бы быть создана общая теория нелинейных систем управления. Трудность исследования нелинейных систем заставляет упрощать их описание – проводить линеаризацию нелинейных систем. В тех случаях, когда линеа-

ризация невозможна, прибегают к приближенным методам исследования нелинейных систем с учетом их нелинейностей.

3.2 Некоторые типовые сигналы

Для исследования динамических свойств систем управления пользуются типовыми сигналами, к которым относятся ступенчатый, импульсный, гармонический, линейно-возрастающий и др. Рассмотрим некоторые из них.

1. Единичный ступенчатый сигнал I (t) (функция Хэвисайда)

Единичный ступенчатый сигнал – один из наиболее простых видов сигналов, используемых при расчете переходных процессов. Он представляет функцию времени, которая в момент t = 0 достигает значения 1 и остается

1, t ≥ 0

далее постоянной. Сигнал I (t) задается ступенчатой функцией I (t ) = .

0, t < 0

На практике аналогом данного сигнала служит резкое включение тока или открытие вентиля, когда величина входного сигнала практически мгновенно меняется от 0 до 1.

Изображение по Лапласу функции Хэвисайда равно: L[I (t )]= 1 . p

2. Импульсный сигнал (функция Дирака)

Импульсный сигнал можно рассматривать как предел прямоугольного импульса высотой h и длительностью l при h → ∞ , l → 0 , площадь которого равна 1. Математически импульсный сигнал задается обобщенной функцией Дирака, определяемой равенствами:

На практике аналогом данного сигнала служит, например, резкий скачок напряжения или тока в цепи.

Функции Дирака и Хэвисайда связаны соотношением:δ (t) = I ′(t).

Изображение по Лапласу функции Дирака равно: L[δ (t )]= L[I ′(t )]= p 1 = 1 . p

3. Гармонический сигнал

Гармонический (синусоидальный или косинусоидальный) сигнал широко используется при исследовании частотных свойств элементов и систем управления. Гармонический сигнал можно задать функцией y(t ) = Asin(ωt + ϕ0 ), где

A – амплитуда сигнала, ω – частота, T = 2π – период, ϕ0 – начальная фаза.

ω

На практике гармоническим сигналом представляются звуковые сигналы, переменные токи и т. п.

Контрольные вопросы к теме 3

Основной уровень

1.Что называют оператором динамической системы?

2.Какая динамическая система называется линейной?

3.Сформулируйте принцип суперпозиции.

4.Какие функции относят к типовым сигналам систем управления?

Продвинутый уровень

1.Что служит аналогом единичного ступенчатого сигнала и импульсного сигнала на практике?

2.Какие сигналы на практике представляются гармоническими функциями?

4. Передаточная функция линейной динамической системы

4.1 Понятие передаточной функции и ее нахождение

Рассмотрим линейную стационарную детерминированную одномерную динамическую систему с входом y(t ) и выходом x(t ).

Определение. Передаточной функцией динамической системы с входом y(t ) и выходом x(t ) называется отношение преобразованного по Лапласу

выхода к преобразованному по Лапласу входу при нулевых начальных условиях:

где X (p) = L[x(t )], Y (p) = L[y(t )].

Передаточная функция может быть определена несколькими способами:

−непосредственно по определению, если известен входной сигнал и соответствующий ему выходной сигнал;

−с помощью дифференциального уравнения, которое описывает функционирование системы;

−с помощью специальных вспомогательных величин, например, импедансов.

Пример 4.1. На вход ДС подается сигнал y (t ) = 3e−5t , t > 0 , а на выходе снимается сигнал x (t ) = 12e6t , t > 0 ; начальные условия нулевые. Определить передаточную функцию данной системы.

Решение. Воспользуемся определением передаточной функции:

W (p ) = X (p ) ; найдем изображения входа и выхода.

