Лекции_ТУ

Сi(t )

U (t )

Рис. 1.5 – Схема электрической системы «конденсатор»

Решение. Согласно законам электростатики, связь между напряжением и током в данной цепи имеет вид:

x(t ) = i (t ). Преобразуем уравнение к виду дифференциального уравнения.

Итак, полученное уравнение (1.6) описывает функционирование данной динамической системы. Динамическая система линейная, стационарная, одномерная, детерминированная, с прямой связью.

Контрольные вопросы к теме 1

Основной уровень

1.Дайте определение системы; динамической системы.

2.На какие этапы условно разделяют процесс управления системой?

3.Опишите классификацию динамических систем.

Продвинутый уровень

1.Приведите примеры динамических систем и их описания в форме дифференциальных уравнений.

2.Проведите классификацию систем «пружинный маятник», «груз на плоскости», «конденсатор».

2. Основы операционного исчисления

Операционное исчисление – раздел математики, изучающий интегральные преобразования (прежде всего, преобразование Лапласа) и их свойства. Операционное исчисление позволяет решать различные математические задачи: нахождение интегралов, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, уравнений в частных производных и т. п. с помощью интегральных преобразований, позволяющих свести обыкновенные дифференциальные и интегральные уравнения к алгебраическим (операторным) уравнениям, а дифференциальные уравнения в частных производных – к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

2.1 Преобразования Фурье и Лапласа

Пусть функция f (t ) – действительнозначная функция действительной

переменной t , которая обладает следующими свойствами:

1)функция f (t ) определена на всей числовой оси;

2)на каждом конечном отрезке функция f (t ) имеет не более чем конеч-

ное число точек разрыва первого рода;

−∞

Определение. Преобразованием Фурье функции f (t ), удовлетворяющей условиям 1) – 3), называется функция

+∞

F (iω ) = Φ[ f (t )]= ∫ f (t )e −iω t dt , ω R .

−∞

Исходную функцию f (t ) называют также оригиналом, а функцию F(iω) –

изображением Фурье или просто изображением.

Определение. Обратное преобразование Фурье для изображения F(iω) –

это функция f (t ) такая, что F [ f (t )]= F (iω ).

Обратное преобразование Фурье определяется по следующему правилу:

Пусть функция f (t ) обладает свойствами 1) и 2), но не является абсолютно интегрируемой. Дополнительно потребуем от функции f (t ) выполнения следующих условий:

4) f (t ) ≡ 0 для всех t < 0 ;

5) существует постоянная C > 0 такая, что функция g (t ) = f (t )e−Ct

абсолютно интегрируема.

Тогда для функции f (t ) можно определить аналог преобразования Фурье –

преобразование Лапласа.

Определение. Преобразованием Лапласа функции f (t ), удовлетворяющей условиям 1), 2), 4) и 5), называется функция F (p) комплексной переменной p ,

определяемая согласно следующему правилу:

∞

F (p) = L[ f (t )]= ∫ f (t )e − pt dt, p C .

0

Определение. Обратное преобразование Лапласа для изображения F (p) –

это функция f (t ) такая, что L[ f (t )]= F (p).

Обратное преобразование Лапласа определяется с помощью формулы обращения:

Для некоторых функций изображение легко находится непосредственным интегрированием. Для многих функций изображения найдены и приведены в соответствующих таблицах соответствия оригиналов и изображений

(см. Приложение А). Рассмотрим примеры нахождения преобразования Лапласа для некоторых элементарных функций.

Пример 2.1. Найти преобразование Лапласа функции f (t) = 0 .

Решение. Функция f (t) = 0 удовлетворяет условиям 1), 2), 4) и 5). Тогда ее

преобразование Лапласа равно:

∞

L[ f (t)]= L [0]= ∫0 e − pt dt = 0 .

0

Пример 2.2. Найти преобразование Лапласа функции f (t) = 1.

в дальнейшем будем проделывать со всеми функциями, которые удовлетворяют условиям 1), 2) и 5), но не удовлетворяют условию 4), и для краткости соответствующие обозначения будем опускать. Преобразование Лапласа функции I (t) равно:

14 2. Основы операционного исчисления

2.2 Свойства преобразования Лапласа

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Это возможно благодаря свойствам преобразования Лапласа, которые мы далее рассмотрим.

Пусть функции f (t ) и g(t ) обладают всеми свойствами, необходимыми для их преобразования по Лапласу. Обозначим F (p) = L[ f (t )],G(p) = L[g(t )].

Свойство 1. Линейность

Для любых постоянных a и b справедливо равенство:

L[af (t ) + bg (t )]= aF (p) + bG(p).

Доказательство.

∞ ∞ ∞

L[af (t ) + bg (t )]= ∫(af (t ) + bg (t ))e − pt dt = a ∫ f (t )e − pt dt + b ∫ g(t )e − pt dt =

Доказательство.

Второе соотношение доказывается аналогично.

Рассмотрим пример применения свойств линейности и подобия.

L[ f (t − a)]= e −ap F (p).

16 2. Основы операционного исчисления

Доказательство.

k =1

Свойство 7. Дифференцирование изображения

L[(− 1)n t n f (t )] = F (n ) (p).

Свойство 8. Интегрирование оригинала

Свойство 9. Интегрирование изображения

L f (t ) = ∞∫ F (q)dq .

t p

Преобразование Лапласа характерно тем, что многим операциям над оригиналами соответствует существенно более простые операции над их изображениями, как видно из свойств 6–9.

Свойство 10. Первая теорема разложения

r

кратности, ∑µk = n .

k=1

1.Если корни Q(p ) – простые, т. е. µ1 = ... = µr = 1, то оригинал f (t ) можно

найти по формуле:

Доказательство. Докажем теорему Хэвисайда для случая простых корней (случай 1), доказательство случая 2 проводится аналогично.

представить в виде Q(p) = (p − λ1 )(p − λ2 ) ... (p − λn ). Тогда изображение F (p)

примет следующий вид: