Новая папка / Примеры для решения5

5. Линейные электрические цепи с несинусоидальными токами и напряжениями.

5.1.^* Дано: U = U_m sint(), U=0 (0), U_m=100 В, r=50 Ом,

С=100 мкФ, L=0.1Гн, f=50 Гц.

а) б)

Определить постоянную составляющую тока в цепи (рис 5.1-а), на вход которой подается напряжение с управляемого выпрямителя. Форма напряжения на входе цепи показана на рис. 5.1-б.

Решение: Определяем постоянную составляющую напряжения.

U₀= В.

Далее находим ток цепи. При этом учитываем, что конденсатор не пропускает постоянную составляющую тока, а индуктивное сопротивление для постоянного тока равно нулю.

I₀== А.

5.2 Дано: U_m=20 В, r=20 Ом, L=0.05 Гн, С=50 мкФ, f=50 Гц.

а) б)

Определить постоянную составляющую напряжения на конденсаторе (рис.5.2,а)

5.3.

Определить зависимость среднего значения несинусоидального напряжения от угла U₀=f(). (рис. 5.3)

5.4. а) б)

В цепи, изображенной на рис. 5.4.-а наблюдается резонанс на 3-й гармонике . Частота основной гармоники напряжения (рис. 5.4.-б) равна 50 Гц.

Найти величину индуктивности, если r=30 Ом, С=60 мкФ. Определить гармоники тока, до 7-й включительно и построить линейчатые спектры тока и напряжения, считая, что амплитуда напряжения на входе U_M=60 В.

Решение: Угловая частота 3-й гармоники напряжения равна :

₃=32=6=6_­50=942

Индуктивность определим из формулы:

₃₌

Раскладываем входное напряжение в ряд Фурье. Вследствие симметрии кривой входного напряжения относительно оси абсцисс и начала координат, в разложении будут отсутствовать четные гармоники, постоянная составляющая и косинусная составляющая.

Амплитуда к-й гармоники равна :

B_K=U_MK= =

Записываем ряд Фурье для напряжения :

U=sint+sin3t+sin5t+sin7t

U=74,4sint+25,5sin3t+14,9sin5t+10,6sin7t

Далее определяем комплексное сопротивление цепи для каждой гармоники :

Z_K=r+(kL - );

Z₁=30+j(314_­0,0188 - )=30+j(5,9-53,1)=62,9 Ом;

Z₃=30+j(3_­314_­0,0188 - )=30 Ом;

Z₅=30+j(5_­314_­0,0188 - )=30+j(29,5-10,6)=35,5 Ом;

_­Z₇=30+j(7_­314_­0,0188 - )=30+j(41,3-7,6)=45,1 Ом;

_­

Находим комплексные амплитуды гармоник тока :

Ряд Фурье для тока можно записать в виде :

i=1,18sin(t+57,55⁰)+0,85sin3t+0,42sin(5t-32,2⁰)+0,24sin(5t-48,34⁰).

Линейчатые спектры напряжения и тока показаны на рис. 5.5.

5.5. a) б )

Определить первые 5 гармоник тока в неразветвленной части цепи при воздействии на входе напряжения несинусоидальной формы (рис. 5.6.-б), если амплитуды напряжения U_М=100 В; частота основной гармоники ₁=50 Гц.

Параметры цепи : r =50 Ом; L=0,08 Гн; C=16 мкФ.

5.6.

а) б) U_M=70 B;

C=100 мкФ;

r

U₁ r U₂

=60 Ом;

₁=50 Гц.

Найти постоянную составляющую и первую гармонику напряжения U₂ (рис. 5.7.)

5.7. a) б )

U_M=50B; =120 L=0,02 Гн; r=20 Ом; ₁=60 Гц.

Найти амплитуды первых 5-ти гармоник напряжения U₂ (включая постоянную составляющую). Построить линейчатые спектры напряжений U₁ и U₂, а также определить их действующие значения (рис. 5.8.).

5.8. a) б) U_M=90 B;

₁=50 Гц;

L=0,040 Гн;

r=40 Oм;

C=30 мкФ.

Рис. 5.9.

Определить гармоники тока до пятой включительно в цепи (рис. 5.9.) , а также рассчитать активную, реактивную и полную мощность.

5.9. а) б)

Трехфазная r,L нагрузка (r =50 Ом; L=0,064 Гн) питается от источника трехфазным напряжением (U_{М ф}=200 В, f₁=50 Гц), форма которого показана на рис. 5.10.Требуется рассчитать первые 3 гармоники фазного тока нагрузки при замкнутом и разомкнутом ключе К.

5.10. Трехфазная симметричная нагрузка соединена в звезду с нейтралью. Сопротивление фазы : z_ф= r =100 Ом.

Фазное напряжение источника не синусоидально и задано в виде ряда : U_ф=141sint+47sin3t+28,2sin5t+20,1sin7t+15,7sin9t ,B.

Найти действующее значение тока в нейтрали.

5.11. Рассчитать коэффициент искажений для кривой напряжения, заданной в виде ряда :

U(t)=10sint+4sin2t+1,5sin3t+0,4sin4t , В.

5.12. Определить коэффициент амплитуды для кривых, изображенных на рис. 5.11.

a) б)

в) г)

5.13. Найти коэффициенты искажений, нелинейных искажений и гармоник для напряжения прямоугольной формы (рис. 5.12.)

Рис. 5.12.

5.14. На входе цепи, состоящей из сопротивления и индуктивности : r=10 Ом; L=0,01 Гн, несинусоидальное напряжение : U=30sin500t+10sin1500t+ +3sin2500t , B.

Определить коэффициенты искажений для напряжения на входе и тока в цепи.

4. Приведите пример несинусоидальной кривой напряжения, в разложении в ряд Фурье которой отсутствуют чeтные гармоники.

