Блок 2. Случайные величины

Задача 4.

Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

Найти вероятность и дисперсию , если математическое ожидание

Решение.

По условию задачи дано: закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

Значение вероятностей находим из формулы:

Так как , то составим систему линейных уравнений и вычислим значения вероятностей

Выразим через и подставим в первое уравнение:

Таким образом, закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

Дисперсию вычисляем по формуле:

Ответ:

Математическая статистика Блок 3. Численная обработка данных одномерной выборки

Задача 5.

Выборка X объемом измерений задана таблицей:

где - результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения ,

1. Построить полигон относительных частот

2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение .

Решение.

По условию задачи дано:

Вычислим

Вычислим

Для вычисления относительных частот воспользуемся формулой

и сведем все вычисления в таблицу:

№ п/п	варианты,	частоты,	относительные частоты,
	-

Построим полигон относительных частот (по оси абсцисс отмечаем значения выборки , а по оси ординат – значения относительных частот ):

Среднее выборочное вычисляем по формуле:

Выборочную дисперсию вычисляем по формуле:

Среднеквадратическое отклонение вычисляем по формуле:

Ответ: среднее выборочное ; выборочная дисперсия ; среднеквадратическое отклонение .

Блок 4. Построение уравнения прямой регрессии

Задача 6.

В таблице представлены выборочные данные о производительности труда и себестоимости продукции , полученные с однотипных предприятий за месяц. Найти:

а). коэффициент корреляции ;

б). уравнение регрессии, характеризующее зависимость себестоимости продукции от производительности труда; на графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки и построить прямую .

производительность труда,
себестоимость продукции,

Решение.

По условию задачи дано:

производительность труда,
себестоимость продукции,

а). Для вычисления коэффициента корреляции воспользуемся формулой:

где - выборочные средние значения величин ;

- среднее значение произведений ;

– выборочные среднеквадратические отклонения:

.

Полученные вычисления запишем в расчетную таблицу:

№ п/п
						-
Средние значения						-

Выборочные среднеквадратические отклонения:

Вычислим коэффициент корреляции :

Связь между себестоимостью продукции и производительностью труда высокая, обратная.

б). Для получения уравнения регрессии, характеризующего зависимость себестоимости продукции от производительности труда , составим и решим систему уравнений:

Уравнение регрессии, характеризующее зависимость себестоимости продукции от производительности труда, имеет вид:

На графике изобразим корреляционное поле и построим прямую

.

Ответ: а). коэффициент корреляции , связь между себестоимостью продукции и производительностью труда высокая, обратная; б). уравнение регрессии, характеризующее зависимость себестоимости продукции от производительности труда, имеет вид: .