5.2 Способы определения площади участка с криволинейными границами

5.2.1 Определение площади измерениями от пунктов сети

Для определения площади участка, ограниченного криво­линейным контуром, вдоль контура намечают пикеты 1, 2, 3, ... (рис. 5.4) с таким расчетом, чтобы соединяющие их от­резки образовали ломаную линию, практически не отличаю­щуюся от криволинейного контура. В местах мелких искрив­лений контура пикеты располагают так, чтобы площади, об­разуемые отклонениями криволинейного контура от отрезка прямой в одну и другую сторону, были практически равны.

Р

а)

б)

ис. 5.4 Схемы измерений:

а – методом полярной засечки; б – методом перпендикуляров

Положение пикетов чаще всего определяют методом поляр­ной засечки с помощью электронного тахеометра, устанавли­ваемого на пунктах геодезической сети (точки А, В, С, D, Е на рис. 5.4, а). Так, на пункте А тахеометром измеряют углы меж­ду направлением на пункт В и направлениями на пикеты 1, 2, 3, ... и горизонтальные расстояния до пикетов d₁, d₂, d₃,... . Зная дирекционный угол α_АВ направления с пункта А на пункт В, по измеренным углам вычисляют дирекционные углы направле­ний на пикеты α_А1, α_А2, α_А3, …, а затем и координаты пикетов

x_i = х_А + d_i·cosα_Ai, (5.4)

y_i = y_А + d_i·sinα_Ai , (i = 1,2,3, …).

Аналогично, используя измерения, выполненные на пунк­тах В, С, D, Е, определяют координаты остальных пикетов.

Определив координаты всех пикетов, искомую площадь вычисляют как площадь многоугольника по формулам (3.1) или (3.2).

При отсутствии опорной сети измеряют стороны и углы многоугольника ABCDE. Одному из пунктов, например А, присваивают произвольные значения координат х_А, у_А, а на­правлению АВ – произвольное значение дирекционного угла α_АВ. По этим данным вычисляют координаты остальных вер­шин многоугольника, для чего можно воспользоваться стан­дартными алгоритмами и программами для замкнутого тео­долитного хода. Отметим, что вычисленные таким образом координаты, не будучи связаны с какой-либо геодезической сетью, являются локальными и нужны только для последую­щего вычисления координат пикетов, которые, в свою оче­редь, нужны для вычисления площади участка.

Если нет электронного тахеометра, и приходится обхо­диться менее совершенными средствами – теодолитом, мер­ной лентой, рулеткой, эккером, применяют следующую мето­дику. Вспомогательный ход ABCDE прокладывают так, что­бы его стороны проходили вблизи линии контура участка (см. рис. 5.4, б). Теодолитом измеряют горизонтальные углы, а лентой – стороны многоугольника. Как и прежде, одному из пунктов присваивают произвольные координаты, а одной из сторон – произвольное значение дирекционного угла. Вычис­ляют координаты вершин многоугольника.

Используя ленту и рулетку, измеряют длины перпендику­ляров, опущенных из пикетов 1, 2, 3, ... на стороны много­угольника и отрезки между основаниями перпендикуляров. В местах пересечения сторон многоугольника с линией контура измеряют расстояния от места пересечения до оснований бли­жайших перпендикуляров и вершины многоугольника.

По результатам таких измерений площадь участка вычисля­ют в следующем порядке. По координатам вершин многоуголь­ника вычисляют площадь многоугольника. Затем, используя ре­зультаты измерения лентой и рулеткой, вычисляют площади ма­лых трапеций и треугольников, образованных измеренными перпендикулярами, отрезками сторон многоугольника и линия­ми контура. Площади малых трапеций и треугольников, лежащих внутри многоугольника, из площади многоугольника вы­читают. Площади трапеций и треугольников, лежащих вне мно­гоугольника, к площади многоугольника прибавляют. Таким об­разом, искомая площадь определяется формулой

Р = Р_ABCDE + ΣP_вне – ΣР_внутр , (5.5)

где Р_ABCDE – площадь многоугольника, ΣP_вне – сумма площадей малых фигур, расположенных вне многоугольника, ΣР_внутр – сумма площадей малых фигур, расположенных внутри много­угольника.