4. При каком условии несинусоидальное напряжение не содержит четных гармоник ?

4. Одной из характеристик несинусоидального тока или напряжения является коэффициент гармоник. Что это такое ?

4. В какой из схем соединения трехфазной нагрузки в линейных

напряжениях отсутствуют гармоники, кратные трем, а в линейных токах эти гармоники есть ?

4. U

U_m wt

 2 3

Среднее значение напряжения равно: 4.1. U_m/2 4.2. U_m/2

4.3. U_m/ 4.4. 2U_m/

4. К схеме рисунка А подведено напряжение, изменяющееся, как показано на рис.Б. Ограничившись тремя гармоническими составляющими воздействующего напряжения, определить мгновенные и действующие значения тока в схеме и напряжения на

элементах. Рассчитать мощность (активную, реактивную и полную),

развиваемую источником. U_m = 314 В,  = 10³ с^-1, R = 10 Ом,

L = 5 мГн, С = 66,7 мкФ.

U

U_max

 2 t

Рис.А Рис.Б

4. К генератору с напряжением U = 40 + 282 sin1000 t + 134 sin

(2000t + /3) + 41,2 sin(4000t + /4) В подключена цепь, собранная,

как показано на рис. Написать выражение общего тока. Найти его действующее значение, если r = 20 Ом, L = 20 мГн, С = 10 мкФ

r L

C

4. Несинусоидальный источник питает активную нагрузку (R_Н = 2 Ом). Напряжение этого источника равно:

U = 16 + 8 sin t + 4 sin 3 t + 6 cos t.

Определить среднее по модулю значение тока источника .

4. Коэффициент амплитуды этого тока равен:

I

I_m t

0  2 3

4. Определить постоянную составляющую U_ВЫХ

L

U_ВХ

U_m

U_ВХ R C U_ВЫХ

0  2  3

U_m = 40 В, f = 50 Гц, R = 100 Ом, L = 0,1 Гн, С = 50 мкФ.

4. Найти постоянную составляющую тока. U_m = 40 В, R = 10 Ом

L = 0,01 Гн, С = 40 мкФ.

U

R L

U_m

I_O=?

U C R U_m/2

t

0  2  3

4. Несинусоидальный источник питает активную нагрузку (R_Н = 2 Ом). Напряжение этого источника равно:

U = 16 + 8 sin t + 4 sin t + 6 cos t.

Определить действующее значение тока источника.

4. Чему равно среднее значение этого тока ?

i

I_m t

0  2

Ответы на задачи раздела :”Несинусоидальные токи и напряжения”.

5.2. Постоянная составляющая напряжения на конденсаторе : U_co=5B.

5.3. Зависимость постоянной составляющей напряжения от угла имеет вид:

5.5. Ряд тока содержит только нечетные гармоники и имеет вид:

i(t)=2,07sin(314t-10,64⁰)+0,359sin(942t+43,8⁰)+0,473sin(1570t+81,47⁰), A.

5.6. Постоянная составляющая напряжения U₂ и тока i₁ отсутствует.

5.7. Амплитуды первых пяти гармоник входного напряжения:

U₁₀=25B; U_1M(1)=30,9B; U_1M(3)=10,6B; U_1M(5)=6,37B; U_1M(7)=4,55B.

Амплитуды первых пяти гармоник выходного напряжения:

U₂₀=25B; U_2M(1)=30,4B; U_2M(3)=7,72B; U_2M(5)=3,42B; U_2M(7)=1,88B.

Действующие значения напряжения на входе и выход: U₁=42,6B; U₂=40,3B.

Линейчатые спектры предлагаются построить самостоятельно.

5.8. Ряд тока имеет вид:

i(t)=3,27sin(t+1,03⁰)+1,53sin(3t-45,42⁰)+0,487sin(5t-79,59⁰) A.

Активная мощность: P=208,9 Вт.

Реактивная мощность: Q=29,7 ВАР.

Полная мощность: S=224,0 ВА.

(Примечание: в данном случае )

5.9. Так как в заданной кривой напряжения гармоники, кратные трем, отсутствуют, то независимо от положения ключа амплитуды гармоник тока будут равны:

I_1M=6,14 A; I_5M=0,589 A; I_7M=0,317 A.

5.10. Действующее значение тока в нейтрали равно: I_N=1,05 A.

5.11. Коэффициент искажений: К_И=0,920.

5.12. Коэффициент амплитуды будет равен :а) К_И= ; б) К_И=/2 ; в) К_И=2; г) К_И=

5.13. Коэффициент искажений: K_И=0,9;

Коэффициент нелинейных искажений: K_НИ=0,1;

Коэффициент гармоник: K_Г=0,484.

5.14. Коэффициент искажения для кривой напряжения: K_И=0,942, а для кривой тока - K_И=0,977.

Вопросы к разделу : “Несинусоидальные токи и напряжения “.

1) Записать формулы для определения коэффициентов ряда Фурье.

2) Приведите пример периодической несинусоидальной кривой, в котором постоянная составляющая равна нулю.

3) Почему при наличии реактивных элементов в цепи форма тока может отличаться от формы напряжения?

4) В чем смысл понятия : “Мощность искажения“?

5) Какую форму может иметь кривая, в которой отсутствуют четные гармоники?

6) В трехфазной цепи, гармоники кратные трем, совпадают по фазе - поясните это.

7) “В трехфазной цепи при симметричной нагрузке ток в нейтрали равен нулю” - когда это положение выполняется, а когда нет?

8) Запишите формулы для расчета коэффициентов искажений, нелинейных искажений и гармоник.

9) Каким образом рассчитывают активную и реактивную мощность в цепи несинусоидального тока?

10) Как определить действующее значение несинусоидального тока или напряжения?