Приложение 1. Пример расчета трехшарнирной клееной арки кругового очертания.

Конструирование арок.

Конструктивное решение: трехшарнирная клеедеревянная арка кругового очертания постоянного прямоугольного сечения без затяжки. Пролет - 15м. Высота - 4.85м. Материал - древесина 2 сорта. Шаг арок – 3м. Район строительства - Тюмень.

Определение геометрических размеров (рис. 1).

Начало прямоугольных координат принимается в центре левого опорного узла арки.

Определяем радиус арки:

r = (l²+4f²)/(8f)=(15²+4*4.85²)/(8*4.85)=8.22 м.

Длина дуги арки:

S=

Центральный угол дуги полуарки:

sin=l/(2r)=15/(2*8.22)=0.9, этому соответствует =66⁰; cos=0.41;

Рис. 1. К расчету круговой арки.

Сбор нагрузок.

Собственный вес арки:

==11.27 кг/м²,

где g^н – нормативная нагрузка от покрытия, кровли и утеплителя;

р^н – нормативная снеговая нагрузка;

к_св – коэффициент собственного веса (для арок принимается равным 4-5)

Табличный сбор нагрузок без учета криволинейности элемента.

Таблица 1

Наименование нагрузок	Нормативная, кг/м2	Коэффициент надежности по нагрузке f	Расчетная, кг/м2
Кровля (металлочерепица)	5	1,2	5,25
Покрытие (рабочий досчатый настил t=35мм.)	15	1,1	16,5
Покрытие (досчатый настил t=25мм.)	10,5	1,1	11,55
Утеплитель δ=100мм, 2 слоя пароизоляции	20	1,2	24
Арка	11,27	1,1	12,40
Итого	q=61,77		q=69,70
Снег по [2] п. 5.2, табл. 4	126		180
Всего	qн =187,77		qр =249,70

Расчетная нагрузка с учетом разницы между длиной дуги арки и ее проекцией (S/l).

Постоянная =(5.25+16.50+11.55+24)*S/l=57.30*18.7/15=71.43 кг/м²

Временная р=с*р*₂=0,4*180*2,25=162 кг/м²,

где с=l/(8f) – коэффициент снегозадержания для криволинейных покрытий.

Расчетная нагрузка на 1 п.м. арки:

Постоянная g=(71.43+12.40)*3.00=251.49 кг/м.

Временная р=162*3.00=486.00 кг/м.

Ветровая нагрузка не учитывается, т.к. разгружает конструкцию.

Вычисления усилий приводятся только в основных расчетных сечениях. Полупролет арки делитсяна четыре равных части, образующих пять сечений от x=0 до x=7,5 м. Согласно прил.3 п.2 [2] определяем координаты (х,у) дополнительного сечения арки, соответствующее φ=50. Координаты сечений, углы наклона касательных к оси полуарки в этих сечениях определяются по формулам:

у=

где Д=r-f=8.22-4.85=3.37м.

=arcsin((l/2-x)/r).

Геометрические величины оси левой полуарки.

Таблица 2

Координаты	0	0’	1	2	3	4
Х,м	0	1,203	1,875	3,75	5,625	7,5
У,м	0	1,914	2,624	3,945	4,633	4,85
φ	66	50	43	27	13	0

Статический расчет.

Сочетания нагрузок (рис.1 прил.2 методических указаний):

1. Постоянная + снег по всему пролету (по треугольно распределенной форме)

(см рис1а.)

2. Постоянная + снег слева (по треугольно распределенной форме) (см рис1б)

3. Постоянная + снег справа (по треугольно распределенной форме) (см рис1в)

а) от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету (постоянной):

Определяем опорные реакции:

V_А=V_В=ql/2=251.49*15/2=1886.18 кг.

Н=ql²/8f=251.49*15²/8*4.85=1458.38 кг.

Определяем усилия:

М_х=V_А=Бx-qx2/2-Hy;

Qx=(V_A=Б-qx)cos-Hsin;

Nx=(V_A=Б-qx)sin+Hcos;

б) От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете слева р=486.00 кг/м.

V_А=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

V_В=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

Н=l’²*p/(48f)=12.294²*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.,

где l’=l-2х=15.000-2*1.203=12.594 м.

