схеми геометрия 10 -11 класс

Типи правильних многогранників

Назва

Зображення

Вид грані

Число

граней

вершин

ребер

Тетраедр

4

4

6

Гексаедр

(куб)

6

8

12

Октаедр

8

6

12

Додекаедр

12

20

30

Ікосаедр

20

12

30

Правильні многокутники

Трикутник

Співвідношення між

Площа

а і R, а –сторона, R- радіус описаного кола

R і r, r – радіус вписаного кола

R = 2r

S =

Квадрат

R = r

S = a²

Шестикутник

a = R

r =

S =

Площа многокутників та круга

Трикутник

Довільний

S = ; S = ; S =, р= - формула Герона; S= pr; S= .

Прямокутний

S =

Рівносторонній

S =

Паралелограм

S = ah_а; S = ; S = .

Прямокутник

S = ab

Квадрат

S = a²

Трапеція

S = ; S =

Коло

S = πR²

Метричні співвідношення

Прямокутний трикутник

b=csinβ =atgβ = ccos = actg

a= ccosβ = bctgβ= csin= btg

теорема Піфагора: a² +b²=c² A

Наслідки

CB²=DBAB

CD²= ADDB;

CD= ACCB: AB

Трикутник

Теорема синусів

Теорема косинусів

Паралелограм

АЕ² + ВС² = 2(АВ² + ВЕ²)

Теорема Птоломея

ACBD=ABCD+BCAD

Призма

Призмою називається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, які лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників.

Многокутники називаються основами призми, а відрізки, які сполучають відповідні вершини, - бічними ребрами призми.

Висотою призми називається відстань між площинами її основ.

Відрізок який сполучає дві вершини призми, що не належать одній грані, називається діагоналлю призми.

Похила

Якщо бічні ребра призми нахилені до основи під кутом - призма називається похилою і її бічні грані – паралелограми.

Пряма

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. Бічні грані прямої призми – прямокутники.

Трикутна призма Шестикутна призма

перпендикулярний переріз

П’ятикутна Трикутна Чотирикутна

Пряма призма називається правильною , якщо її основи є правильними многокутниками

Я

А₁

У паралелепіпеда всі грані паралелограми. Протилежні грані паралельні і рівні.

Всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Т

А

d₁²+ d₂²+ d₃²+ d₄² = 4a² +4b²+4c²

Прямий паралелепіпед:

Бічні ребра перпендикулярні

до основ.

Бічні грані - прямокутники,

а основи – паралелограми.

Прямокутний паралелепіпед:

Бічні грані - прямокутники.

Всі діагоналі рівні.

d^{2 =} a² + b² + c²

S_повн. = 2(ab+dc+ac)

V = a b c

Куб:

Всі грані - квадрати.

Всі ребра рівні.

d = a

S_повн. = 6a²

V = a³

Площа поверхні та об’єм призми

Похила призма

Пряма призма

Бічна поверхня

S_осн. = P_пер.  l, Р_осн. - периметр перпендикулярного перерізу;

l – довжина бічного ребра.

S_біч. = P_осн. Н,

Р_осн. - периметр основи; Н – висота.

Повна поверхня

S_повн.= S_біч. + 2S_осн.

S_повн.= S_біч. + 2S_осн.

Об’єм

V = S_пер.  l, l – бічне ребро

V = S_осн.  Н

Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника - основи піраміди і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Бічні грані – трикутники.

Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину о

верхня основа

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника.

Віссю правильної піраміди називається пряма (SO), яка містить її висоту.

Бічні ребра рівні, бічні грані - рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою (SF) й позначається l.

Зрізаною пірамідою називається

частина піраміди, яка міститься

між її основою і перерізом

піраміди, яке паралельне основі.

Правильна зрізана піраміда:

бічні грані - рівні рівнобічні

трапеції.

Б

нижня основа

Апофеми рівні.

Площі поверхні і об’єм піраміди

Піраміда

Зрізана піраміда

Бічна поверхня

S_біч.=, S_i – площа однієї бічної грані,

n – кількість сторін основи

Правильна піраміда

S_біч.=Р l , Р- периметр основи, l - апофема

S_біч.=, S_k – площа k-тої бічної грані (трапеції),

n – кількість сторін основи

Правильна зрізана піраміда

S_біч.=(Р+р), Р- периметр нижньої основи,

р – периметр верхньої основи

Повна поверхня

S_повн.= S_біч. + S_осн.

S_повн.= S + S +s, S- площа нижньої основи,

s – площа верхньої основи

Об’єм

V = Н S_осн.

V = Н (S ++ s)

Тіла обертання

Циліндр

Круговим циліндром

називається тіло, що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються

паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів.

Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що

сполучають точки кіл кругів, -твірними циліндра

Утворений обертанням прямокутника навколо однієї з своїх сторін

Конус

Круговим конусом нази­вається тіло, яке складається з круга - основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга - вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершини конуса з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, назива­ються твірними конуса (l).

