1.3. Производящие функции

Для решения комбинаторных задач в некоторых случаях можно использовать методы математического анализа. В качестве примера рассмотрим основную идею метода производящих функций.

Пусть имеется последовательность чисел и последовательность функций. Этой последовательности сопоставим формальный ряд(для конечных последовательностей этот ряд превращается в многочлен). В ряде случаев, например, при определенных ограничениях, данный ряд может оказаться сходящимся и задавать некоторую функцию:. Эта функция называетсяпроизводящей для последовательностиотносительно последовательности функций.

В качестве обычно используюти.

В качестве примера применения производящих функций установим с их использованием следующее комбинаторное тождество:

.

Прежде всего, заметим, что из формулы бинома Ньютона следует, что функцияявляется производящей для биномиальных коэффициентов. Возьмем тождествои разложим функцииив левой и правых частях этого тождества по формуле бинома Ньютона:

.

Сравнивая коэффициенты при в левой и правой частях последнего тождества, получаем

.

6