47

Каждая отливка для детали А стоит 2 $, для детали В – 3$. Продажная цена деталей равна соответственно 5 и 6 $. Стоимость часа станочного времени составляет по трем типам используемых станков 20, 14 и 17,5 $ соответственно. Предполагая, что можно выпускать для продажи любую комбинацию деталей A и B, нужно найти план выпуска продукции, максимизирующий прибыль.

Рассчитаем прибыль на одну деталь.

Из этих данных видно, что если в среднем выпускать в час х деталей А и y деталей В, то чистая прибыль за это время составит

Z=1,2 x + 1,4 y.

Так как отрицательные значения х и у не имеют смысла, должно удовлетворяться ограничение x ≥ 0, y ≥ 0.

Величины x и y нельзя выбирать произвольно, так как необходимо учесть ограничения по мощности оборудования. Следовательно, должны выполняться неравенства:

49

Основной результат теории, позволяющий решить эту задачу, заключается в утверждении, что эта точка (x,y), в которой прибыль достигает максимума, должна находиться в одной из вершин многоугольника ОАВС.

Видно, что максимум прибыли достигается в точке В. Таким образом, наилучший производственный план заключается в том, чтобы выпускать 16, 93 детали А в час и 12, 9 детали в час. (Эти величины надо рассматривать как средние нормы выпуска).

2.4.2. Симплексный метод

Гораздо проще иметь дело с равенствами, чем с неравенствами. Поэтому ограничения преобразуют в уравнения путем введения свободных переменных u, v, w. Эти переменные представляют собой разность между левой и правой частями неравенств. Тогда получим:

40x + 25y + u =1000 ,

35x + 28y + v = 980 ,

25x + 35y + w = 875 ,

u, v,w ≥ 0 .

В общей задаче, содержащей n переменных m ограничений в виде неравенств, требуется m свободных переменных и решение, максимизирующее принятый критерий оптимальности, из общего числа m+n переменных, включая свободные, содержит точно m ненулевых значений. Набор удовлетворяющих ограничениям значений переменных, из которых m

50

отличны от нуля, а n равны нулю, называется допустимым решением

(опорным планом).

На практике расчеты производят в табличной форме. Составим таблицу, в которых строки, обозначенные P3, P4, P5 соответствуют первому набору значений ненулевых переменных u, v, w. Столбцы, обозначенные P1, P2, P3, P4, P5 соответствуют переменным x, y, u, v, w. Добавляем еще один столбец P0, соответствующий правым частям уравнений, и строку , в которой проставлены коэффициенты функции Z.

Пустые клетки соответствуют нулям. Воспользуемся следующим алгоритмом.

Шаг 1. Выбрать столбец с наибольшим положительным элементом в строке . Это столбец P2 c элементом 1,4.

Шаг 2. Разделить элементы столбца P0 на соответствующие положительные элементы столбца, выбранного на шаге 1 и выбрать наименьший результат. (В нашем примере элементы столбца P0 делим на соответствующие элементы столбца P2). Тогда для каждой строки таблицы получаем:

Наименьший результат соответствует строке P5. Поэтому на втором шаге выбирается строка P5.

51

Определение. Элемент, стоящий на пересечении столбца, выбранного на шаге 1 и строки, выбранной на шаге 2, называется направляющим элементом.

Шаг 3. Разделить строку, выбранную на шаге 2 на направляющий элемент. Результат обозначить символом столбца. (В нашем случае элементы строки P5 делятся на 35 и результат получает обозначение

P2).

Новая строка P2 будет выглядеть так:

найдено. В противном случае нужно вернуться к шагу 1.

(В нашем примере строка P2 умножается на 25 и результат вычитается из строки P3, затем P2 умножаем на 28 и вычитаем из P4, и P2 умножаем на 1,4 и вычитаем из ).

вернуться к шагу 1.

55

3.1. Природа задач управления запасами

Запас состоит из годных к употреблению, но не используемых ресурсов. В качестве ресурсов могут выступать, например, люди, материалы, машины или деньги.

