3.Гомоморфизмы и изоморфизмы.

Определение.Пусть даны группы G и G.Тогда отображение f : G→ G называется гомоморфизмом ,если для любых g,h принадлежащих G выполняется .

Утверждение1.Если f : G→ G-гомоморфизм групп и .Тогда

Доказательство.

Действительно, • =•.Аналогично •=.Это означает, что Утверждение1 доказано.

Утверждение2.Если f : G→ G- гомоморфизм групп, и - единицы групп G,G соответственно.Тогда .

Доказательство.

Умножая левую часть и правую части равенства •• на ,получим требованное.Утверждение2 доказано.

Утверждение3.Если f : G→ G-гомоморфизм групп и -элемент конечного порядка.Тогда элемент также имеет конечный порядок ,причем, если ,то делится на .

Доказательсво.

.Поэтому элемент имеет конечный порядок.Допустим, что не делится на .Тогда ,где .В этом случае получаем: ,что противоречит тому ,что -наименьшая степень такая ,что . Утверждение3 доказано.

Определение.Гомоморфизм который является взаимнооднозначным называют изоморфизм.

Каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы умножения или таблицы Кэли.В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли каждый элемент группы встречается ровно один раз.Если элементы группы перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая перестановка.Это наблюдение приводит к теореме.

Теорема Кэли.Любая конечная группа из элементов изоморфна некоторой подгруппе группы S.

Доказательство.

Пусть G-конечная группа из элементов.Переномеруем элементы группы и рассмотрим ее таблицу Кэли.Тогда каждую строчку можно рассматривать как перестановку чисел .Сопоставим каждому элементу g строчку таблицы Кэли,рассматриваемую как перестановку .Достаточно убедится в том ,что .

Пусть .Тогда перестановка элемент переведет в элемент Далее , перестановка элемент переведет в элемент .Но тоже самое с элементом сделает перестановка .Значит, .

Теорема доказана.

Например группе движений правильного пятиугольника D изоморфна группа подстановок S.Каждому преобразованию группы D можно сопоставить перестановку-перестановку вершин правильного пятиугольника ABCDF.Прономеруем вершины: A→1,

B→2,C→3,D→4,F→5.Тогда отображение D→ S,при котором

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

является изоморфизмом.

Изоморфизм отображающий G на себя называется автоморфизмом.