На участке 0≤х≥l/2: На участке l/2≤х≥l:

М_х= V_Аx-px²/2+px³/(3l’)-Hy; М_х= V_Б (l’-x) -Hy;

Q_x=(V_A-px+px²/l’)cos-Hsin; Q_x=-V_Бcos+Hsin

N_x=(V_A-px+px²/l’)sin+Hcos; N_x=-V_Бsin-Hcos;

Примечание:

1) при определении усилий М_х Q_x N_x значения координаты (y) в сечениях принимаем согласно табл.2, значения координаты х =х_n -1.203,

где х_n –координата х в n сечении.

2. при определении усилий в опорных шарнирах принимаем х=1.203 ; р=0

в) От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете справа р=486.00 кг/м.

Расчет выполняется аналогично п.б), при этом

V_А=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

V_в=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

Н=l’²*p/(48f)=12.294²*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.

г) Усилия от распределенной по треугольнику нагрузке на всем пролете определяются путем суммирования усилий от снеговых нагрузок на левом и правом полупролетах арки.

Вертикальная опорная реакция арки V определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в противоположном опорном шарнире. Горизонтальная опорная реак­ция Н, численно равная распору арки без затяжки, определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в коньковом шарнире.

Усилия в арке определяются методами строительной механики в основных расчетных сечениях. Промежуточные вычисления опускаются.

Результаты их сводятся в таблицу 3.

Эпюры усилий от сочетания нагрузок М, Q, N приведены в прил. 2 рис.2. методических указаний.

Усилия в сечениях арки

Таблица 3

Сечение	Усилия
	от постоян-ной нагрузки	От снеговой по треугольно распределенной форме. треугольной распределенной							Расчетные
		на левом полупролете		на правом полупролете			на всем пролете
1	2	3		4			5		6		7
М (кг м)
0	0		0		0	0		0		0
0’	-704.24		-633.76		-633.76	-1267.52		-1337.96		-1971.76
1	-732.27		-117.80		-697.48	-815.28		-850.07		-1547.55
2	-448.42		577.66		-656.71	-79.05		129.24		-527.47
3	-125.56		465.21		-406.34	58.87		339.65		-66.69
4	0		0		0	0		0		0
5	-125.56		-406.34		465.21	58.87		-531.90		-66.69
6	-448.42		-656.71		577.66	-79.05		-1105.13		-527.47
7	-732.27		-697.48		-117.80	-815.28		-1429.75		-1547.55
8’	-704.24		-633.76		-633.76	-1267.52		-1337.96		-1971.76
8	0		0		0	0		0		0
Q (кг)
0	-565.12		216.15		198.76	414.91		-348.97		-150.21
0’	-99.24		565.99		89.72	655.71		466.75		556.47
1	39.99		480.65		39.31	519.96		520.64		559.95
2	178.21		105.96		-76.91	29.05		284.17		207.26
3	131.40		-190.79		-174.01	-364.80		-59.39		-233.40
4	0		255.03		255.03	255.03		255.03		255.03
5	131.40		-174.01		-190.79	-364.80		-42.61		-233.40
6	178.21		-76.91		105.96	29.05		101.30		207.26
7	39.99		39.31		480.65	519.96		79.30		559.95
8’	-99.24		89.72		565.99	655.71		-9.52		556.47
8	-565.12		198.76		216.15	414.91		-366.36		-150.21
N (кг)
0	2316.29		1299.58		-367.66	931.92		3615.87		3248.21
0’	2150.56		1189.65		-408.20	781.45		3340.21		2932.01
1	2031.37		900.96		-416.10	484.86		2932.33		2516.23
2	1727.58		425.62		-410.81	14.81		2153.20		1742.39
3	1527.08		295.78		-380.00	-84.22		1822.86		1442.86
4	1458.38		331.12		331.12	331.12		1127.26		1127.26
5	1527.08		-380.00		295.78	-84.22		1147.08		1442.86
6	1727.58		-410.81		425.62	14.81		1316.77		1742.39
7	2031.37		-416.10		900.96	484.86		1615.27		2516.23
8’	2150.56		-408.20		1189.65	781.45		1742.36		2932.01
8	2316.29		-367.66		1299.58	931.92		1948.63		3248.21

Подбор сечения арок.