Как правило, целевая функция в задачах такого рода сводится к минимизации общих (фактических или ожидаемых) затрат. Но, если запас оказывает влияние на спрос (т.е. на объем ресурса, требующийся потребителю), то целевая функция может выражаться в максимизации (фактической или ожидаемой) прибыли.

К управляемым переменным в задачах о запасах, которые можно изменять независимо или совместно, относятся:

1)поступающий объем ресурсов (в результате закупки, производства или с помощью каких-либо других средств);

2)частота или сроки поступления ресурсов, т.е. управляемыми переменным являются периодичность и моменты времени;

3)степень готовности продукции, хранящейся в виде запасов. Чем выше степень готовности запасаемой продукции, тем меньше запаздывание в удовлетворении спроса на нее и тем выше затраты, связанные с созданием запаса.

Неуправляемые переменными в задачах о запасах можно разделить на стоимостные и прочие:

1)затраты на содержание запаса.

Это затраты, возрастающие прямо пропорционально увеличению объема запаса и времени хранения. Наиболее очевидной составляющей этих затрат, строго пропорциональной уровню запаса и времени, является

стоимость капиталовложений в запасы.

Помимо стоимости капитала необходимо принимать во внимание

затраты на учет и административные расходы.

56

В число прочих составляющих общих затрат на содержание запасов входят:

-затраты на складские операции;

-стоимость хранения;

-страховые взносы и налоги;

-амортизационные отчисления, потери от порчи продукции и потери от морального старения;

2)потери от дефицита и штрафы (это затраты, обусловленные отсутствием в запасе требуемых изделий или товаров);

3)затраты, обусловленные изменением темпа производства;

4)закупочные цены или прямые издержки производства;

5)спрос, т.е. число изделий (объем продукции), требующийся в течение определенного периода времени;

6)срок выполнения заказа, т.е. интервал времени между моментом реализации заказа и моментом пополнения запаса.

7)объем поставляемой продукции.

Задачи управления запасами возникают повсеместно в самых разнообразных ситуациях. Например, руководство коммерческих авиакомпаний должно принимать решения относительно того, насколько часто требуется организовывать курсы подготовки стюардесс и какое число учащихся набирать на эти курсы. Если выпускать («производить») слишком много стюардесс, то компания должна выплачивать зарплату лишним стюардессам. Если же готовить их в недостаточном числе, то приходиться либо отменять некоторые рейсы, либо принимать какие-то чрезвычайные меры, что влечет за собой затраты из-за дефицита. Большинство задач обеспечения «рабочей силой» относится к классу задач управления запасами.

Вопрос о том, какой объем оборотного капитала следует иметь фирме, также относится к категории задач управления запасами. Если в наличии имеется избыток капитала, то теряются доходы от возможных вложений этого избытка, что представляет собой затраты на содержание запаса. Если

57

же ощущается недостаток оборотных средств, то приходиться прибегать к займам, по которым выплачиваются проценты, что эквивалентно потерям от дефицита. Кроме того, приходиться нести расходы, эквивалентные затратам на подготовительно-заключительные операции, связанные с получением займов.

Хотя задачи об управлении запасами возникают в самых разнообразных условиях, наиболее часто они встречаются при закупках и производстве товаров.

3.2. Структура систем управления запасами

Рис. 1. Динамика управления запасами в типичной системе

Такие системы описываются уравнением, связывающим запас в момент t с запасом в некоторый более поздний момент t' .

Обозначим через

It – запас в момент t;

S – пополнение запаса на интервале (t,t' ); D – спрос.

Физический уровень запаса в момент t' определяется уравнением

58

при условии, когда величина It' положительна.

Но если спрос превышает предложение, то физический уровень запаса станет равным нулю. Возможны 2 ситуации:

1)Если избыточный спрос учитывается как невыполнение заказа и удовлетворяется как только появляется необходимое количество товаров, то невыполнение заказов можно рассматривать как отрицательный запас, и уравнение (1) выполняется при любых значениях It , S и D.

