3. Теоретическая часть

Как известно из динамики, момент инерции  это физическая величина, характеризующая распределение масс в теле относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Моментом инерции материальной точки J_i относительно какой-либо неподвижной оси называется произведение ее массы m_i на квадрат расстояния r_i до этой оси:

. (6.1)

Поскольку масса реального тела представляет сумму составляющих его масс материальных точек, то момент инерции тела J есть совокупность моментов инерции материальных точек:

. (6.2)

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси ОО, проходящей через его центр масс, равен сумме моментов инерции всех точек тела относительно этой оси (рис. 6.1). Единица измерения момента инерции в СИ – кгм².

П

ри непрерывном распределении масс сумма (6.2) сводится к интегралу

, (6.3)

где интегрирование проводится по всему объему тела. Поскольку dm = dV, то момент инерции тела, имеющего плотность , вычисляется по формуле

, (6.4)

где dV – элемент объема. Как видно из формул (6.1)  (6.4), момент инерции относительно данной оси, как и масса, тела не зависит от характера движения. Он определяется размерами, формой и плотностью тела.

Д

ля тел правильной геометрической формы интегрирование дает следующие результаты для моментов инерции, вычисленных относительно оси, проходящей через центр симметрии этих тел (рис. 6.2).

Если необходимо рассчитать момент инерции тела относительно оси АА, проходящей не через центр симметрии, а параллельно ей (рис. 6.3), то используют теорему  Гюйгенса – Штейнера:

J = J_o + md², (6.5)

где m  масса тела, d  расстояние между осями.

Если момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс равен J_o, то момент инерция тела относи-

т

ОбручJ = mr²;

Диск ;

Шар

Рис. 6.2 r– радиус соответствующих тел,m– их масса.

ельно любой другой оси, параллельной первой, равен моменту инерцииJ_o этого тела относительно оси ОО, сложенному с величиной md².

Основной закон динамики вращательного движения имеет вид:

, (6.6)

г

де  величина суммарного момента внешних сил, действующих на тело;  угловая скорость тела. Если = 0, тоJ= const. Величина называется моментом импульса твердого тела. Таким образом, если момент сил, действующих на тело, равен нулю, т. е. система замкнута, и тело будет покоиться или вращаться бесконечно долго, сохраняя постоянный момент импульса. Это утверждение, в сущности, является одной из формулировок закона сохранения момента импульса:

. (6.7)

В случае вращательного движения момент инерции J играет ту же роль, что и масса m при поступательном движении, а угловая скорость  роль линейной скорости .

В

Таблица 6.1

Поступательное движение	Вращательное движение
Линейная скорость	Угловая скорость
Линейное ускорение	Угловое ускорение
Масса m	Момент инерции
Сила	Момент силы
Импульс	Момент импульса
Основной закон динамики поступательного движения	Основной закон динамики вращательного движения
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия

табл. 6.1 сопоставлены величины и соотношения, являющиеся эквивалентными при поступательном и вращательном движении тела. Видно, что момент инерции J является важной характеристикой вращательного движения, количественная информация о которой необходима при решении различных задач.

Момент инерции тел правильной геометрической формы может быть вычислен теоретически по формулам (6.2), (6.4) и (6.5). В случаях, когда аналитическое определение момента инерции затруднено сложностью формы тела или неоднородностью распределения массы (маховое колесо, коленчатый вал, винт и др.), его определяют опытным путем, что является одной из целей настоящей работы.

Имеются разные способы определения этой величины. В данной работе рассматриваются методы определения моментов инерции твердых тел с помощью трифилярного подвеса и крутильного (торсионного) маятника, а также компьютерный вариант определения момента инерции однородного диска.

1При большой плотности потока фотонов (например в мощном лазерном луче) возможно многофотонное поглощение (нелинейный фотоэффект).