Новая папка / Примеры для решения3

3. Четырехполюсники и электрические фильтры.

3.1* Записать систему уравнений четырехполюсника в форме А. Определить напряжение на входе четырехполюсника, если на вход включена нагрузка R_H=100 Ом, а ток I₂

при этом равен 0,1 А. Параметры четырнхполюсника: r₁=50 Ом; r₂=50 Ом; r₃=100 Ом.(рисунок 3.1)

Решение:

Коэффициенты четырехполюсника можно определить из опытов холостого хода и короткого замыкания. При этом из исходной системы уравнений:

;

; (3.1)

в режиме холостого хода (=0) получается система:

; (3.2)

;

Так как , а , то

Коэффициент А оказывается равен:

А=(r₁+r₃)/r₃=150/100=1,5;

Данный четырехполюсник является симметричным, поэтому D=A=1,5. Вследствие того, что ;

; ; С=А/(r₁+r₃)=1,5/150=0,01 См;

Коэффициент В определяем из опыта короткого замыкания ()

B==83,3 Ом.

Таким образом, система уравнений четырехполюсника имеет вид:

;

;

При токе =0,1 A и R_H=100 Ом =10 В. Подставим эти значения в уравнения четырехполюсника и получим:

В.

А.

3.2. Записать уравнения в А  форме для четырехполюсников, изображенных на рис. 3.2, если r =10 Ом ; ωL=10 Ом.

a) б)

3.3.* Записать уравнения в А  форме для четырехполюсника (рис.3.3.) и рассчитать параметры эквивалентной «Т»- схемы, если

r=100 Ом ; 1/ωC=200 Ом.

Решение:

Определяем коэффициенты матрицы А по формулам, справедливым для 'П' –образ-ного симметричного четырехполюсника :

А=1+; B=; С=;

D=; где .

Подстановка численных значений даёт:

А=1+100/(-j200)=1+j0,5; B=100 Ом; С==j0,01-0,25 ,См; D=A=1+j0,5

Откуда следует, что:

В 'Т' – образной схеме замещения рассматриваемого четырехполюсника продольные сопротивления будут равны Z₁/2, то есть r/2=50 Ом, а поперечное сопротивление также будет чисто ёмкостным. Величина этого сопротивления равна или Х_С/2=100 Ом.

3.4. Записать уравнения четырехполюсника в форме ||А||. Схема показана на рис.3.4., ωL=100 Ом; 1/ωC=200 Ом . Определить ток и выходное напряжение , если на входе напряжение =100 В, а на выход включена активная нагрузка R_H=100 Ом.

3.5.Дано: 1/ωC=50 Ом; r=100 Ом. Записать уравнения четырехполюсника рис. 3.5. в форме ||А||. Определить входной ток и выходное напряжение при индуктивной нагрузке на выходе: =20 В; Х_LH=100 Ом.

3.6. Дано: r=20 Ом; ωL=20 Ом; 1/ωC=20 Ом. Записать уравнения несимметричного четырехпо-люсника рис. 3.6. в форме ||А||.

3.7.*Определить повторное сопротивление и коэффициент затухания в неперах и децибелах

для симметричного четырехполюсника рис. 3.7., если r=10 Ом.

Решение:

Коэффициенты четырехполюсника равны:

А==1,5; B= Ом; С=0,05 См.

Повторное сопротивление четырехполюсника:

22,4 Ом. Коэффициент распространения в данном случае будет равен коэффициенту затухания (так как четырехполюсник выполнен из чисто активных сопротивлений).

е^γ=е^α+jβ=e^γ=A+=1,5+=2,62. α_НЕП=ln(e^α)=ln2,62=0,963 Неп.

Учитывая, что 1 децибел приблизительно равен 0,115 Неп., получаем α_дб=8,375 Дб.

3.8. Определить повторное сопротивление, коэффициент затухания и коэффициент фазы для симметричного четырехполюсника (рис. 3.8.), если r=│ωL│=20 Ом; 1/ωC=40 Ом;

3.9. Определить повторное сопротивление и коэффициент затухания для четырехполюсника (рис. 3.9.), в котором r=100 Ом.

3.10. Найти напряже-ние на выходе (рисунок 3.10) для случая, когда сопротивление нагрузки равно повторному сопротивлению, а напряжение на входе =10 В, если

L=20 Ом; r=20 Ом; 1/ωС=20 Ом.

3.11. Определить напряжение на выходе, а также ток на входе и выходе четырехполюсника рис. 3.10. нагруженного на повторное сопротивление.

3.12. Дано: r=50 Ом; 1/ωC=100 Ом; =20 В.

Определить напряжение на выходе, токи на входе и выходе четырехполюсника рис. 3.11., нагруженного на повторное сопротивление.

3.13.* Дано: L=0,02 Гн;

С=45 мкФ. Определить полосу пропускания фильтра рис. 3.12., а также установить, будет ли обеспечен согласованный режим работы, если на выход включить активную нагрузку R_H=100 Ом?

Решение:

Определяем коэффициенты А, В, и С четырехполюсника. В 'П' – образной схеме, кото-рую имеет рассматриваемый фильтр. jωL; ; A=1+=1+1-ω²LC ;

B==jωL; C=.

Полосу пропускания фильтра находим из условия -1≤ А ≤1 ; -1≤ 1-ω²LC ≤1. Получаем

ω₁=0. ω₂₌ 1/c. Таким образом, это низкочастотный фильтр. Определяем повторное сопротивление фильтра:

Максимальное значение повторного сопротивления равно 14,9 Ом.