2)Если избыточный спрос не удовлетворяется или если заказы, входящие в эту категорию, выполняются особым образом (например, за счет экстренных закупок или ускорения темпа производства), то избыток спроса не влияет на запас и при отрицательном значении выражения It + S + D имеет место равенство

It' = 0 .

С математической точки зрения потери, обусловленные неудовлетворенным спросом, так же как и удовлетворение этих потребностей за счет особых мер, оказывают одинаковое влияние на запас, но, конечно, не на сбыт.

3.3. Общая детерминированная задача для однородной продукции при одном уровне управления

Допущение о полной определенности (т.е. о точном знании значений параметров, фигурирующих в задаче), используемое в данной постановке, приводит к существенному упрощению большинства реальных ситуаций. Тем не менее, такая постановка задачи о запасах широко распространена, а ее решение часто дает хорошие результаты.

Построение модели выполняется в 3 этапа:

59

1.Находится выражение средних затрат, отнесенных к принятой единице времени;

2.Это выражение упрощается за счет использования соотношений между некоторыми переменными с целью сокращения числа переменных в модели;

3.Находятся значения остальных переменных, минимизирующие средние затраты.

Рис. 2. Цикл изменения запаса

Существует цикл изменения запаса, он показан на рис.2. Начальный запас равен нулю. Его возрастание продолжается в течение периода t1 . Затем он уменьшается в течение периода t2 , пока вновь не достигнет нуля. С этого момента начинается накопление невыполнимых заказов (происходит рост дефицита), продолжающееся в течение периода t3 . В конце этого периода вновь начинается производство и дефицит уменьшается в течение периода t4 , в конце которого дефицит ликвидируется (становится равным нулю).

Затем этот цикл, имеющий общую длительность t1 + t2 + t3 + t4 повторяется.

Постановка задачи. Предположим, что требуется поставить R единиц продукции в течение интервала времени T при поставке

постоянного количества в единицу времени r = RT .

60

Производство продукции осуществляется с постоянным темпом k (>r), а неудовлетворенные в срок заказы могут выполняться с опозданием.

k – темп производства (объем продукции, выпускаемой в единицу времени);

величиной c1, умноженной на площадь треугольника ОАС. Высота АВ этого треугольника определяет максимальный запас, обозначаемый символом S, а его основание ОС равно (t1 + t2 ) . Таким образом, затраты на хранение равны:

с1 S(t1 + t2 ) .

2

Общие потери от дефицита равны величине с2, умноженной на площадь треугольника CEF. Высота его DE определяет максимальный дефицит, обозначаемый s, а основание CF равно t3 + t4 . Следовательно,

потери от дефицита описываются формулой:

с2 S(t3 + t4 ) .

2

Если сложить потери от дефицита с затратами на хранение и с затратами на подготовку производства и разделить полученную сумму на продолжительность цикла, то получим средние затраты в единицу времени

K,

На первый взгляд величина К есть функция шести переменных S, s, t1 , t2 , t3 , t4 , но имеются четыре соотношения которые можно вывести из геометрических свойств фигуры на рис.2, и эти соотношения позволяют исключить четыре из перечисленных переменных, оставив всего две независимые переменные. Стратегия управления запасом определена, когда известно, какой объем продукции q нужно выпустить, и когда следует начинать ее производство, а последняя величина задается тогда, когда известна величина s. Но математические выкладки упрощаются, если выразить K через t2 и t3 , а затем найти оптимальные значения этих величин.

Тогда можно использовать геометрические соотношения для отыскания оптимальных значений величин q и s.

