схеми геометрия 10 -11 класс

Основні поняття і аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них

Стереометрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються властивості просторових фігур.

Основними фігурами в просторі є точка (А, В, С,…), пряма (a, b, c,…) і площина (, β, ,…).

Способи задання точки в просторі

Способи задання прямої в просторі

Двома прямими, які перетинаються

Прямою і площиною, які перетинаються

b

Трьома попарно перетинаючимися площинами, якщо прямі перетину площин перетинаються

Двома точками

Двома площинами, які перетинаються

Способи задання площини в просторі

Трьома точками, які не лежать на одній прямій

Двома прямими, які перетинаються

b

Двома паралельними прямими

П

Група аксіом, які виражають основні властивості площин у просторі

С₁

С₂

С₃

Яка б не була площина, існують точки, які належать цій площині, і точки, які не належать їй.

, 

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

якщо , ,

а,

Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

b, а

 а,b β

Взаємне розміщення двох прямих у просторі

Прямі а і b

лежать в одній площині

не лежать в одній площині

Теореми існування площини

Взаємне розміщення прямої ї площини

1) яка проходить через дану пряму і дану точку

Через пряму і точку, яка не належить їй, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

2

А

Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Теорема про належність площині прямої, дві точки якої належать площині

Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

Наслідок: Площина і пряма, яка не лежить на ній, або

А

Паралельність прямих і площин у просторі

Паралельні прямі

Паралельні прямі і площини

Паралельні площини

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

ОЗНАКА:

Теорема Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

(c||a, a||b)  c || b

Теорема про існування і єдність прямої, яка проходить через дану точку і паралельна даній прямій

Через будь яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

Ab,

Aa, a||b

Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

ОЗНАКА:

Я

(b, b||a, a ) b||

ВЛАСТИВІСТЬ:

Будь-яка площина, яка проходить через пряму паралельну даній площині або

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

ОЗНАКИ:

1. Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

2. Якщо кожна з двох даних площин паралельна третій площині, то дані дві площини паралельні між собою.

Теорема про існування площини, що паралельна даній площині

Через точку поза даною площиною можна провести

пло­щину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

ВЛАСТИВОСТІ:

паралельна цій площині

(b||, bβ)  β ||

перетинає її по прямій, паралельній даній прямій

β

(b β , b||) 

a || b

Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

( || β, β, , b β, a)

a || b

Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами, рівні.

(₁ || ₂, a || b) A₁A₂ = B₁В₂

Паралельне проектування та його властивості

h α, A α, А А₁|| h, А₁ α

А₁ – паралельна проекція А на площину α.

h - проектуюча пря­ма,

α - площина проекції.

Щоб побудувати проекцію будь-якої фігу­ри, треба спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури

Властивості паралельного проектування:

• відрізки зображуються відрізками;

• паралельні відрізки зображуються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;

• відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.

Зображенням фігури

називається будь-яка

фігура, подібна до

пара­лельної проекції

даної фігури на деяку

площину.

Перпендикулярність прямих і площин у просторі

Перпендикулярність прямих

Перпендикулярність прямої і площин.

Перпендикулярність площин.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

ОЗНАКА:

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпен-дикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

(ab, аα, bα;

а₁||а, b₁||b, а₁α₁, b₁α₁ )

 а₁ b₁

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до буд-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.

ОЗНАКА:

Якщо пряма, перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині і перетинаються , то вона перпендикулярна до даної площини.

(a с, a b, b α, с α; а, b, с перетинаються в точці А; х α)  а х

ВЛАСТИВОСТІ:

1. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

(a||b, αа)  α b

2. Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, паралельні.

(аα, bα)  a||b

3. Пряма, яка перпендикулярна однієї з двох паралельних площин, перпендикулярна і іншій площині.

( || β, аα ) а β

4. Дві площини, які перпендикулярні одній і тій самій прямій, паралельні між собою.

(αа, β а)  || β

Дві площини, що перетинаються, нази­ваються перпендикулярними, якщо тре­тя площина, проведена перпендикуляр­но до лінії перетину цих площин, пере­тинає їх по перпендику-лярним прямим.

с

ОЗНАКА:

Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то площини перпендикулярні.

(b α, b β)

α β

ВЛАСТИВІСТЬ:

Якщо площини перпендикулярні, то пряма, яка лежить в одній з них і перпендикулярна лінії перетину площин, перпендикулярна іншій

площині.

(α β, аα, ab)

 а β

Перпендикуляр та похила у просторі

ОЗНАЧЕННЯ

Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній площині .

Основа перпендикуляра – кінець цього відрізка, який лежить у площині (т.С)

Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до площини (АВ).

Основа похилої – кінець відрізка, що лежить у площині (т.В).

Проекцією похилої називається відрізок, який сполучає основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї і тієї самої точки(СВ).

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини.

Відстанню між паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини.

ВЛАСТИВОСТІ

Похилі до площини, які проведені з однієї точки, рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх проекції.

AD=AB  DC=CD

Перпендикуляр завжди менший за будь-яку похилу, яка буде проведена до площини з тієї ж самої точки.

АВ > AC

З двох похилих, які проведені з однієї точки, більше та, в якій більша проекція.

AC>AD CB>BD

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма , проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої.

(АВ α; С α, d α; d АС)  d BC.

І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна до

проекції похилої.

(АВα; С α, d α; d ВС)  d AC.

Многогранники

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами із спільною прямою, що їх обмежує.

Півплощини називаються гранями, а пряма, що їх обмежує, - ребром двогранного кута.

Площина перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двом пів прямим.

Кут, утворений цими пів прямими, називається лінійним кутом двогранного кута.

За міру двогранного кута приймається міра відповідного йому лінійного кута

Якщо φ – лінійний кут двогранного кута, то 0º φ 180º.

Двогранний кут

Лінійний кут двогранного кута

Тригранним кутом (аbс)називається фігура, яка складається з трьох плоских кутів (аb), (bс), (ас).

Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони – ребрами.

Спільна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Тригранний кут

Багатогранний кут

Многогранник – це таке тіло, поверхня якого складається із скінченої кількості плоских многокутників.

Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні.

Спільна частина такої площини і поверхні опуклого многогранника називається гранню.

Грані опуклого многогранника є плоскими опуклими многокутниками.

Сторони граней називаються ребрами многогранника, а вершини – вершинами многогранника.

Найпростішими многогранниками є призма (паралелепіпед, куб, піраміда.)

Многогранники

ребра

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многогранниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника збігається одне й те ж саме число ребер.