Новая папка / Примеры решения 7

1.13. Практическое приложение

1.1.* Рассчитать переходной процесс в цепи (рис. 1.47), если U₀ = 100 В; u_c(0) = 40 B; r = 100 Ом; С = 100 мкФ. Построить графики напряжения на конденсаторе u_c(t) и тока в цепи- i(t).

Решение

Дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в рассматриваемой цепи, имеет вид:

ir + u_c=U₀.

Так как ток: , то Получили неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде:

u_c = u_cпр + u_cсв = u_спр + Аe^pt,

где u_спр - принужденная составляющая напряжения на емкости; u_ссв - свободная составляющая напряжения; А - постоянная интегрирования; p - корень характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Crp + 1 = 0.

Его корень равен:

p = -1 / r C = -1 / (10^{2 .}10^-4) = -100 с^-1.

Принужденное значение напряжения на конденсаторе:

u_{C пр} = U_o = 100 B.

П остоянную интегрирования находим из уравнения, составленного для момента времени t = 0₊ (сразу после замыкания ключа):

u_C (0) = u_{C пр}(0) + u_{C св}(0);

40 = 100 + A; A = -60 B.

Уравнение для напряжения на конденсаторе имеет вид:

u_C(t) = 100 - 60e^-100t.

Ток через конденсатор:

.

Строим графики тока и напряжения на емкости (рис. 1.48).

1 .2. В цепи (рис. 1.49.) U_о = 120 В; E = 80 В; r = 1 кОм; C = 10 мкФ. Рассчитать напряжение и ток на конденсаторе после коммутации (ключ перебрасывается из нижнего положения в верхнее), а также определить в какой момент времени напряжение конденсатора будет равно нулю?

1.3. Определить ток в цепи (рис. 1.50) и напряжение на индуктивности после коммутации, если E₁ = 20 B; E₂ = 60 B; r = 40 Ом; L = 0,04 Гн.

1 .4. Качественно построить кривые напряжений U_C1(t) и U_C2(t) после замыкания ключа (рис. 1.51.) для двух случаев: а) R>>r (C₁ = C₂ = C); б) r >> R.

1.5. Определить значение R, в цепи (рис. 1.52.), при котором время переходного процесса будет минимальным, если E = 100 B; r = 25 Ом; L = 0,5 Гн, а катушка индуктивности рассчитана на напряжение до 500 В.

1.6.* Рассчитать все токи и напряжения на конденсаторе в цепи (рис. 1.53), если U₀ = 30 В; r = 100 Ом; С = 100 мкФ.

Решение

Система дифференциальных уравнений для цепи после коммутации имеет вид:

Сводим систему к одному уравнению. За неизвестную величину примем напряжение , так как напряжение на ёмкости подчиняется закону коммутации:

.

У читывая, что , получаем дифференциальное уравнение с одним неизвестным:

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Его корень равен:

с^-1.

Решение дифференциального уравнения имеет вид:

,

где принуждённое значение напряжения на ёмкости равно:

.

Постоянную интегрирования А найдем из уравнения, записанного для t = 0:

; ; 30 = 20 + A; A = 10 B.

Напряжение на конденсаторе равно:

.

Ток через конденсатор:

.

Ток можно найти по закону Ома:

.

Ток в неразветвлённой части цепи определим по первому закону Кирхгофа:

.

Следует отметить, что избранный метод не является наилучшим с точки зрения трудозатрат. Эту же задачу можно решить проще, используя метод входного сопротивления, позволяющий получить характеристическое уравнение, не составляя системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим, как это сделать.

Запишем комплексное входное сопротивление цепи после коммутации:

.

Заменим j на р, получим:

.

Приводим дробь к общему знаменателю:

.

Приравниваем Z(p) к нулю, при этом числитель дроби будет равен нулю:

2 r p C + 3 = 0.

Получили характеристическое уравнение. Дальнейшее решение задачи проводим так же, как и при составлении дифференциальных уравнений.

Метод входного сопротивления целесообразно применять всегда, когда цепь достаточно сложна и, особенно, если она содержит несколько реактивных элементов.

1.7. Рассчитать переходный процесс в цепи (рис. 1.54), возникающий после коммутации. Определить и , если ;Ом; С = 250 мкФ.

1 .8. Определить ток в цепи (рис. 1.55) после коммутации, если ; r = 10 Ом; L = 0,1 Гн.

1 .9. Найти и в цепи (рис. 1.56) после коммутации, если:; Ом; .

1.10.* Найти ток в индуктивности (рис. 1.57), если:

Решение

Эту задачу целесообразно решать путём сведения процесса к нулевым начальным условиям.

Определим напряжение на разомкнутом ключе:

.

Далее закорачиваем источник и определяем сопротивление цепи относительно зажимов а - б:

.

Приравнивая Z(p) к нулю, получаем характеристическое уравнение:

.

Далее решаем задачу классическим методом:

;

Принуждённое значение тока находим из уравнения, записанного для :

Получаем уравнение для тока:

.

Напряжение на индуктивности:

.

1.11. Определить напряжение на ёмкости (рис. 1.58) и ток через ёмкость после замыкания ключа, если U₀=100В; r₁=40 Ом; r₂=60 Ом; С=50 мкФ.

