Новая папка / Примеры 7

Пример 89. Составить операторные изображения токов i1 и i3 схемы рис. 8.29, пользуясь законами Ома и Кирхгофа.

Решение. Так как в схеме нулевые начальные условия и нет магнитносвязанных индуктивных катушек, то составить уравнения можно проще, чем по методу контурных токов.

Изображение тока

I1(p)=

где Zвх (p)— входное сопротивление схемы в операторной форме по отношению к зажимам аb. Оно определится так же, как входное сопротивление для переменного тока, только j заменено на р.

Входное операторное сопротивление

Zвх(p)=R₁+pL₁+

Следовательно,

(8.48)

уравнение (8.48') совпадает с уравнением (8.48).

Найдем изображение I3(р). С этой целью выразим I3(р) через I1(р) и операторные сопротивления второй и третьей ветвей. Восполь­зуемся аналогией с переменным током. Для переменного тока

следовательно

Если в последнее выражение подставить I1(р) из уравнения (8.48'), то будет получено уравнение (8.49).

Таким образом, безразлично, каким способом составлять изобра­жения токов: результат будет одинаков.

Пример 90. Для схемы рис. 8.29 составить изображение напря­жения на зажимах се, если считать, что начальные условия нулевые (как и в примере 89).

Решение. Изображение напряжения на зажимах се равно произ­ведению изображения тока I3(р) на операторное сопротивление емкости:

Uce=I3(p) (8.50)

Пример 91. В схеме рис. 8.31, а ток источника тока линейно нарастает во времени: I(t)=2,5t а (рис.8.31,б); R=40 кОм, С=2 мкФ. Определить закон изменения во времени тока i₁ через

сопротивление R.

Решение. Изображение тока I(t) равно (см. соотношение 12 § 8.39). Сопротивление параллельно соединенных R и С

Изображение тока через R

Согласно соотношению 8 § 8.39,

Пример 92. В схеме рис. 8.31, U(t)=100e^-at в,

Где

а=0,5 с-¹; R=2Ом. L=4Гн.

Найти i=f(t) и U_L=f(f), а также значения i и U_L при t=1 с.

Решение. Согласно соотношению 2 § 8.39, функции e^-at соот­ветствует изображение .

Следовательно,

Тогда как

то

По соотношению 5 § 8.39,

Поэтому

Напряжение на индуктивности

При t=l c

.

6.26^*

Рассчитать ток в цепи (рис.6.24) операторным методом после размыкания ключа, если

U₀=20 B; r=10 Ом; L=0,5 Гн.

Решение:

Записываем уравнение по 2-му закону Кирхгофа для операторных изображений токов и напряжений:

I(p)(2r+Lp)-i(0)L=U(p);

Где: i(0)=U₀/r=2A; U(p)=U₀/p=20/p;

Т о есть, имеем:

Для перехода к оригиналу тока используем теорему разложения. Обозначим числитель дроби М(р), а знаменатель – N(p).

Корни знаменателя определяем, приравнивая N(p) к нулю:

p(20+0,5p)= 0; p₁= 0; p₂= - 40;

Производная знаменателя:

Подставляем значения корней в М(р) и :

О тсюда ток равен:

6.31.^*

r₁=100 Ом; L=0,1 Гн; С=20 мкФ;

r₂=50 Ом; U₀=150 B.

Рассчитать напряжение на конденсаторе. Задачу решить операторным методом.

Решение: В данном случае удобнее всего привести начальные условия к нулевым. С этой целью определим напряжение на разомкнутом ключе.

Это напряжение будет равно U_c(0), то есть,

U_аб=U_c(0)=150 B.

Находим операторное сопротивление цепи относительно зажимов а – б. (Источник при этом закорачивается).

Учитывая, что операторное изображение напряжения на разомкнутом ключе равно:

U_аб(p)=U_аб/p=U₀/p,

Записываем выражение для тока I₃(p):

Подстановка численных значений приводит к выражению:

Оригинал тока i₃₍t) ищем по теореме разложения. Обозначим числитель дроби –М(р), а знаменатель N(p):

Находим корни знаменателя:

Производная знаменателя:

Подставляем корни в М(р) и

Ток i₃(t) то теореме разложения будет равен:

Последнее выражение можно преобразовать, используя формулу Эйлера:

Напряжение на конденсаторе, которое необходимо найти по условию задачи:

Для расчёта кривой U_c(t) удобнее градусы перевести в радианы и записать формулу в виде:

Таблица значений U_c(t):

t.10-3, c	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
Uc, B	150	95,1	63,3	48,6	43,5	43,1	44,5	46,3	47,8

П римечание: Хотя, судя по формуле U_c(t) переходный процесс должен иметь колебательный характер, однако на графике колебаний не замечено, что объясняется значительным по величине коэффициентом затухания (-1000) по сравнению с частотой колебаний (707). При этом оказывается, что время переходного процесса меньше периода колебаний

Для того, чтобы колебания были выражены в кривой переходного процесса, необходимо, чтобы коэффициент затухания был в 2 – 3 раза меньше, чем угловая частота колебаний.