В момент начала цикла A начальный запас равен нулю, а производство продукции осуществляется на интервале t1 до момента D. В течение этого периода выпускается объем продукции, равный k t1 , но так как заказы выполняются со скоростью r, чистое увеличение запаса на интервале t1

Запас S полностью расходуется в течение периода t2 , и, так как скорость расхода равна r, имеем

В течение периода t3 дефицит растет с той же скоростью r. Отсюда

62

(6)

В течение периода t4 темп производства равен k, а норма спроса остается неизменной, так что чистая скорость ликвидации дефицита равна k-r, откуда имеем

Наконец, вследствие того, что общая продолжительность цикла равна t1 + t2 + t3 + t4 , а общий объем производства в точности равен общему объему спроса, имеем

Используя для подстановки в (9) соотношения (5) и (8), вместо выражения (9) получаем

Подставляя соответствующие величины из (5) – (8) в уравнение (2), после некоторых преобразований получаем следующее выражение для K:

продифференцируем выражение для K по t2 и t3 , и приравняем полученные результаты нулю. Затем решим эти уравнения, получим

Используя соотношения (3) – (10), можно найти (опускаем все промежуточные выкладки), что

64

12.Определите по рисунку, чему равны общие затраты на хранение запаса.

13.Определите по рисунку, чему равны общие потери от дефицита.

14.Запишите формулу, выражающую средние затраты в единицу времени.

15.Какие соображения позволяют сократить количество переменных в выражении для средних затрат, оставив всего две независимые переменные?

16.Какие действия необходимо выполнить для отыскания оптимальных

значений t02 и t03 величин t2 и t3 ?

17. Попробуйте, самостоятельно проделав пропущенные выкладки, получить выражение для оптимального размера партии.

3.5. Задачи для самостоятельного решения

1.Цена продукции составляет 235 рублей за тонну. Месячный спрос на эту продукцию равен 5 т, а при каждом пополнении запаса затраты на подготовку ее производства составляют 1000 рублей. Годовые затраты на хранение запаса составляют 10% его стоимости. Каков оптимальный размер партии?

3.6.Литература

1.Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций: Пер. с англ.- М.:

Мир, 1971. 536с.

2.Антонов А.В. Системный анализ: Учеб.для вузов.- М.: Высш.шк., 2004.

454с.

Раздел 4. Задачи массового обслуживания

Модели теории массового обслуживания находят применение при решении задач системного анализа в случае, когда исследуемые величины имеют случайный характер. К числу таких задач относятся задачи

65

управления запасами при случайном спросе, задачи организации предприятий торговли, связи, бытового и медицинского обслуживания, организации технического обслуживания предприятий, вопросы снабжения запасными частями и механизмами и т.п.

Рассмотрим систему, выполняющую определенную работу или предоставляющую услуги. Эта система, в которую поступают объекты, нуждающиеся в услугах или производстве работ, называется

обслуживающей системой, а сами объекты называются требованиями.

Они могут представлять собой письма, нуждающиеся в подписи, автомашины, которым нужна стоянка, суда, подлежащие разгрузке, детали, требующие сборки. Если требования поступают в систему слишком часто, то им приходится ожидать обслуживания или обходиться без него. Если требования поступают слишком редко, то ожидать (то есть простаивать) приходится средствам обслуживания, которые называются приборами или каналами. Ожидающие обслуживания требования или простаивающие приборы образуют очередь.

Совокупность правил, по которым из очереди выбираются требования для обслуживания, называются дисциплиной обслуживания. Например, живая очередь (то есть «первым пришел - первым обслужен», FCFS), LCFS (последним пришел – первым обслужен), RANDOM (очередное требование выбирается из очереди случайным образом).

При наличии требований, поступающих в систему обслуживания таким образом, что либо сами требования, либо средства обслуживания вынуждены ожидать, возникает процесс массового обслуживания.

Задача массового обслуживания заключается либо в формировании потока требований в систему, либо в обеспечении средствами обслуживания, либо в одновременном решении этих вопросов.

Целью решения этой общей задачи является минимизация суммарных затрат, связанных с ожиданием обслуживания требований и потерями от простоя средств обслуживания.

