§6 Числовые характеристики вариационных рядов

Вариационным размахом называется разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда: R = .

Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот: , где - варианты или середины интервалов, - соответствующие им частоты.

Найти среднюю арифметическую вариационного ряда:

№	Вариационный ряд	Средняя арифметическая
1	Тарифный разряд 1 2 3 4 5 6 Количество рабочих 2 3 6 8 22 9 50	4,08
2	Выработка 94-100 100-106 106112 112-118 118-124 124130 130136 136142 Количество рабочих (частота ) 3 7 11 20 28 19 10 2	119,2

Очевидно, что .

Дисперсией вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:

Дисперсия характеризует группировку признака около среднего арифметического или разброс около нее.

Средним квадратическим отклонением вариационного ряда называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

Вычислить вариационный размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации вариационного ряда:

Вариационный ряд	Тарифный разряд 1 2 3 4 5 6 Количество рабочих 2 3 6 8 22 9	Выработка 94-100 100106 106112 112-118 118124 124130 130-136 136142 Количество рабочих 3 7 11 20 28 19 10 2
R
	4,08	119,2
	*	** 87,48
		9,35 (%)
Вычисления	*
	**

Коэффициентом вариации называется процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации – безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность. Если коэффициент вариации признака, принимающего положительные значения, высок, например, больше 100%, то это свидетельствует о неоднородности значения признака.

Существуют упрощенные формулы для вычислений средней арифметической и дисперсии, а именно: , , где n - объем выборки, - значение признака, - частота значений признака, m - число значений признака, k – величина интервала, с – середина серединного (или одного из серединных) интервалов.

Вычислить упрощенным способом среднюю арифметическую и дисперсию распределения рабочих по выработке.

Интервалы х	Середина интервала		с =121
94 - 100	97	3	-24	-4	-12	48
100 - 106	103	7777	-18	-3	-21	63
106 - 112	109	171	765-12	-2	-22	44
112 - 118	115	20	-6	-1	-20	20
118 - 124	121	28	0	0	0	0
124 - 130	127	19	6	1	19	19
130 - 136	133	10	12	2	20	40
136 - 142	139	2	18	3	6	18
100 -30 252
= 119, 2(%), = 87,48

Вычислить упрощенным способом среднюю арифметическую и дисперсию распределения рабочих по росту.

Интервалы х	Середина интервала		с =165,5
143 - 146	144,5	1
146 - 149		2
149 - 152		8
152 - 155		26
155 - 158		65
158 - 161		120
161 - 164		181
164 - 167		201
167 - 170		170
170 - 173		120
173 - 176		64
176- 179		28
179 - 182		10
182 - 185		3
185 - 188		1
1000 10 4064
= 165,53; = 36,5751

Средняя арифметическая , дисперсия и другие характеристики вариационного ряда являются статистическими аналогами математического ожидания M(X), дисперсии D и соответствующих характеристик случайной величины Х. Вариационный ряд может рассматриваться как одна из реализаций распределения случайной величины.

Случайная величина		Вариационный ряд
Термин	Обозначения, формулы	Термин	Обозначения, формулы
Дискретная случайная величина		Дискретный ряд
Непрерывная случайная величина		Интервальный ряд
Значение случайной величины		Вариант
Вероятность		Частость
Многоугольник распределения, кривая распределения вероятностей		Полигон, гистограмма
Функция распределения		Эмпирическая функция распределения
Математическое ожидание	а =	Средняя арифметическая
Дисперсия	= =	Дисперсия	= =
Среднее квадратическое отклонение		Среднее квадратическое отклонение

65