3. Определение и оценка точности площадей участков многоугольной формы по координатам вершин

Чаще всего площадь участка многоугольной формы вычисляют по координатам вершин, ограничивающего участок многоугольника, по следующей формуле:

(3.1)

Выражение (3.1) можно преобразовать таким образом, чтобы первыми множителями были ординаты. Тогда получим

(3.2)

Рассмотрим влияние погрешностей координат межевых знаков х_i, y_i на результат вычисления площади по формуле (3.1).

Средняя квадратическая ошибка определения площади, считая ошибки определения координат межевых знаков независимыми, равна

(3.3)

Заметим, что (y_i+1 – y_i-1) = D_isinα_i ; (x_i+1 – x_i-1) = D_icosα_i , где D_i – длина диагонали, соединяющей точки (i-1) и (i+1); α_i – ее дирекционный угол.

Считая ошибки в координатах равными и обозначив m_xi = m_yi = m_x(y), придем к формуле

, (3.4)

где [D²] – сумма квадратов диагоналей.

Определяя среднюю квадратическую ошибку положения межевого знака по формуле , ввиду равенстваm_x и m_y запишем . При этом формула (3.4) принимает вид:

. (3.5)

На практике вместо вычисления диагоналей D_i по координатам вершин многоугольника иногда используют результаты непосредственных измерений, даже не прибегая к вычислению координат.

Формулу (3.5) после преобразования можно использовать для решения задачи предрасчета необходимой точности положения межевых знаков в зависимости от допустимой ошибки определения площади

. (3.6)

Из формул (3.4) и (3.5) вытекают следующие формулы средней квадратической ошибки площади типовых фигур:

Правильный n-угольник

. (3.7)

Прямоугольник

, (3.8)

где К – коэффициент вытянутости участка (отношение длины к ширине).

Квадрат

. (3.9)

Треугольник произвольной формы

, (3.10)

где [l²] – сумма квадратов длин сторон треугольника.

Равнобедренный треугольник

, (3.11)

где К – отношение высоты к основанию. Если в равнобедренном треугольнике отношение высоты к основанию К=1, то

. (3.12)

Прямоугольный треугольник

Средняя квадратическая погрешность площади m_P вычисляется по формуле (3.8), но с учетом того, что Р – площадь треугольника, а К – отношение большего катета к меньшему. При равенстве катетов (К=1) справедлива формула (3.9).

Равносторонний треугольник

Анализируя выражение коэффициента в формуле (3.11), приходим к выводу, что наименьшее значение оно имеет при К=√3/2, то есть в случае равностороннего треугольника. Поэтому для равностороннего треугольника будем иметь

. (3.13)

Анализ формул (3.3 – 3.13) приводит к следующим выводам.

Средняя квадратическая ошибка площади участка зависит от средних квадратических ошибок координат вершин участка, площади участка и его формы, то есть от количества и расположения межевых знаков.

Задание 1: 1) На топографической карте отметить три участка: треугольник, четырехугольник, многоугольник. С помощью линейки поперечного масштаба и циркуля-измерителя определить координаты вершин участков. По формуле (3.1) вычислить площадь каждого участка. Выполнить оценку точности площади, определенной по координатам вершин участка (рассчитать среднюю квадратическую и относительную ошибки).

Средние квадратические ошибки определения координат по топографической карте М 1:10000 m_x = m_y = m_x(y) = 1м (графическая точность масштаба).

2) Представить, что координаты х, y были получены в результате измерений на местности. Средняя квадратическая ошибка определения положения межевого знака М = 0,05м.

Рассчитать среднюю квадратическую и относительную ошибки определения площади участков.

3) Сравнить ошибки определения площади, вычисленные по результатам измерений на карте и на местности. Сделать выводы.