Оно имеет место при ω=0. При ω=ω₂=1491 1/c повторное сопротивление фильтра рав-но нулю. Отсюда следует, что при подключении на выход фильтра сопротивления 100

Ом, как указано в задании, режим работы фильтра не будет согласованным, и даже в полосе пропускания коэффициент затухания не будет равен нулю. Для согласованной работы фильтра и нагрузки необходимо, чтобы R_H≤ 14,9 Ом.

3.14. Определить полосу пропускания фильтра рис.3.13., если L=0,05 Гн; С=20 мкФ. Согласовать сопротивление нагрузки для частоты f=2кГц.

3.15. Определить полосу пропускания фильтра при L=0,01 Гн; С=10мкФ (рис.3.14). Определить повторное сопротив-ление на частотах f₁=100 Гц и f₂=1000 Гц.

3.16.Подобрать ёмкость и индуктивность для высокочастотного 'Т'–образного фильтра, если его полоса пропускания : f=2 кГц ÷ ∞.

3.17. Рассчитать величину ёмкости для низкочастотного 'П'–образного фильтра, если индуктивность L=0,01 Гн, а частота среза составляет 800 Гц.

3.18. Определить условную частоту среза для низкочастотного r,C фильтра (рис. 3.15.), если r=10 Ом, С=100 мкФ. Условной частотой среза считать частоту, при которой коэффициент затухания α=1,54 Неп.

3.19. 'Т'-образный низкочастотный L,C фильтр нагружен повторным сопротивлением , величина , которого выбрана для ω=0 (L=0,04 Гн; С=5 мкФ). Определить коэффициент затухания на частоте среза, а также на частоте на 20%, превышает частоту среза.

3.20. 'Т’ -образный высокочастотный фильтр (L=0,02 Гн; С=1 мкФ) нагружен на актив-ное сопротивление R=100 Ом.

3.21. Собрать из двух 'Т’ -образных высокочастотного и низкочастотного фильтров полосовой фильтр с f₁=2 кГц и f₂=5 кГц. Подобрать ёмкости и индуктивности для звеньев фильтра.

Ответы на задачи раздела ’’Четырехполюсники и фильтры ’’.

3.2. а) ; б) ;

; ;

3.4. Уравнения четырехполюсника :

;

;

Ток на входе при R_H=100 Ом и напряжение на входе:

=1,4-j0,3=1,43e^-j12,09º A; =10-j20=22,4e^-j63,43º B.

3.5. Коэффициенты четырехполюсника:

А=D=1-j0,5; B=-25-j100; C=0,01.

Ток на входе: =0,8-j0,4=0,894e^-j26,57º A.

Напряжение на входе:=j80=80e^j90º B.

3.6. Уравнения четырехполюсника имеют вид:

;

;

3.8. Повторное сопротивление:=53,7е^-j28,16º, Ом

Коэффициент распространения: γ=2,03е^j56,04º.

Коэффициент затухания: α=0,708 Неп.

Коэффициент фазы: α=56,04º=0,978 рад.

3.9. Повторное сопротивление: =70,7 Ом.

Выходное напряжение при : =1,716 B.

3.10. Повторное сопротивление равно: =29,9е^-j76,72º Ом.

Выходное напряжение: U₂=4,17 В.

Выходной ток: I₂=0,139 А.

Ток на входе:I₁=0,334 A.

(В ответе указаны модули искомых величин.)

3.11. Повторное сопротивление: =79,6-j63,2 Ом.

Напряжение на выходе: =7,489-j6,04=9,62e^-j38,88º B.

Ток на выходе: =0,0947-j0,0007≈0,0947e^-j0,42º A.

Ток на входе: =0,154+j0,122=0,197e^j38,45º A.

3.13. Полоса прозрачности фильтра от 159 Гц до бесконечности.

Сопротивление нагрузки, при котором достигается согласованный режим работы:

=70,7 Ом.

3.14. Полоса пропускания фильтра: 356 Гцf

При f=100 Гц повторное сопротивление фильтра чисто активное: Z=22.6 Ом.

При f=1000 Гц повторное сопротивление является индуктивным и равно: Z=j22.6 Ом.

3.15. При емкости C=1 мкФ требуется индуктивность L=3.17 мГн.

3.16. Требуется емкость С=7.9 мкФ

3.17. Условная частота среза фильтра: _c=10³ 1/c или f_c=159.2 Гц.

3.18. Частота среза фильтра: _c=3162 1/c.

Повторное сопротивление для =0: Z=126.5 Ом.

При =_c коффициент затухания 0;

При =1,2_c=3794 1/c, =0.768 Нп 6.68 Дб.

3.19. При =_c коэффициент затухания 0.

При =2_c, =3.87 Нп =33.7 Дб.

3.20. У НЧ-фильтра частота среза должна быть равна 5 кГц, а ВЧ-фильтра: f_c=2 кГц.

Вопросы к разделу "Четырехполюсники и фильтры"

1. Запишите уравнения четырехполюсников в форме A.

2. Как выглядит уравнение связи для коэффициентов четырехполюсника?

3. Какое минимальное число элементов может содержать симметричный четырехполюсник?

4. В каком случае, четырехполюсник, схема которого содержит источники, является пассивным?

5. Что такое повторное сопротивление?

6. Условие согласованной нагрузки для четырехполюсника?

7. В каких единицах измеряют затухание и в чем заключается физический смысл этих единиц?

8. Каки образом посхеме фильтра определить, к какому типу он относится (ВЧ или НЧ)?

9. Почему идеальный фильтр должен содержать только реактивные элементы?

10. Что называют частотой среза простейшего фильтра?

11. Как из простейших НЧ и ВЧ фильтров получить полосовой фильтр?

12. Объясните принцип действия R-C фильтров.