66

Примеры содержательной постановки задач этого класса:

-сколько требуется контрольных касс в супермаркете?

-сколько взлетно-посадочных полос нужно иметь на аэродроме?

-сколько причалов для судов рационально предусмотреть в порту?

-сколько мест для автомашин оборудовать в гараже?

-сколько продавцов нужно иметь в универмаге?

-сколько ремонтных бригад содержать на промышленном предприятии?

-сколько врачей предусмотреть в штате поликлиники?

-сколько коек требуется для больницы?

-как составить расписание прибытия самолетов в город?

-как составить железнодорожное расписание или расписание работы

автомобильного парка?

Большую группу задач ремонта и профилактического обслуживания можно рассматривать как задачи массового обслуживания. Оборудование или изделия, нуждающиеся в ремонте и обслуживании, представляют собой требования. Средства ремонта можно доставлять к месту обслуживания требований, как это, например, происходит, когда вызывают на дом мастеров для ремонта бытовых приборов, отопления и сантехники.

Некоторые задачи управления запасами можно также поставить как задачи массового обслуживания. Поступивший заказ, который выполняется путем поставки продукции из запаса, рассматривается как требование. Складское хозяйство можно считать средством обслуживания, обеспечивающим выдачу продукции клиентам. Операция обслуживания есть процесс заполнения освободившихся складских помещений с помощью заказов на пополнение запаса. Очередь – это число еще не выполненных заказов.

Некоторые очереди считаются замкнутыми, так как обслуженные требования (то есть требования, покинувшие систему) могут возвращаться в нее, образуя набор потенциальных требований, впоследствии вновь

67

поступающих на обслуживание. Так, например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовывать замкнутую очередь по отношению к ремонтным мастерским фирмы.

Задачи, связанные с ожиданием удовлетворения требований, как правило, включают косвенные расходы, обусловленные потерей клиентов (или люди обращаются за услугами в другое место, покупают меньше, чем намеривались, или не обращаются к данной системе в будущем), или прямые издержки простоя средств обслуживания и людей. Примером прямых затрат может служить оплата водителей грузовых автомашин, ожидающих разгрузки, или стоимость эксплуатации самолета или судна, ожидающего посадки на аэродром или швартовки у причала. Определить косвенные расходы гораздо сложнее. Например, водители автомашин, нуждающиеся в бензине, стараются не заправляться на станциях, где у бензоколонок скапливается большая очередь. Чтобы определить, сколько клиентов теряется в подобных ситуациях, и выразить эти потери в денежной форме, потребуется проведение экспериментов или тщательный анализ изменения спроса при различных уровнях обслуживания с использованием статистических данных.

4.1. Основные понятия теории массового обслуживания

Система массового обслуживания (СМО) обеспечивает обслуживание требований, поступающих в нее из источника требований и возвращающихся после обслуживания в источник. Обслуживание требований производится обслуживающими приборами. Система может содержать от одного до бесконечного числа приборов. Выбор очередного требования из очереди на обслуживание производится с помощью некоторой дисциплины обслуживания.

Случайные последовательности требований, которые поступают в систему обслуживания и которые необходимо обслужить, называются

69

как правило, предполагается последовательностью независимых одинаково распределенных положительных случайных величин. Последовательность интервалов обслуживания, естественно, не содержит промежутков времени, когда прибор обслуживания свободен от требований. Особенно важен случай, когда длительности обслуживания имеют одинаковое экспоненциальное распределение с параметром μ.

При рассмотрении систем массового обслуживания будем использовать следующие обозначения:

λ – интенсивность входящего потока требований; μ – интенсивность обслуживания требований одним прибором; æ – число обслуживающих приборов в системе;

ψ – коэффициент использования обслуживающих приборов системы; b - математическое ожидание (м.о.) числа требований в очереди;

g - м.о. числа свободных приборов в СМО;

Pn - стационарная вероятность пребывания в СМО точно n требований.

