Ответ: .

1.5.6. На экваторе некоторой планеты (плотность вещества планеты ) тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Определить период обращения планеты вокруг собственной оси. Ответ:.

1.5.7. Определить отношение гравитационной потенциальной энергии искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите, к его кинетической энергии. Ответ: .

1.5.8. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала соприкасаются друг с другом. Определить, как изменится потенциальная энергия взаимодействия, если из того же материала изготовить шары с вдвое большими массами и тоже привести их в соприкосновение. Ответ: .

1.5.9. Луна притягивает к себе тело, находящееся на большом расстоянии от нее в состоянии покоя. Полагая, что атмосфера на Луне отсутствует, определить скорость падения тела на поверхность Луны. Ответ: .

1.5.10. Спутник поднимают на высоту, равную радиусу Земли, над ее поверхностью, а затем запускают по круговой орбите на той же высоте. Определить отношение работ на подъем спутника и на его запуск. Ответ: .

1.5.11. Искусственный спутник Земли запущен с экватора и движется по круговой орбите в плоскости экватора в направлении вращения Земли. Найти отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли при условии, что спутник периодически раз в двое суток, проходит над точкой запуска. Радиус и период обращения Земли вокруг своей оси, а также ускорение свободного падения на ее поверхности считать известными. Ответ: (),().

1.5.12. Радиус Луны равен 0,27 радиуса Земли. Средняя плотность вещества Луныравна 0,61 средней плотности вещества Земли. Зная ускорение свободного падения на поверхности Земли, определить по этим данным ускорение свободного падения на поверхности Луны. Ответ:.

1.5.13. На какую высоту над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость ракеты будет равна первой космической скорости. Ответ: .

1.5.14. Радиус малой планеты , средняя плотность вещества. Определить вторую космическую скорость у поверхности этой планеты. Ответ:.

1.5.15. Какова будет скорость ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли вертикально с начальной скоростью ? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ:.

6. Механические колебания Справочные сведения

Уравнение гармонических колебаний , где- собственная частота колебаний системы. Решение уравнения имеет вид, где- амплитуда,- фаза,- начальная фаза колебаний.

Периоды колебаний маятников: математического - ; пружинного -; физического -.

Уравнение затухающих колебаний , где- коэффициент затухания. Решение уравнения имеет вид, где- частота затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний системы, в течение которых амплитуда колебаний уменьшается враз. Добротностьпропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

Уравнение вынужденных колебаний , гдеи- амплитуда и частота внешней вынуждающей силы. Решение этого уравнения равно сумме решений однородного уравнения (затухающих колебаний) и частного решения неоднородного уравнения, которое имеет вид.

Резонансная частота и амплитуда вычисляются по формулам ,.

При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты иполучается результирующее колебание, амплитуда и начальная фаза которого вычисляется по формулам,.

Примеры решения задач

При решении задач на свободные или вынужденные колебания, как правило, не требуется решать уравнения соответствующих колебаний. Достаточно определить значение силы, вынуждающей движение тела к положению равновесия и тогда, из сопоставления полученного уравнения и соответствующего уравнения колебаний можно определить период и частоту колебаний, а значит и найти закон движения тела. Рассмотрим конкретные примеры.

Задача 1. Математический маятник подвешен вблизи вертикальной стены и колеблется в плоскости, параллельной стене. В стену вбит гвоздь так, что середина нити маятника наталкивается на него каждый раз, когда маятник проходит положение равновесия справа налево. Найти длину нити, если период колебаний такого маятника (с помехой в виде гвоздя).

Решение

Очевидно, что период колебаний такого маятника равен полусумме периодов колебаний маятника с длиной нити и маятника с длиной нити.

Используя известное выражение для периода колебаний математического маятника, получаем

. (1.6.1)

Выражая из (1.6.1) длину нити, находим

.

Подстановка числовых значений дает

.

Задача 2. Груз массойсбрасывается с высотына чашку пружинных весов. Жесткость пружины, масса чашки. Определить амплитуду колебаний. При какой высоте произойдет отрыв груза от чашки в верхней точке? Считать, что удар груза о чашку неупругий, но груз не прилипает к чашке.

Решение

Воспользуемся законом сохранения энергии и определим скорость груза в момент удара о чашку

. (1.6.2)

Для определения скорости чашки вместе с грузом сразу после удара применяем закон сохранения импульса

. (1.6.3)

Пусть удлинение пружины перед падением груза равно , а в момент максимального растяжения пружины после падения груза -. Тогда применяя для движения чашки с грузом закон сохранения энергии, получаем

. (1.6.4)

Так как из условия равновесия пружины под весом чашки следует, то используя (1.6.2), (1.6.3), получаем квадратное уравнение относительно:

. (1.6.5)

Решая (1.6.5), находим

.

Определим равновесное удлинение пружины под действием чашки вместе с грузом

.

Поскольку амплитуда колебаний есть максимальное смещение тела от положения равновесия, получаем

. (1.6.6)

Условие отрыва груза от чашки в верхней точке состоит в исчезновении силы реакции со стороны чашки. По второму закону Ньютона это дает , где- ускорение груза. Поскольку, а уравнение колебаний имеет вид, максимальное значение ускорения. Частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле, следовательно, условие отрыва груза принимает вид

. (1.6.7)

Подставляя (1.6.6) в (1.6.7) и решая относительно высоты падения, получаем

.

Задача 3. К колесу радиусас горизонтально расположенной осью прикрепили на ободе грузик массой. Найти массу колеса, предполагая ее однородно распределенной по ободу, если частота малых колебаний колеса вокруг оси равна.

Решение

Будем характеризовать положение колебательной системы при помощи угла отклонения радиуса колеса, проведенного через грузик, от вертикального направления. Полная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии колеса и груза и потенциальной энергии груза.

Кинетическая энергия может быть выражена через угол отклонения по формуле

,

где - момент инерции системы.

Потенциальная энергия груза выражается через угол отклонения по формуле

.

Из закона сохранения энергии следует

.

Дифференцируя это уравнение по времени, получаем

.

Рассматривая случай малых колебаний , получаем

. (1.6.8)

Таким образом, для частоты малых колебаний из (1.6.8) следует

. (1.6.9)

Выражая из полученной формулы массу колеса, находим

.

Задача 4. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями,. Определить уравнение траектории точки.

Решение

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла

. (1.6.10)

Выразим из уравнения горизонтального движения и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

,. (1.6.11)

Подставляя (1.6.11) в (1.6.10) и затем – в уравнение вертикального движения, получаем

,

или, после возведения в квадрат,

.