Реализация самокорректирующихся кодов на основе интерполяционных формул. Система независимых векторов

:

^{линейно независимая система}

Задача интерполирования: заданы значения нечет. функции

_…;

в точках ; ;; …; (узлы, локаторы)

(все различны).

Найти :

:

1. C⁺-код (() – код)

задаются произвольно локаторы : ?????????

n|F_q|

С–система называется системой Маркова, если любое подмножество множестваявляется Чебышевским.

Если С -система является Марковской, то ,

на которых базис является Марковским.

Пусть -символы сообщения , тогда вектор является кодовым вектором кода С⁺, если выполн. условие:

, , где

Т.е. линейное преобразование вида

-кодовое пространство

(min)

вес

-по крайне мере имеет k-1 корней => по крайней мере имеет k-1 нулей. Для того чтобы код обнаруживая и исправляя -кратные ошибки требуется, чтобы (min)

-код явл. кодом с max кодовым расстоянием

Пусть задан код , любые локаторов этого кода м.б. приняты за информационные (следует из марковости системы).

2. код (-код)

заданы локаторы

базис (марковский)

Вектор является кодовым вектором кода , если , , где , где

,

kk , где

называется проверочной

матрицей

-

а соответствующий ей код С⁺⁺ называется систематическим.

Оба кода С⁺ и С⁺⁺является эквивалентными, т.к. произведены одной и той же интерполяционной функцией

Важное замечание: все коды с max кодовым расстоянием эквивалентные кодам С⁺ и С⁺⁺м.б. получены след. Матричным преобразованием:

, где матрица Т-любая невырожд. ,

а Р-подстановочно-перестановочная, - в каждом столбце и каждой строке имеет ровно один оператор взоимно-однозначно отображающий

Лекция №12

Типы кодов в интерполяционной трактовке.

1. Коды Рида-Соломона. (RS-коды)

-поле (, -простое, )

- различные локаторы

базис: (С-система Марковская)

Определитель Вондермонда :

det

-интерполяционный полином в форме Лаграгранжа

фундаментальный полином Лагранжа:

!

?,

!

?

,

построили фундаментальный полином Лагранжа.

Свойства интерпол. полиномов:

1) если степень,(степень ), то

2) число корней любого интерполяционного многочлена не превышает

Код RS-типа С⁺⁺ (-код - информационных сигналов; () -избыточн. (контр.).

Кодовый вектор кода С⁺⁺ :

Если -последовательность информационных символов,

то кодов векторов имеет вид:

где

,

d(C⁺⁺)=

-обнаруживает и исправляет t-кратные ошибки.

Процесс кодирования RS⁺⁺

,

Процесс декодирования

имеем переданный по каналу вектор

, если в ^ой позиции не произошла ошибка

, если в ^{ой ой} позиции произошла ошибка –

такие позиции м.б. не более, чем

Комбинаторный алгоритм обнаружения и исправления ошибок – в систематическом RS-коде любые символов м.б. приняты за информационные.

Разложим по степеням :

…

• выделяя из этой системы любые уравнений получим невырожденную систему, которые единственным образом определяют коэффициенты

В свете указан. свойства кодовых слов RS() алгоритм обнаружения и исправления ошибок м.б. построен следующим образом:

1. выбираем произвольно конфигурацию локаторов состоящих из t позиций и “выбрасываем” все компоненты полученного каналу-выходного вектора по этим позициям.

2. в оставшихся позициях мы назначаем k информацион., а остальные считаем избыточными.

3. по этим информационным символам вычисляем интерполяционный многочлен Лагранжа, вычисляем его значения в принятых избыточных локаторах.

4. если вычисленные значения интерполяционного многочленана построен на предыдущем шаге в отмеченных избыточных локаторах совпадают с соответствующими компонентами выходного вектора на этих локаторах, то в числе t выброшенных позициях может находится t-кратная ошибка, а в оставшихся ошибок нет.

5. если выполнен предикат (условие) 4 шага, то выходной вектор в целом восстанавливается интерполяционным многочленом Лагранжа, получен. на предыдущем шаге, в выброшенных позициях.

6. Иначе переходим к шагу 1.

2. БЧХ-коды.

Базис: такой же как и в RS-коде, отличие в формировании узлов (локаторов)

,

-примитивный элемент поля

циклический код

3. Коды ???

, -элементы отличные от принятых

локаторов

4. Коды Гоппы и их обобщение

Пусть функция не имеет корней в поле

Базис: выбор функции при спец. выборе получаются коды Гоппы и их обобщение.

Как эти коды могут использоваться для защиты от НСД одновременно выполняя функцию самокоррекции от ошибок?

пусть - порождающая матрица

Выполним важное замечание (на прошлой лекции)

допустимо эквивалентное преобразование матрицы G в матрицу

-перест-подст. матр.

-невырожд. матр.

Будем использовать матрицу как криптографическую матрицу – в роли матрицы могут избираться, например, матрица Холла или другие случайно формируемые матрицы, легко обратимые. В роли матрицымогут избираться любые случайно перестановленные матрицы где в позициях, в которых стоит “1”, используется любой оператор (например циклический сдвиг по ключу), отображающий F_q -> F_q .

Ключевой материал образуют матрицы и

Лекция №13

Модулярные вычисления.

1. элементные операции –вычисления в Z пусть -натуральное число,

ZZ_p =

Z

-процедура на прогр. языке.

-целая часть числа

Компьютерная реализация.

-32-битн. цел. числа.

если , то существ. инверсный вычет:

Процедура мультипликативного инвертирования осуществляется с помощью алгоритма Евклида.

?

2. - составное число

, ;

Имеем с одной стороны кольцо вычетов по мод. ???:

элементные операц. в диапазоне

Организация вычислений в диапазоне возможна двумя путями:

1. посредством представления чисел из позиционным кодом по какому-либо основанию и реализация алгоритма операций в позицион. системе счисления.

Зам.: для больших чисел вычисления осуществляется в режиме многократной точности, при этом мы систематически должны следить и учитывать переполнения из младших разрядов в старшие.

2. представление чисел из в непозиционной системе счисления и реализация арифметических операций в модулярной арифметике

В основе модулярной арифметики лежит китайская теорема об остатках.

Китайская теорема об остатках.

Если элементн. модули попарно взаимно простые, т.е.

, то любое число

из диапазона , где единствен. образом представлено системой остатков : , где , ; при этом модульные операции кольца представляются параллельно по модулям , , т.е.

если

Док-во: рассмотрим сумму

,

=

(1)

Какова связь между и

Равенство (1) возьмем по

2)

Вывод: если попарно взаимно-простые, то

С переходом к модулярному представлению чисел приобрели возможность распараллеливать арифметические операции элементным модулям, но при этом мы потеряли представление о порядке чисел - непозиционное счисление.

Полиадическое позиционное представление чисел

число единственным образом представимо в форме:

, где

- цифры полиадического представления

Лекция №14

полиадический код числа

в частном случае, при , то получаем ичную систему.

,

общее число состояний

модулярный код

необходимо перевести в полиадический :

1)

вычитаем

домножили на

-алгоритм

…………

перевод в 2^ый код

Модулярный код с избыточным основанием обладает свойством арифметической самокоррекцией.

Приложение модулярной арифметики к криптографии.

• симметричные шифры

• шифры с открытыми ключами

• применение протоколов

Простая задача