Глава 35
Множества
ему получается пустое множество, оно обозначается символом Ø. Из пустого множества тоже можно вычитать, и результатом опять будет пустое множество:
(B — B) — B = Ø
(Ø — W) — B = Ø
Вот такими интересными свойствами обладают множества!
Подмножества и надмножества
На рис. 85 белый круг полностью поглощен черным. Тогда говорят, что множество точек белого круга составляет подмножество точек черного. Или так: множество точек черного круга является надмножеством точек белого. Математик выразит это формулой:
B > W
Надмножество B |
Подмножество W |
B
W
Рис. 85 Надмножество (B) и подмножество (W)
А если круги совпадают и полностью перекрывают друг друга? Тогда говорят, что множества равны, и любое из них является и подмножеством, и надмножеством другого. В общем случае:
если B ≥ W , то B является надмножеством W;
если B ≤ W , то B является подмножеством W.
Числовые множества
Мы рассмотрели несметные множества бесконечно маленьких точек. Но компьютеры ещё не умеют работать с бесконечностями. Так умерим свой аппетит и перейдем к множествам с конечным числом элементов. Поступим так: вместо раскраски кругов расставим на них ряд жирных точек и пронумеруем их числами от 1 до 9 (рис. 86). В ходе последующих опытов нас будут интересовать лишь эти избранные точки (то есть, числа).
252
|
Глава 35 |
|
Множества |
● 8 A |
B ● 4 |
● 7 |
● 5 |
● 9 |
● 6 |
|
|
|
● 2 |
● 3 |
● 1 |
Рис. 86 – Множества чисел
Так мы получили два конечных множества чисел. Одно из них, обозначенное буквой A, содержит числа 8, 7, 9, 3, 5, 2. Другое обозначено буквой B и включает числа 5, 4, 6, 1, 2. Эти множества математики записали бы так:
A = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 }
B = { 5, 4, 6, 1, 2 }
Для записи множеств они используют фигурные скобки. Обратите внимание: числа в скобках следуют в произвольном порядке. Это значит, что порядок перечисления элементов множества не важен. Учтите также, что числа 2 и 5 входят в оба множества.
Подобно точкам на круге, каждый элемент числового множества уникален, иными словами, может входить в множество лишь единожды. Вспомните нашу попытку покрасить углем черный круг, — добавление к множеству существующих в нём элементов не изменяет его. Этим же свойством обладают и числовые множества. Например, для нашего случая справедливо следующее:
A + { 8, 7 } = A
Множество A после объединения с множеством {8,7} не изменилось, поскольку уже содержало эти числа.
С числовыми множествами поступают так же, как и с бесконечными: объединяют, пересекают, вычитают и сравнивают. Вот примеры этих операций для нашего случая.
Объединение множеств содержит все числа исходных множеств, при этом повторения (дубликаты) отбрасывают:
G = A + B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } + { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 8, 7, 9, 3, 5, 2, 4, 6, 1 }
253
Глава 35
Множества
Хотя числа 2 и 5 входили в оба исходных множества, в объединении они встречаются по разу.
Пересечение множеств содержит только числа, входящие в оба множества:
A * B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } * { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 5, 2 }
Разность множеств A—B содержит числа, состоящие в множестве A, но отсутствующие в множестве B:
A — B = { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } — { 5, 4, 6, 1, 2 } = { 8, 7, 9, 3 }
Разность множеств B—A содержит числа, состоящие в множестве B, но отсутствующие в множестве A:
B — A = { 5, 4, 6, 1, 2 } — { 8, 7, 9, 3, 5, 2 } = { 4, 6, 1 }
Всё это легко проверить по рис. 86.
Мощность множества, полные и неполные множества
Мощность множества — это наибольшее количество элементов, которое может содержаться в нём. В нашем числовом примере мощность множества равна девяти.
Множество, содержащее все возможные свои элементы, называют полным. В нашем случае полным является объединение множеств A+B.
Множество, содержащее не все возможные элементы, является неполным. Так, множества A и B по отдельности — неполные.
Всё это рассказал нам математик. А что же Семен Семенович, или мы забыли о директоре? Нет, конечно, но к директорской задаче мы вернемся после ознакомления с паскалевскими множествами.
Итоги
∙Множество – это совокупность различимых объектов (точек, чисел, предметов), которую мы воспринимаем как нечто целое. Отдельные объекты множества называют его элементами.
∙К множествам применим ряд операций: объединение, пересечение,
вычитание, сравнение.
∙Объединение двух множеств содержит по одному элементу из каждого исходного множества.
∙Пересечение двух множеств содержит только общие их элементы. Если таких элементов нет, пересечение будет пустым.
254
