2. Алгебраические структуры.

Определение.Пусть дано некоторое множество, на котором задана совокупность операций. Структура виданазываетсяалгеброй; множествоназываетсянесущим множеством, совокупность операций-сигнатурой, вектор “” операцийназываетсятипом.

Определение.Множествоназываютзамкнутымотносительнооперациина множестве, если значения функциина аргументахпринадлежат(то есть). Если множествозамкнуто относительно всех операций, то структураназываетсяподалгебройалгебры.

Пример 1.

а) Алгебра R называетсяполем действительных чисел(определение понятияполябудет дано ниже). Её тип -. Это означает, что сигнатура данной алгебры содержит две бинарные операции. Здесь все конечные подмножества (кроме множества) не замкнуты относительно обеих операций и, следовательно, не могут образовывать подалгебры. Но алгебра видаQ - поле действительных чисел – образует подалгебру.

б) Пусть задано множество . Множество всех его подмножеств – булеан, обозначается какили. Алгебраназываетсябулевой алгеброймножеств над множеством. Её тип:. Для любогобудет являться подалгеброй.

в) Множество одноместных функций на(то есть функцийвместе с унарной операцией дифференцирования является алгеброй. Множество элементарных функций замкнуто относительно этой операции (поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция), поэтому образует подалгебру данной алгебры.

Определение.Замыканиеммножестваотносительно сигнатуры(обозначается) называется множество всех элементов, которые можно получить из элементов этого множества, применяя операции из сигнатуры(включая сами элементы).

Например, в алгебре целых чисел Z замыканием числа 2 является множество чётных чисел.

Теорема 5.1.Непустое пересечение подалгебр образует подалгебру.

3. Гомоморфизм и изоморфизм.

Алгебры с различными типами (в смысле, определённом в пункте 1), очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется вводимых ниже понятий.

Определение.Пусть даны две алгебрыи.Гомоморфизмомалгебрыв алгебруназывается функция, такая, что для всехвыполняется условие:

для любого. (*)

Смысл данного определения состоит в следующем. Независимо от того, выполнена ли сначала операция в алгебре, а потом произведено отображение, либо сначала произведено отображение, а потом в алгебревыполнена соответствующая операция, результат будет одинаков.

Сейчас мы определим некоторые виды гомоморфизма, обладающие дополнительными свойствами.

Определение.Гомоморфизм, который является инъекцией, называетсямономорфизмом.

Определение.Гомоморфизм, который является сюръекцией, называетсяэпиморфизмом.

Определение.Гомоморфизм, который является биекцией, называетсяизоморфизмом.

Таким образом, можно сказать, что изоморфизм – это взаимно однозначный гомоморфизм.

Замечание.Если множества-носители двух данных алгебр равны, то ихгомоморфизмназываетсяэндоморфизмом, а изоморфизм –автоморфизмом.

Теорема 5.2.Еслии- две алгебры одного типа и- изоморфизм, то- тоже изоморфизм.

Пример 2.

а) Пусть - множество натуральных чисел,множество натуральных чётных чисел. Алгебрыиизоморфны; изоморфизмом является отображение, причём условиездесь имеет вид. Поскольку, то данный изоморфизм есть изоморфизм алгебрыв себя.

б) Изоморфизмом между алгебрами иявляется, например, отображение. Условиеимеет вид.

в) Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы (см. выше), а отображением может служить любое взаимнооднозначное соответствие.

Теорема 5.3.Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр.

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его сущность можно выразить следующим образом. Если две алгебры изоморфны, то элементы и операции любой из них можно переименовать таким образом, что эти алгебры совпадут. Это позволяет, получив некоторое эквивалентное соотношение в данной алгебре, распространять его на любую изоморфную ей алгебру. Распространённое в математике выражение “с точностью до изоморфизма”означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, то есть являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Назад, в начало комплекса.