Подбор сечения производим по максимальным усилиям:

М_max=-1971.76 кг м., N _соотв.=2932.01кг.

Оптимальная высота поперечного сечения арки находится:

h_опт=(1/30-1/40)l=(0.5-0.375) м.

Требуемая высота сечения арки находится из условия устойчивости

в плоскости кривизны:

= ,

где =120 – предельная гибкость, принимаемая по[1]табл.14;

l₀=0,58S - расчетная длина элемента;

i =0.29h - радиус сечения элемента.

Отсюда h_тр =

Ширину сечения арки принимаем b=0.1м. по сортаменту пиломатериалов, рекомендуемых для клееных конструкций. [5] прил. 1

Толщину досок принимаем, а=2.5 см, а после острожки с двух сторон, а=2.1 см.

Поперечное сечение принимаем прямоугольным , постоянной высоты и ширины. Компонуем из 17 досок сечением 10х2.1 см, тогда высота сечения h=17*2.1=35.7=36 см.

Принятое сечение b x h=10x36 см.

Проверка нормальных напряжений при сжатии с изгибом.

Расчетное сопротивление древесины при сжатии с учетом коэффициентов условий работы при высоте сечения m_б=1 и толщине слоев m_сл=1.05 [1], табл. 7, 8 R_c=130*1*1.05=136.5 кг/см².

Проверку следует производить по формуле:

G=,

F_расч = b x h =10x36 =360 cм²

W_расч = bh²/6 =10x36²/6 =2160 см³

М_Д==1-N/R_cF_бр; =

(при гибкости элемента 70.)

 = 1-N²/(ARcF_бр) = 1-2932.01*103.88²/(3000*136.5*360) = 0.79

М_Д = 197176/0.79 = 249590 кг см

G=

Вывод: прочность сечения достаточна. Запас по прочности 9.4 %

Проверка скалывающих напряжений.

Проверку производим по Q_mах=559.95 кг.

R_ск=130 кг/см² (табл.3 [2])

Статический момент и момент инерции сечения арки:

S = bh²/8 =10*36²/8=1620 cм³;

J = bh³/12 =10*36³/12=38880 см⁴.

Максимальное напряжение скалывания: =

Проверка устойчивости плоской формы деформирования.

Проверяем сечение на устойчивость из плоскости при:

М_max=-1971.76 кг м., N _соотв.=2932.01кг

Проверку следует производить по формуле:

G= 1,

где _М - коэффициент, определяемый по формуле:

_м=140,

где l_p =S/2=1870/2=935cм - расстояние между опорными сечениями элемента;

k_ф =1.13 - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке l_p,

определяемый [1] по табл.2 прил.4.

_м = 140*10²*1.13/935*36 = 0.47.

Гибкость полуарки из ее плоскости _у и коэффициент продольного изгиба :

_у = l_p/i=935/(0.29*10) = 322.4

 = A/_у²=3000/322.4² = 0.029

Т.к на участке l_p из плоскости деформирования имеются закрепления в виде прогонов, коэффициент _м следует умножать на коэффициент k_pм и коэффициент  следует умножать на коэффициент k_pN по формулам:

k_pM = 0.142l_p/h+1.76h/l_p+1.4_p = 0.142*935/36+1.76*36/935+1.4*1.152 = 5.37

k_pN = 0.75+0.06(l_p/h)²+0.6_pl_p/h = 0.75+0.06*(935/36)²+0.6*1.152*935/36 = 59.18

Проверка: ,

Вывод: следовательно, устойчивость плоской формы деформирования обеспечена.

Расчет узлов арки.

Опорный узел.

Опорный узел решается с помощью стального башмака из опорного листа и двусторонних фасонок с отверстиями для болтов. Он крепится к поверхности опоры нормальной к оси полуарки. Расчет узла производится на действие максимальных продольной N=3248.21 кг и поперечной Q=366.36 кг/м сил.

Проверка торца полуарки на смятие продольной силой.

Опирание в узлах выполняется неполным сечением высотой h_б ≥ 0.4h= 0.4*36 = 14.4 см.

