Новая папка / Примеры 6

Пример 65. В левой ветви схемы рис. 7.4, а имеется источник тока ik (t)=Ikmcos2t, в средней (второй) — источник э. д. с. e(t) = E0+Emsint. Индуктивность L4 магнитно связана с индуктив­ностью L3. Взаимная индуктивность между ними М. Определить мгновенное значение тока i3, и напряжения uba на зажимах L4. Дано:

Ikm=5А; =1000 рад/с; Е0=ЗВ; Еm=6 В; R1=3 Oм; L3=3 мГn;

М=1 мГn.

Решение. Положительные направления для токов выберем в соответствии с рис. 7.4, а.

По второму закону Кирхгофа,

но i4=0; поэтому uba=-M di3/dt

Воспользуемся принципом наложения и найдем составляющие тока i3 от каждого источника в отдельности.

Схема рис. 7.4, б служит для расчета токов от действия посто­янной составляющей э. д. с. Левая ветвь схемы разомкнута, так как в ней включен источник тока с бесконечным сопротивлением. Правая ветвь короткозамкнута, так как индуктивность для постоянного тока имеет нулевое сопротивление. При этом =E0/R1= 1 А.

*Строго говоря, активное сопротивление зависит от частоты вследствие явле­ния поверхностного эффекта. Явление поверхностного эффекта (см. ч. III учеб­ника) здесь не учитывается.

Первую гармонику тока находим, используя схему рис. 7.4, в:

=6/(3+3j)=1,41

Вторую гармонику тока находим в соответствии со схемой рис. 7.4, г:

Мгновенное значение тока i3 равно сумме мгновенных значений:

i3 = + + = 1 + 1,41 sin (t - 45°) + 2,23 sin (2t 4- 26°40') А.

Напряжение

иba=—М di3/dt=— 1,41 cos (t -45°) -4,46 cos (2t+26⁰40^`) В.

Пример 66. В схеме рис. 7.5 задана индуктивность L2. Полагая активное сопротивление индуктивной катушки равным нулю, найти, при каких значениях емкостей С1 и С2 входное сопротивление схемы для первой гармоники равняется нулю, а для девятой — бесконечности.

Решение. Запишем выражение для входного сопротивления схемы для первой гармоники и приравняем его нулю:

Приравняем бесконечности входное сопротивление для девятой гармоники:

Совместное решение дает

Пример 67. На входе двухполюсника u= 100+80sin(t+30°) + 60 sin (3t+20°)+50 sin (5t+45°) В; i = 33,3+17,87 sin (t - 18) + 5,59 sin (5t+120°) А. Найти их действующие значения.

Решение.

В;

A.

Пример 68. Дана функция, не содержащая постоянной составляющей и четных гармоник и не изменяющая знака в течение каждого полупериода. Определить ее среднее по модулю значение.

Решение. Разложим заданную функцию в ряд Фурье:

i=I1m sin(t+1)+I3m sin (3t+3)+I5m sin (5t+5)+…

После интегрирования получим

Iср. по мод.=2/(I1m cos 1+1/3I3m cos 3+1/5I5m sin 5+… (7.13)

Пример 69. Найти Р и S, если

и = 25,9 sin (t – 11 40') + 6 sin (3t + 53°50') В;

i = 3 sin (t - 40°) + 0,9 sin (3t + 125°) A.

Решение.

U1=25,9/= 18,3 В; U3= 6/ =4,26 В;

I1 =2,13 А; I3=0,9 А;

1=—11⁰40'-(—40⁰)=28⁰20'; 3=-71 10`;

Р = 18,3 • 2,13 cos 28°20' + 4,26.0,9 cos (— 71°10^/) = 35,5 Вт;

U= =18,55 В;

/ = =2,31 А; S=UI= 18,55 • 2,31 = 42,8 ВА.

Пример 70. Заменить несинусоидальные ток и напряжение при­мера 69 эквивалентными синусоидальными и найти угол сдвига фаз э между ними.

Решение. Действующее значение синусоидального напряжения U=18,55 В; действующее значение синусоидального тока I=2,31 А;

cos э = 35,5/( 18,552,31) = 0,828;  э= 34°.

Пример 71. Мгновенное значение напряжения фазы А трехфазного генератора

U_A=127sin(t+10)+30sin(3t+20)+20sin(11t+15)В.

Определить мгновенное значение линейного напряжения uab при соединении генератора в звезду.

Рис 7.11

Рис. 7.12

Решение. В линейном напряжении третья гармоника отсутствует. Первые гармоники фаз A и В по фазе сдвинуты на 120°. Поэтому линейное напряжение U_AB первой гармоники в раз больше фазо­вого напряжения первой гармоники Uа и на 30° опережает его по фазе.

Одиннадцатая гармоника (обратная последовательность фаз) линей­ного напряжения отстает по фазе от одиннадцатой гармоники напря­жения фазы A на 30° и будет в раз больше ее:

u_AB=127sin(t+40⁰)+20sin(11t-15⁰)В.

Пример 72. э.д.с. фазы A в схеме рис. 7.11

e_A=170sin(t)+80cos(3t)+34cos(9t)

R=9Ом L=2Ом.

Определить показания всех приборов. Приборы электродинами­ческой системы.

Решение. Действующие значения э. д. с.

E1==121в E3=56.5в E9=24.2в

По линейным проводам течет первая гармоника тока

I1==13.2А.

Показание вольтметра V1 равно =136 В.

Показание вольтметра V2 равно I1R1=13,29= 118,5 В.

Показание вольтметра V3 равно 118.5=205 В.

Показание вольтметра V5 равно I1L=26,4 В.

Показание вольтметра V5 равно =62,3 В.

Пример 73. Э. д. с. каждой фазы генератора (рис. 7.12) изменяется по трапецеидальному закону: а_m=220 В; =Т/36; нагрузка рав­номерная;

R=6Ом; L == 0,5 Ом, 1/С=12 Ом.

Записать мгновенное значение тока по нулевому проводу, пре­небрегая гармониками тока выше седьмой.

Решение. С помощью табл. 7.1 записываем разложение трапе­цеидальной э. д. с.:

e_A=(sin10⁰sint+sin30⁰sin3t+

+sin50⁰sin5t+sin70⁰)sin7t

Следовательно,

e_A=274sint+89,3sin3t+49,5sin5t+30,9sin7t

По нулевому проводу протекает только третья гармоника тока

I₀₃=

где E₃==63,3в Z₀₃=1,5j Z_н3=6-4j

=2-1,33j I₀₃=31,8e^{—j4 40`}А

Мгновенное значение тока i₀₃=44,8sin(3t-4⁰40`)A.