Y (p )

Запишем выражение передаточной функции системы:

Пример 4.2. Найти передаточную функцию системы «масса» (рис. 4.1), считая входным сигналом прилагаемую силу f (t ), а выходным – приобре-

таемую телом скорость v(t).

m v(t ) f (t )

Рис. 4.1 – Схема системы «масса»

Решение. Для нахождения передаточной функции воспользуемся дифференциальным уравнением описания функционирования данной ДС. Согласно второму закону Ньютона,

Пример 4.3. Динамическая система задана электрической схемой на рис. 4.2. Определить передаточную функцию системы, если входным сигналом является напряжение на концах цепи U (t ) , а выходом – протекающий в цепи

ток i(t).

Рис. 4.2 – Схема системы для примера 4.3

Решение. Из курса физики известно, что связь между напряжением и током в данной цепи имеет вид:

при нулевых начальных условиях.

где a0 ,..., an , b0 ,..., bm R .

Используя общий вид уравнения (4.4), введем понятие операторного уравнения ДС и получим выражение передаточной функции. Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения (4.4) при нулевых начальных условиях.

Тогда уравнение (4.4) принимает вид:

Определение. Уравнение (4.5) будем называть операторным уравнением, описывающим функционирование ДС с входом y(t ) и выходом x(t ).

Заметим, что при нулевых н. у. операторное уравнение и передаточная функция взаимно однозначно определены. Действительно, из (4.5) следует, что:

Итак, если функционирование ДС описывается дифференциальным уравнением (4.4), то передаточная функция данной системы имеет вид (4.6), иначе говорят, что передаточная функция равна отношению операторного полинома входа к операторному полиному выхода.

Пример 4.4. Найти передаточную функцию системы с входом

и выходом x(t ), функционирование которой описывается следующим диффе-

b1 = 5 , b0 = 2 , а затем найдем передаточную функцию согласно (4.6):

4 p2 + 5 p + 2

W ( p) = p3 − 3 p2 + 4 .

Второй способ: запишем операторное уравнение системы:

( p3 − 3 p 2 + 4 ) X ( p ) = (4 p 2 + 5 p + 2 )Y ( p ).

Найдем передаточную функцию системы как отношение операторного полинома выхода к операторному полиному входа:

W (p) = 4 p2 + 5 p + 2 . p3 − 3 p2 + 4

4.3 Импеданс динамической системы

Рассмотрим понятие и примеры применения импеданса для электрических динамических систем.

Определение. Импедансом электрической ДС называется выражение

цепи, i (t ) – ток в цепи.

Нахождению импедансов уделяется достаточно большое внимание на лабораторных занятиях. Импедансы некоторых элементов электрической цепи приведены на рис. 4.3.

Рис. 4.3 – Импедансы некоторых элементов электрической цепи

Для вычисления импедансов сложных систем, содержащих несколько элементов, используют следующие правила.

1. При последовательном соединении элементов результирующий импеданс системы равен сумме импедансов элементов цепи:

Z (p) = Z1(p)+ ... + Zk (p).

2. При параллельном соединении элементов результирующий импеданс системы вычисляется по формуле:

(рис. 4.4), если входом является напряжение U1 (t ) , а выходом напряжение

U 2 (t ), фиксируемое между точками 1 и 2.

30 4. Передаточная функция

2

Рис. 4.4 – Схема системы для примера 4.5

Согласно определению импеданса, Z ( p ) = U1 ( p ) , отсюда имеем: i ( p )

U1 (p ) = Z (p )i(p) = RCp +1 i(p ). Cp

Найдем импеданс участка 1–2: Z12 ( p ) = R . Пользуясь определением

U2 ( p ) = Z12 ( p )i ( p ) = R i ( p ) .

Подставляя полученные выражения напряжений в передаточную функцию, имеем:

Обозначив T = RC > 0 , получим окончательный вид передаточной функ-

4.4 Применение передаточной функции

Передаточная функция системы может быть использована непосредственно для:

−восстановления дифференциального уравнения, описывающего функционирование системы во времени;

−нахождения выхода системы по известному входу при нулевых н. у.;