Принимаем h_б =15 см.

Площадь смятия А= bh_б =10*15=150 см².

Угол смятия =0⁰.

Расчетное сопротивление смятию вдоль волокон древесины R_c=130 кг/см².

Напряжение ==

Определение числа болтов крепления конца полуарки к фасонкам.

Принимаются болты d=2 см. Они воспринимают поперечную силу и работают симметрично при ширине сечения b=c=10см, при двух швах n_ш =2 и угле смятия =90⁰. Коэффициент К_ =0.55.

Несущая способность болта в одном шве:

по изгибу болта: Т_и=250d²⁼250*2²*=741 кг

по смятию древесины: Т_с=50сdK_=50*10*2*0.55=550 кг = Т

Требуемое число болтов: n=.

Принимаем 2 болта d=20 мм.

Определение толщины опорного листа:

Лист работает на изгиб от давления торца полуарки и реактивного давления фундамента. Длина торца l₁=b=10см. Длина листа l₂=15см. Расчетная ширина сечения b=1см.Давление торца q₁= G_cм=21.65 кг/см.

Давление фундамента q₂=q₁l₁/l₂=21.65*10/15=14.43 кг/см.

Изгибающий момент М=(q₂l₂²-q₁l₁²)/8=(14.43*15²-21.65*10²)/8=135.22 кг см.

Расчетное сопрoтивление стали R =2450 кг/см².

Требуемый момент сопротивления W_тр = М/ R=135.22/2450=0.055 cм³.

Требуемая толщина листа _тр ==

Принимаем толщину листа =6 мм.

Коньковый узел.

Узел выполнен лобовым упором полуарок одну в другую с перекрытием стыка двумя деревянными накладками сечением 14х5 см.

Накладки в коньковом узле рассчитывают на поперечную силу при не симметричном загружении арки Q=255.03 кг. Накладки работают на поперечный изгиб.

Изгибающий момент накладки.

М_и = Qe₁/2=255.03*18/2 = 2295.27 кг см.,

где е₁=S₁=18 см. – расстояние между стальными нагелями d=12 мм.

S₁≥7d=7*1.2=8.4 см, поскольку стык работает на растяжение, нагели располагаем в два ряда,

е₁ = 2*S₁ =18 см.

S₂≥3,5d=3,5*1.2=4,2 см принимаем 6 см.

S₃≥3d=3*1.2=3,6 см принимаем 4 см.

Проверка торца полуарки на смятие продольной силой.

Проверяем по максимальному усилию, действующему в коньке, при неблагоприятном нагружении N=1127.26 кг.

Проверка:

=N/F_см≤ R_{см }

R_{см }=30 кг/см²

F_см =14*5=70 см²

=1127.26/70=16.10 кг/см² ≤30 кг/см² – условие выполнено.

В коньковом узле количество нагелей по конструктивным требованиям должно быть не менее 3. В нашем случае принимаем 3 стальных нагеля и проверяем их несущую способность.

Усилия, действующие на нагеля:

R₁=Q/(1-e₁/e₂)=255.03/(1-18/54)=382.55 кг

R₂=Q/(e₂/e₁-1)=255.03/(54/18-1)=127.52 кг

Несущая способность нагеля из условия изгиба нагеля на один условный срез:

T=(180d²+2a²)≤Т_с = nT

T = (180*1.2²+2*10²) ≤ 2*(250*1.2² )*

459.2 ≤ 602 кг.

Расчетную несущую способность нагелей при направлении передаваемого нагелем усилия под углом к волокнам следует умножать на величину при расчете нагелей на изгиб, угол следует принимать равным большему из углов смятия нагелем элементов, прилегающих к рассматриваемому шву, в нашем случае =90⁰, и k_=0,7.

Расчетная несущая способность соединения:

Т=250d² =250*1.2² =360 кг.

T_c= nT=2*360*=602.4 кг.

Усилие, воспринимаемое двумя нагелями в ближайшем к коньковому узлу ряду:

N₁=2T_c =2*602.4=1204.8 > R₁ =382.55 – несущая способность обеспечена.

а)

б)

в)

Рис.1 Схема сочетаний постоянных и снеговых нагрузок, действующих на арку.