1 .12. Найти ток и напряжение в цепи (рис. 1.58) после коммутации, если: ; Ом; .

1.13.^* Рассчитать ток в цепи (рис. 1.59) после размыкания ключа. В цепи действует синусоидальный источник напряжения: В; r₁=30 Ом; r₂=70 Ом; L=0,2 Гн.

Решение

Индуктивное сопротивление цепи равно:

Комплексное сопротивление до коммутации:

.

Начальное значение тока (в первый момент после размыкания ключа):

.

Принуждённое значение тока в цепи:

.

В общем виде ток в цепи после коммутации:

i(t) = i_пр(t) + Ae^pt.

При t = 0 имеем:

,

откуда:

Характеристическое уравнение для цепи:

r₁ + r₂ + Lp = 0;

.

Решение задачи:

..

1.14. Определить, как будет меняться напряжение на конденсаторе после размыкания ключа (рис. 1.60). Напряжение на входе цепи: . Параметры цепи: r₁ = 200 Ом; r₂ =100 Ом; С = 120 мкФ.

1.15. Цепь с сопротивлением r = 10 Ом и индуктивностью L = 0,2 Гн включается на синусоидальное напряжение При какой начальной фазе напряжения в цепи будет наблюдаться максимальный бросок тока? В каком случае переходного процесса в цепи не будет?

1.16. Определить максимально возможное напряжение на конденсаторе в цепи r, C, которая включается на синусоидальное напряжение , если r = 60 Ом; С = 18 мкФ. При какой начальной фазе напряжения источника переходного процесса не будет?

1.17.^* Определить начальные значения напряжения на катушке индуктивности и ток через ёмкость, в цепи (рис. 1.61), если U₀ = 200B; r₁ = 100 Ом; r₂ = 100 Ом; r₃ = 50 Ом.

Решение

Записываем систему уравнений для момента времени t = 0₊(сразу после замыкания ключа) по законам Кирхгофа:

В системе уравнений подчеркнуты независимые начальные условия.

Ток через индуктивность и напряжение на ёмкости.

Преобразуем исходную систему уравнений для определения начальных условий:

Подставляем полученный результат в последнее уравнение исходной системы:

Таким образом, начальное значение тока через ёмкость равно 0,67, а напряжение на индуктивности 67 В.

1.18. Определить значения всех токов и напряжений при t=0₊ для цепи (рис. 1.62), если U₀ = 120 B; r₁ = 100 Ом; r₂ = 20 Ом.

1 .19. Найти значения токов i₂(0₊) и i₃(0₊) в цепи (рис. 1.63) при U₀ = 160 B; r₁ = 40 Ом; r₃ = 80 Ом.

1.20. Найти начальные значения напряжения на катушках индуктивности после замыкания ключа (рис. 1.64), если U₀ = 200 B; r₁ = 200 Ом; r₂ = 100 Ом.

1.21.* Рассчитать переходный процесс в цепи (рис. 1.65) классическим методом. Определить все токи и напряжения после замыкания ключа, если: U₀ = 100 B; r₁ = 10 Ом; r₂ = 90 Ом; L = 0,2 Гн; С = 100 мкФ.

Р ешение

Записываем выражение для выходного сопротивления цепи после коммутации:

Приравнивая Z(p) к нулю, получаем характеристическое уравнение:

Подставляем в характеристическое уравнение численные значения параметров цепи:

.

Корни этого уравнения равны:

Корни характеристического уравнения оказались комплексными сопряжёнными. Это означает, что переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

Напряжение на ёмкости находим в виде:

.

Здесь: u_cпр – принуждённое значение напряжения на конденсаторе;  - действительная часть корня характеристического уравнения ( = 80,5);  - мнимая часть корня ( = 222); А и  - постоянные интегрирования.

Таким образом, система уравнений для определения постоянных интегрирования имеет вид:

Второе уравнение можно записать, раскрыв синус суммы двух аргументов:

или

Так как А = 10/sin, то

;

.

Уравнение для u_c(t) имеет вид:

.

Зная напряжение u_c(t), можно найти все остальные токи и напряжения в цепи.

Так например:

Примечание: Для расчёта кривых токов и напряжений и построения графиков углы в формулах должны быть записаны не в градусах, а в радианах.

1 .22. Определить характер переходного процесса в цепи (рис. 1.66), если r₁ = 100 Ом; r₂ = 2 Ом; L = 0,1 Гн; С = 200 мкФ.

1.23. Рассчитать u_c(t) после замыкания ключа (рис. 1.67), если U₀ = 200 B; r = 200 Ом; L = 1 Гн; С = 100 мкФ.

1.24. Рассчитать ток в цепи после размыкания ключа (рис. 1.68), если U₀ = 10 B; L = 0,5 Гн; С = 20 мкФ; r₁ = 20 Ом; r₂ =30 Ом.

1.25. Дано: U₀ = 40 B; r = 20 Ом; L = 0,1 Гн; С = 100 мкФ. Рассчитать u_c(t) и i(t) после размыкания ключа (рис. 1.69).