Основные формулы по алгебре и геометрии

Векторная алгебра

1. Если даны точки и , то или

2. Пусть , и , . Тогда

, .

3) Условие коллинеарности векторов: .

4) Модуль (длина) вектора: .

5) Направляющие косинусы

причем ,

- орт вектора

6) Скалярное произведение векторов:  или

; ; .

7) Условие перпендикулярности векторов: .

8) Векторное произведение векторов: .

; .

9) Смешанное произведение векторов:

Если икомпланарны, то

10) Деление отрезка в данном отношении:

Если и - концы отрезка, а - точка, делящая отрезок в отношении , то .

Прямая на плоскости

1) - общее уравнение прямой;

2)- уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

3. - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору

4) -параметрические уравнения прямой;

5) - уравнение прямой, проходящей через две точки и

6) - уравнение прямой в отрезках, где и - величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях и соответственно;

7) - уравнение прямой с угловым коэффициентом, где - угловой коэффициент прямой, а - отрезок, отсекаемый прямой на оси

8) - уравнение прямой, проходящей через точку где - угловой коэффициент прямой.

9) Угол между двумя прямыми и : и

10) Условие перпендикулярности: или

11) Условие параллельности: или .

12) Расстояние от точки до прямой :

.

Кривые второго порядка

1) Каноническое уравнение окружности:

центр в точке радиус равен .

2) Каноническое уравнение эллипса:

Числа называются полуосями эллипса, точки - фокусы эллипса,

.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

3) Каноническое уравнение гиперболы

Числа называются действительной и мнимой полуосями, точки -фокусы гиперболы, .

-асимптоты гиперболы.

- называется эксцентриситетом гиперболы.

4) Каноническое уравнения параболы:

Точка - фокус параболы .

- уравнение директрисы параболы .

Плоскость

1) - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору ;

2) - общее уравнение плоскости - нормаль плоскости;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и ;

4) - уравнение плоскости в отрезках, где - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях и соответственно.

5) Угол между двумя плоскостями:

.

6) Условие параллельности двух плоскостей:.

7) Условие перпендикулярности двух плоскостей:

.

8) Расстояние от точки до плоскости находят по формуле

Прямая в пространстве

1) - канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку параллельно вектору ;

2)-параметрические уравнения;

3) - уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки , ;

4) - общие уравнения прямой.

Направляющий вектор этой прямой .

5) Угол между двумя прямыми и :

6) Условие параллельности двух прямых: .

7) Условие перпендикулярности двух прямых: .

8) Угол между прямой и плоскостью: .

9) Условие параллельности прямой и плоскости: .

10) Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

4