ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

Интеграл фурье. Спектральный метод

§ 9.1. Ряд Фурье в комплексной форме записи. Как известно из предыдущего (см. § 7.2), в ряд Фурье можно разложить любую периодическую функцию f(t), удовлетворяющую условиям Дирихле.

Обозначим период функции Т, а основную частоту -  = 2/ Т. Ряд Фурье можно записать двояко. Первая форма записи:

f(t)= (9.1)

вторая форма записи:

f(t)= (9. 1a)

где А_о - постоянная составляющая ряда; А_к - амплитуда k-гармоники ряда; _k-начальная фаза k-гармоники;

(9.2)

(9.3)

(9.4)

Из курса математики известно, что Следовательно, Подставив правую часть формулы (9.5) в формулу (9.1), получим

. (9.5) Обозначим: (9.6)

(9.7) Тогда ряд (9.5а) можно записать так:

(9.8)

Формула (9.8) представляет собой комплексную форму записи ряда Фурье. Текущий индекс k может принимать все целые числовые зна­чения от до +, но не может равняться нулю, так как посто­янная составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого.

Пример 109. Представить функцию f(t)=2+3sin (₀t+ 30°) + 2 sin (2₀t- 45°) в комплексной форме записи.

Р е ш е н и е. A₀ = 2;

Составим выражение для комплексной амплитуды . По опреде­лению [см. формулу (9.6)],

(9.9)

где определяется формулой (9.3),- формулой (9.4).

Подставим правые части формул (9.3) и (9.4) в формулу (9.9):

или

(9.10)

Подставим правую часть формулы (9.10) в формулу (9.8):

(9.11)

§ 9.2. Спектр функции и интеграл Фурье. Ряд Фурье—это тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периоди­ческой функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте

Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, пред­ставляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малую величину.

Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для ряда Фурье [из формулы (9.11)] предельным переходом при стремлении периода Т к бесконечности.

На функцию f(t) при представлении ее интегралом Фурье накладывают ограничение, а именно полагают, что есть величина конечная (не бесконечно большая). Это серьезное ограничение. Ряд функций этому условию не удовлетворяет *.

Так как по определению [см. формулу (9.2)],

а при есть величина конечная, то

Преобразуем выражение , стоящее под знаком

суммы в формуле (9.11). С этой целью произведение заменим на [под будем понимать изменяющуюся (текущую) частоту]. В ряде Фурье разность двух смежных частот . Следовательно, .

При , заменив дифференциалом , получим

Обозначим

(9.12)

Формула (9.12) дает возможность преобразовать функцию вре­мени f(t) в функцию частоты ; преобразование (9.12) называют прямым преобразованием Фурье; а — спектром функции f(t). Это комплексная величина, зависящая от вида функции f(t), В соответствии с (9.12) в (9.11) заменим на и учтем, что при изменении k от до также изме­няется от до . Следовательно,