Учебный практикум по ЭМММ

Решение двойственной задачи получим из строки L результирующей таблицы с учетом соответствия между переменными

исходной и двойственной задач: Ymax (0;1/ 3;2 / 3;0;0), Lmax 16 / 3.

Для решения двойственной ЗЛП табличным симплексным методом,

Используя алгоритм табличного симплексного метода, получим решение двойственной задачи.

61

Найдем координаты точки Amin, решив систему уравнений x1 x2 4,

x1 2x2 6.

Итак, Amin = (14/3; 2/3), L = 16/3.

63

10. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Транспортная задача является частным случаем задачи линейного программирования и может быть решена симплекс-методом. Однако, в силу особенностей этой задачи, она решается с помощью так называемого распределительного метода и его модификаций.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления А1, А2,…, Аm в n пунктов назначения B1, B2,…,Bn. При этом в качестве критерия оптимальности берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки.

Рассмотрим транспортную задачу, в которой в качестве критерия оптимальности берется минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через сij тарифы или стоимости перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через ai – запасы груза в i-м пункте отправления, через bj – потребности в грузе j-ым пунктом назначения, через xij – количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения (перевозки). Тогда математическая модель транспортной задачи сводится к минимизации целевой функции, выражающей суммарные затраты на перевозку всего груза

xij 0

Определение. Всякое неотрицательное решение системы ограничений транспортной задачи, определяемое матрицей,

xm1xm 2 ...xmn

называют допустимым решением (или планом) транспортной задачи.

64

Определение. План, X (xij )m n , при котором целевая функция

принимает минимальное значение, называется оптимальным.

Тарифы или стоимости перевозок единицы груза сij также задаются матрицей, которая называется матрицей транспортных издержек или матрицей стоимостей

Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде табл. 11.

Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, то есть, чтобы выполнилось равенство (балансовые условия).

65

Следующая клетка (3,3). В нее помещаем перевозку x33 = 20, так как потребителю B3 не хватает 20 единиц груза и на складе A3 имеется 20 единиц груза. Берем клетку (1,2) со стоимостью c12 = 3 и помещаем в нее перевозку x12 = 40. Проверяем балансовые условия. Потребители B1 и B2 полностью удовлетворили свои потребности, а потребителю B3 не хватает 10 единиц груза. Груз остался только на складе A1 в нужном количестве, поэтому в клетку (1,3) помещаем x13 = 10. После заполнения транспортной таблицы следует обязательно проверить количество свободных (базисных) и пустых (свободных) клеток.

Замечание. Число заполненных клеток равно m + n – 1, а пустых клеток – m × n – (m + n – 1), где m – количество пунктов отправления, n – количество пунктов назначения.

Если число заполненных клеток равно m + n – 1, то план является невырожденным. Если число заполненных клеток меньше этого значения, то план (решение) называется вырожденным. В случае вырожденности плана условно считают одну (или несколько) из пустых клеток занятой, записывая в нее нулевую перевозку так, чтобы число занятых клеток стало равным m + n – 1.

10.2. Перераспределение перевозок. Цикл пересчета

Перераспределение перевозок транспортной таблицы с целью улучшения решения происходит по циклу.

Определение. Циклом пересчета в транспортной таблице называют несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 900.

Свойства цикла пересчета.

1)каждый цикл имеет четное число вершин;

2)одна вершина цикла находится в свободной (пустой) клетке (для которой образуется цикл), остальные клетки базисные (заполненные);

67

3) если ломанная линия, образующая цикл, пересекается, то точка самопересечения не является вершиной цикла;

4) для каждой свободной клетки можно построить цикл пересчета и притом единственный.

После того как для выбранной свободной клетки построен цикл, следует перейти к новому допустимому решению. Для этого необходимо переместить перевозки xij в пределах клеток, связанных циклом. Это перемещение перевозок производят по следующим правилам:

–каждой из клеток, связанных циклом со свободной клеткой, приписывают определенный знак, причем свободной клетке – знак «+»,

авсем остальным клеткам – поочередно знаки «–» и «+»;

–в свободную клетку перемещают меньшую из перевозок xij, находящихся в клетках со знаком «–», чтобы не нарушить условие не

отрицательности перевозок xij. Одновременно это же число перевозок прибавляют к перевозкам, находящихся в клетках со знаком «+» и вычитают из клеток со знаком «–». В результате свободная клетка становится занятой (базисной), а клетка, в которой находилась меньшая

перевозка xij стала свободной.

Замечания.

1) все описанные действия производятся над клетками, связанными циклом;

2)при переносе перевозок по циклу балансовые условия не нарушаются;

3)при переносе перевозки по циклу пересчета число занятых клеток остается неизменным, равным m + n – 1;

4)если в клетках со знаком «–» имеется две или более одинаковые

перевозки xij, то освобождают одну из клеток, содержащих эту перевозку, а остальные оставляют занятыми нулевыми перевозками.

10.3. Распределительный метод нахождения оптимального решения транспортной задачи

Распределительный метод заключается в нахождении оценок циклов пересчета для всех свободных клеток транспортной таблицы. Если оценка цикла отрицательна, то решение задачи можно улучшить путем переноса перевозки xij по циклу. Если оценки для всех циклов неотрицательны, то решение оптимально.

Определение. Оценкой цикла будем называть разность между суммой тарифов клеток со знаком «+» и суммой тарифов клеток со знаком «–» и обозначать ij .

Пример. Решить ТЗ распределительным методом

68

В табл. 12 построим для свободных клеток (1,3) и (2,2) циклы пересчета и найдем их оценки:

Так как оценка 13 отрицательна, решение, заданное табл. 12 не

по циклу. Такой перевозкой будет меньшая, стоящая в клетках со знаком «–», то есть x23 = 20. В результате перемещения перевозки по циклу получим новое допустимое решение, представляемое табл. 13. Проверим это решение на оптимальность, построив циклы пересчета для свободных клеток (2,1) и (2,3) и их оценки.

69

Так как оценки циклов, построенных для всех свободных клеток положительны (или равны нулю), то полученное допустимое решение – оптимально.

10.4. Метод потенциалов нахождения оптимального решения транспортной задачи

Предположим, что каждый пункт отправления A1 вносит за

всех базисных переменных, представляют совместную систему линейных уравнений, причем одну из переменных можно задавать произвольно и тогда остальные переменные из системы уравнений

или косвенными стоимостями (тарифами). Псевдостоимости находятся для всех свободных клеток.

положительны, поскольку не исключено, что «перевозчик» сам платит тому или иному пункту какую-то премию за перевозку.

псевдостоимость перевозок при любом допустимом плане сохраняет одно и тоже значение

В этой формуле с зависит только от совокупности платежей и не зависит от того, каким именно допустимым планом пользуемся.

70