4.2. Постановка задачи и метод решения

Рассмотрим задачу. На автомобильном заводе сложилась такая ситуация, что нельзя предоставить рабочим одновременно все необходимые для работы инструменты. Разнообразные инструменты имеются на складе. Поэтому при получении инструментов наблюдается образование очередей рабочих у склада. Очевидно, следует уменьшить время ожидания рабочих в очереди, так как оно потеряно для производства. Один кладовщик может обслуживать одновременно только одного рабочего. Если кладовщиков слишком много, то очереди рабочих не будет, но невыгодно платить «простаивающим» кладовщикам. Если кладовщиков недостаточно, то будут образовываться длинные очереди. Таким образом, возникает следующая задача: определить оптимальное количество кладовщиков в том смысле, чтобы время, потерянное рабочими, с одной стороны, и кладовщиками, с

70

другой, приводило бы к минимальным затратам, если себестоимость часа рабочего равна 6 руб., а себестоимость часа кладовщика – 3 руб.

Исследование начинается с определения статистических характеристик процесса поступления рабочих (требований) в кладовую и времени, затрачиваемого кладовщиками (приборами) на их обслуживание. Изучение входящего потока производится следующим образом. Каждые 10 минут в течение 100 последовательных десятиминутных интервалов отмечается число рабочих, пришедших в инструментальную кладовую за получением инструментов. Вычисляются частоты, соответствующие наблюдаемым числам. Результаты приведены в табл.1.

Определим среднее значение числа поступлений за 10 минут, эту величину обозначим через λ:

λ = 5 0.01 + 6 0 + 7 0.01 + ... + 25 0.01 ≈1.6 ,

то есть в среднем за 10 минут приходят 16 рабочих или 1.6 рабочих в минуту. В третьем столбце табл.1 приведены частоты, соответствующие распределению Пуассона, согласно которому

71

где Pn (t) - вероятность того, что за время t произойдет n поступлений при

λ=1.6 и t=10. Затем с помощью критерия χ2 проверяется приемлемость гипотезы о пуассоновском распределении исследуемой совокупности.

Оказывается, что при числе степеней свободы, равном 19, χ2 =12.

Вероятность того, что экспериментальное распределение является пуассоновским, больше 0.88. Таким образом, можно допустить, что распределение соответствует закону Пуассона с λ=1.6.

Для измерения длительности обслуживания используют счетчик. Счетчик включают в начале обслуживания и выключают в конце. Таким образом регистрируется продолжительность 1000 обслуживаний. Затем вычисляются частоты, соответствующие интервалам 0 – 15, 16 – 30, 31 – 45,

..., 301 – 315 секунд, которые приведены в табл. 2.

Используя значения наблюдаемых частот, вычислим среднее значение длительности обслуживания ν =1.1 минуты. Отсюда следует, что интенсивность обслуживания μ=1/1.1=0.9 требований в минуту. В третьем столбце табл.2 приведены значения статистической функции распределения, которая строится по наблюдаемым частотам. Четвертый столбец табл.2 содержит значения вероятностей, соответствующих экспоненциальному распределению P{ξ < t}=1 − e−μt при μ=0.9, где ξ – случайная величина,

длительность обслуживания требования. В данном случае критерий χ2 дает

величину χ2 =1.91 при числе степеней свободы, равном 19. Вероятность того,

что гипотеза об экспоненциальном распределении справедлива, больше 0.99. Таким образом, можно допустить, что в рассматриваемом случае имеет место экспоненциальное распределение с параметром μ=0.9.

72

В качестве модели рассматриваемой системы будем использовать систему массового обслуживания. Поток рабочих на склад соответствует входящему потоку требований в СМО. Длительность обслуживания рабочего кладовщиком соответствует длительности обслуживания требования прибором обслуживания. Число кладовщиков на складе соответствует числу обслуживающих приборов в СМО.

Как было показано выше, входящий поток требования в систему является пуассоновским с интенсивностью λ, а длительность обслуживания требований на каждом приборе обслуживания представляет собой последовательность независимых одинаково распределенных экспоненциально случайных величин.