Утворений обертанням прямокутного трикутника навколо

одного з катетів

Зрізаний конус

Зрізаним конусом називається частина конуса, яка лежить між основою і перерізом, паралельним основі конуса.

Утворений обертанням прямокутної трапеції навколо перпендикулярної до основ бічної сторони

Куля. Сфера.

Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, не більшій за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана, відстань - радіусом кулі.

Сфера є поверхнею кулі.

Утворена обертанням півкола наколо діаметра

Частини кулі

Кульовий сектр Кульовий сегмент

a²=h(2R-h)

Площа поверхні та об’єм тіл обертання

Циліндр

Конус

Зрізаний конус

Куля. Сфера

Кульовий сегмент

Кульовий спектр

Бічна поверхня

S_біч. = 2RH

S_біч. = Rl

S_біч. = (R+r)l

-

S_біч. = 2RH=(а²+Н²)

-

Повна поверхня

S_біч. = 2R(R+H)

S_біч. = R(R+l)

S_біч. = (R+r)l +(R²+r²)

S = 4R²

Об’єм

V = R² H

V = R² H

V = H (R²+Rr+r²)

V = R³

Координати в просторі

Нехай х, у, z — три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перети­наються в точці О.

Ці координатні прямі називаються координатними осями: вісь х, вісь у, вісь z або вісь абсцис, вісь ординат, вісь аплікат відповідно, точку О називають почат­ком координат.

Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі — додатну, позначе­ну стрілкою, і від'ємну.

Площини, які проходять через х і у, х і z, у і z, називають координат­ними площинами і позначають відповідно: ху, хz, уz.

Координатні пло­щини розбивають весь простір на вісім частин, які називають октан­тами.

Відстань між двома точками А (X_A; Y_A; Z_A) i B (X_B; Y_B; Z_B) обчислюється за формулою:

Координати середини відрізка точки С (X_с; Y_с; Z_с) - середини відрізка АВ:

Симетрія відносно

А (x; y; z)

Запишіть координати точки, яка симетрична:

1) точці А відносно точки О;

2) точці L відносно осі z;

3) точці N відносно площини ху;

4) точці К відносно площини уz;

5) точці М відносно точки О;

6) точці О відносно точки К.

Точки О

А₁ (-x; -y; -z)

Осі х

А₂ (x; -y; -z)

Осі у

А₃ (-x; y; -z)

Осі z

А₄ (-x; -y; z)

Площини ху

А₅ (x; y; -z)

Площини xz

А₆ (x; -y; z)

Площини yz

А₇ (-x; y; z)

Паралельним перенесенням у просторі називається таке пере­творення, при якому довільна точка (х; у; z) фігури переходить у точку (х+ а; у + b; z + с), де числа а, b, с — одні і ті самі для всіх точок.

Паралельне перенесення в просторі задають формулами:

що виражають координати х₁, у₁, z₁ точки, в яку переходить точка (х; у; z) при паралель­ному перенесенні.

Вектори в просторі

Означення

Вектором називається величини, які характеризуються невід'ємним числом при даній одиниці вимірювання (модулем) та напрямом, ().

Координатами вектора з початком у точці А (X_А,Y_A, Z_A) і кінцем у точці В (X_B, Y_B, Z_В) називають числа (х_В – х_А; у_В – у_А; z_В – z_А)

Рівність векторів: (а_x; а_y; а_z) = (b_x; b_y; b_z)

Нульовим вектором називається вектор, кінець якого співпадає з початком.(позначають ).

Довжина відрізка називається модулем (абсолютною величиною) вектора.

(а_x; а_y; а_z):

Вектор називається одиничним, якщо його абсолютна величина дорівнює одиниці. Одиничні вектори, які мають направлення додатних координатних півосей, називаються ортами.

Орти прийнято називати е₁(1; 0; 0); е₁₂ (0; 1; 0); е₃(0; 0; 1).

Для вектора у просторі є місце розкладання ,тобто кожен вектор можна представити у вигляді: (а_x; а_y; а_z) = а_x е₁+ а_y е₂+ а_z е₃ Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

і колінеарні, якщо = λ·

Дії над векторами

Сума векторів

(а_x; а_y; а_z) + (b_x; b_y; b_z) = (а_x + b_x; а_y + b_y; а_z + b_z)

Різниця векторів

(а_x; а_y; а_z) – (b_x; b_y; b_z) = (а_x – b_x; а_y – b_y; а_z – b_z).

Добуток вектора на число

λ·(а_x; а_y; а_z) = (λа_x; λа_y; λа_z)

Скалярний добуток векторів (а_x; а_y; а_z) і (b_x; b_y; b_z) – це число, яке дорівнює:

;

Кут між векторами =