91

6. Обработка экспериментальных данных

При обработке экспериментальных данных, полученных в виде таблицы пар чисел (x_i, y_i), т.е. табличной модели y(x), часто решается задача эквивалентной ее замены непрерывной функцией f(x), т.е. математической моделью. Такая замена дает возможность применить к математической модели весь арсенал вычислительной математики (дифференцирование, интегрирование, построение графиков, гистограмм и т.д.), чего нельзя сделать с табличной моделью. В зависимости от решаемых задач обработки экспериментальных данных, условия эквивалентной замены могут быть разными, например:

- функция f(x) должна проходить через узловые точки (x_i, y_i), т.е. y_i=f(x_i), где i=1...n. В этом случае говорят об интерполяции данных y(x) функцией f(х) во внутренних точках между x_i, или экстраполяции за пределами интервала, содержащего все x_i. Решение задачи интерполяции дает возможность найти значения в промежуточных точках табличной модели, а решение задачи экстраполяции – предсказать поведение ее за пределами рассматриваемого интервала;

- функция f(x) должна иметь минимум среднеквадратичного отклонения в узловых точках y_i(x_i). Такое условие эквивалентной замены табличной модели математической моделью решает задача регрессии, которую во многих случаях можно назвать сглаживанием данных;

- функция f(x) должна приближать табличную модель y_i(x_i), с учетом того, что данные (x_i, y_i) получены с некоторой погрешностью, вызванную шумовой компонентой измерений. При этом функция f(х) с помощью того или иного алгоритма должна уменьшать погрешность, имеющуюся в данных (x_i, y_i). Такого типа задачи называют задачами фильтрации. Сглаживание - частный случай фильтрации.

Различные виды построения математических моделей f(х) показаны на рис. 6.1. На нем исходные данные обозначены кружками, интерполяция отрезками прямых - пунктирной линией, линейная регрессия - наклонной прямой линией, а фильтрация - жирной гладкой кривой. Эти зависимости приведены в качестве примера и отражают лишь малую часть возможностей Mathcad по обработке данных. Вообще говоря, в Mathcad имеется целый арсенал встроенных функций, позволяющий осуществлять самую различную регрессию, интерполяцию-экстраполяцию и сглаживание данных.

Рис. 6.1. Разные задачи обработки экспериментальных данных

Как в целях подавления шума, так и для решения других проблем обработки данных, широко применяются различные интегральные преобразования. Они ставят в соответствие всей совокупности данных у(х) некоторую функцию другой координаты (или координат). Примерами интегральных преобразований являются преобразование Фурье и и Лапласа. Некоторые преобразования можно осуществить в режиме символьных вычислений. Каждое из интегральных преобразований эффективно для решения своего круга задач анализа данных.

Линейная интерполяция

Самый простой вид интерполяции - линейная, которая представляет искомую зависимость f(x) в виде ломаной линии. Интерполирующая функция f(x) состоит из отрезков прямых, соединяющих точки.

Для построения линейной интерполяции используется встроенная функция linterp():

- linterp(x,y,t) - функция, аппроксимирующая данные векторов х и у кусочно-линейной зависимостью;

- х - вектор действительных данных аргумента;

- у - вектор действительных данных значений того же размера;

- t - значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая функция.

Элементы вектора х должны быть определены в порядке возрастания, т. е. x₁<x₂<x₃<...<x_n:

Рис. 6.2. Линейная интерполяция

Как видно из рис.6.2, чтобы осуществить линейную интерполяцию, надо выполнить следующие действия:

- ввести векторы данных х и у;

- определить функцию linterp(х,у, t).

- построить график линейной интерполяции (рис. 6.2).