Определим функцию потерь R(æ) в единицу времени следующим образом:

где æ – число обслуживающих приборов СМО, b - м.о. числа требований в очереди СМО (рабочих), g - м.о. числа свободных приборов (кладовщиков).

Из теории массового обслуживания известно, что

73

g = (1 − ψ) æ,

где g = (1 − ψ) æ.

Определим значение числа обслуживающих приборов æ, обеспечивающее минимум функции потерь. Можно показать, что функция R(æ) имеет только один минимум. Определим минимум этой функции путем ряда последовательных приближений. Вычислим м.о. числа требований в очереди при æ, равном 2, 3, 4, 5:

Отсюда видно, что минимальное значение функции потерь достигается при æ=3. Таким образом, оптимальное число кладовщиков равно трем.

4.3. Вопросы для самопроверки

1.Что такое обслуживающая система?

2.Что такое требование?

74

3.Что такое обслуживающий прибор?

4.Что такое очередь?

5.Что такое дисциплина обслуживания? Приведите примеры.

6.Что является задачей массового обслуживания?

7.Сформулируйте цель решения задач массового обслуживания.

8.Приведите примеры содержательных постановок задач массового обслуживания.

9.Что называют потоком требований?

10.Дайте определение рекуррентного потока.

11.Дайте определение пуассоновского потока.

12.Перечислите и сформулируйте свойства пуассоновского потока.

13.Вспомните, что такое пуассоновское распределение.

14.Вспомните, что такое экспоненциальное распределение.

15.Опишите модель рассмотренной в п.4.2. задачи.

4.4. Задачи для самостоятельного решения

Определить оптимальное количество кладовщиков при условии, что поступление рабочих на склад описывается пуассоновским распределением с параметром λ и длительности обслуживания рабочих имеют экспоненциальное распределение с параметром μ. Оптимальность понимается в следующем смысле: минимизация времени, потерянного, с одной стороны, рабочими в очередях, и, с другой стороны, кладовщиками при простое. Себестоимость часа рабочего равна a, себестоимость часа кладовщика – b.

Варианты заданий:

75

4.5.Литература

1.Митрофанов Ю.И. Основы теории сетей массового обслуживания. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1993.116с.

2.Клейнрок Л. Теория массового обслуживания/ Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1979. 432с.

3.Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения/ Пер.

с фр. М.: Мир, 1965. 303с.

5.Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:

Наука, 1979.496с.

Варианты контрольных работ Вариант №1.

На трех базах А1,А2 ,А3 находится однородный груз в количестве а1,а2 ,а3 т. Этот груз необходимо развести пяти потребителям В1,В2 ,В3 ,В4 ,В5 , потребности которых

76

в данном грузе составляют b1,b2 ,b3,b4 ,b5 т. соответственно. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Матрица тарифов и значения ai ,b j приведены в таблице. Требуется спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a1,a2 ,a3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1,b2 ,b3

кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1,P2 ,P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

Вариант №2.

1. На трех базах А1,А2 ,А3 находится однородный груз в количестве а1,а2 ,а3 т. Этот груз необходимо развести пяти потребителям В1,В2 ,В3,В4 ,В5 , потребности которых в данном грузе составляют b1,b2 ,b3 ,b4 ,b5 т. соответственно. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Матрица тарифов и

77

значения ai ,b j приведены в таблице. Требуется спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a1,a2 ,a3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1,b2 ,b3

кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1,P2 ,P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить а) геометрически;

3. Решить задачу о назначении

Вариант №3.

1. На трех базах А1,А2 ,А3 находится однородный груз в количестве а1,а2 ,а3 т. Этот груз необходимо развести пяти потребителям В1,В2 ,В3,В4 ,В5 , потребности которых в данном грузе составляют b1,b2 ,b3,b4 ,b5 т. соответственно. Стоимость перевозок