Математическая логика и теория алгоритмов 2

Математическая логика и теория алгоритмов

Первухин Михаил Александрович

Логическое следствие в АВ

Говорят, что формула 1, … , АВ является логическим следствием

формул 1( 1, … , ), … , 1, … , АВ (обозначается 1, 2, … , ),

если для любых 1, 2, … , {0,1} из соотношений

1 1, … , = 1, … , 1, … , = 1 следует 1, … , = 1 .

Формулы 1( 1, … , ), … , ( 1, … , ) называются гипотезами.

Формула (1, 2, … , ) называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений переменных, на котором формула принимает значение 1 (соответственно 0) .

Пример. Формула х уявляется одновременно выполнимой и опровержимой.

Формула (1, … , ) называется тождественно истинной, общезначимой или тавтологией (тождественно ложной или противоречием), если эта формула принимает значение 1 (соответственно 0) на всех наборах значений переменных.

Пример. Формула ¬ является тождественно истинной, а формула ¬ — тождественно ложной

Множество формул 1, … , АВ называется противоречивым или несовместным, если формула 1 тождественно ложна.

Пример. Множество формул , ¬ , ¬ противоречиво.

Теорема 1. Пусть 1, . . , , – формулы АВ. Следующие условия эквивалентны:

1.1, . . , ;

2.1, . . , → ;

3.{ 1, . . , , ¬ } – противоречивое множество формул;

4.1, . . , → – тождественно истинная формула;

5.1 . . . ¬ – тождественно ложная формула.

Эквивалентные формулы АВ

Формулы и АВ называются эквивалентными (обозначается ≡ ), если и , т.е. совпадают их таблицы истинности.

Пример. (х → ) ≡ (¬ → ¬ ).

Легко видеть, что отношение ≡ является отношением эквивалентности на множестве формул АВ, т. е. оно рефлексивно ( ≡ ), симметрично (если ≡ , то ≡ ), транзитивно (если ≡ и ≡ , то ≡ ), где , , – произвольные формулы АВ.

Основные эквивалентности в АВ

1.≡ , ≡ (законы идемпотентности);

2.≡ , ≡ (законы коммутативности);

3.( ) ≡ ( ), ( ) ≡ ( ) (законы ассоциативности);

5.¬( ) ≡ ¬ ¬ , ¬( ) ≡ ¬ ¬ (законы де Моргана);

6.¬¬ ≡ (закон двойного отрицания);

7.→ ≡ ¬ ;

8.( ) ≡ , ( ) ≡ (законы поглощения);

9.(¬ ) ≡ , ¬ ( ) ≡ ¬ ;

10.(¬ ) ≡ , ¬ ( ) ≡ ¬ .

Утверждение. Если формула 1 тождественно истинна, 0 — тождественно ложна, то для любых формул и справедливы следующие эквивалентности:

1)1 ≡ ; 0 ≡ ;

2)0 ≡ 0; 1 ≡ 1;

3)¬ ≡ 0; ¬ ≡ 1.

Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы в АВ

Если — логическая переменная, {0,1}, то выражение

называется литерой. Литеры х и ¬х называются контрарными.

Элементарной конъюнкцией или конъюнктом называется конъюнкция литер. Элементарной дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция литер.

Дизъюнкция конъюнктов называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ); конъюнкция дизъюнктов называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Пример. Формула ( ¬ ) ( ) — ДНФ, формула (х ¬ ) ( ) — КНФ, а формула ¬ является одновременно КНФ и ДНФ.

Теорема. Для любой формулы АВ существует ДНФ (КНФ) АВ такая, что ≡ .

Алгоритм приведения формулы к ДНФ

1.Выражаем импликацию, участвующую в построении формулы, через дизъюнкцию и отрицание, используя эквивалентность → ≡ ¬ .

2.Используя законы де Моргана, переносим все отрицания к переменным и сокращаем двойные отрицания пользуясь законом двойного отрицания.

3. Используя закон дистрибутивности ( ) ≡ ( ) ( ), преобразуем формулу так, чтобы все конъюнкции выполнялись раньше дизъюнкций.

В результате применения пп. 1-3 получается ДНФ, эквивалентная исходной формуле.

Пример. Привести к ДНФ формулу ¬(( → ) ¬( → )).