§ 8.33. Изображение постоянной.

Требуется найти изображениефункции f(t)=A, гдеA– постоянная величина. С этой целью в (8.25) вместо f (t) подставимАи проведем интегрирование:

.

Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, делен­ной на р:

(8.27)

Наряду с преобразованием Лапласа (8 25) в научной и учебной литературе широко пользуются преобразованием Карсона – Хевисайда. При преобразовании по Карсону – Хевисанду принимают

По Карсону—Хевисайду, изображение и оригинал имеют одинаковую размер­ность, а изображение постоянной Аравно самой постоянной.

По Лапласу, размерность оригинала не равна размерности изображения, а изображение постоянной Аравно.

Следует отметить, что основная заслуга в разработке интегрального преобра­зования функции f(t) в функциюрпринадлежит Лапласу. Карсон и Хевисайд добавили к преобразованию Лапласа лишь нормирующий множительр, благодаря чему оригинал и изображение стали иметь одинаковую размерность.

§ 8.34. Изображение показательной функции еpt.

Вместо f(t)в (8.25) подставим е^t:

Таким образом,

(8.28)

При выводе формулы (8.28) (при подстановке пределов) было учтено, что действительная часть оператора р больше, чем ст, т. е. a > . Только при этом условии интеграл сходится.

Из формулы (8.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней  =j,получим

(8.29)

Формула (8.29) дает возможность найти изображение комплекса синусоидального тока:

С этой целью обе части (8.29) умножим на постоянное число . Получим

(8.30)

Аналогично, изображение комплекса синусоидального напряжения

Функции е^ptсоответствует изображение:

(8.32)

§ 8.35. Изображение первой производной.

Известно, что функ­ции f(t) соответствует изображениеF(р).Требуется найти изображение первой производной, если известно, что значение функцииf (t)приt=0равноf(0).

Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям. Обозначив и,

имеем

Следовательно,

.

Но

a

Таким образом,

(8.33')

(8.33)

§ 8.36. Изображение напряжения на индуктивности.

Изображение тока iравноI(р). Запишем изображение напряжения на индуктив­ности:

По формуле (8.33),

где t (0) *— значение токаiприt=0.

Следовательно,

(8.34)

Если i(0)=0, то

(8.34')

§ 8.37. Изображение второй производной.

Без вывода дадим фор­мулу

(8.35)

Следовательно, изображение второй производной тока i.

§8.38. Изображение интеграла.

Требуется найти изображение функции , если известно, что изображение функцииf(t)равноF(р).

Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

и возьмем интеграл по частям:

Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и ниж­него пределов дает нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f(t)(см. § 8.32): функцияf(t)если и растет с увеличениемt, то все же медленнее, чем растет функцияе^at, гдеа– действительная частьр. При подстановке нижнего предела нуль получается за счет обращения

в нуль . Следовательно, еслито

(8.36)

§ 8.39. Изображение напряжения на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе часто записывают в виде, где не

указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись:

где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекавшим через конденсатор в интер­вале времени от 0 до t, но и тем напряжением которое на нем было при t=0. В соответствии с формулой (8.36) изображениеравно, а изображение постояннойесть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе запи­сывают следующим образом:

⁸ (8.37)

Приведем простейшие операторные соотношения; часть их была выведена ранее, другая дается без вывода: