3. Замена базиса линейного пространства.

Пусть в пространстве Rⁿ заданы два базиса е₁,е₂, ... ,е_n и f₁, f₂, f₃…, f_n, тогда каждый вектор из базиса f можно разложить по базису e, т.е.

Из координатных столбцов векторов f_j в базисе e можно составить квадратную матрицу порядка n.

, которая называется, матрицей перехода от базиса e к базису f.

Она является невырожденной, т.е. А0. Значит, выражение можно записать в матричном виде. Умножая это равенство наТ^-1 справа, получаем

fT^-1=e или e = fT^-1, т.е. Т^-1 – матрица перехода от базиса f к базису e.

Пример 5. Найти координаты вектора в базисеесли он задан в базисе.

.

Решение. При переходе от базиса e к базису f координаты одного и того же вектора связаны формулами:

, ,

где T матрица перехода, которая находится из равенства f = eT.

Здесь . Найдем определитель матрицы:

(формула разложения определителя по третьей строке).

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы T и обратную матрицу по формуле :

.

Таким образом, обратная матрица будет и, следовательно,

.

Окончательно имеем в базисе f: .

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема. Матрицы А и А^* линейного оператора А(х) в базисах е₁,е₂, ... ,е_n и f₁, f₂, f₃…, f_n связаны соотношением

A* = Т^-1∙A∙Т_,

где Т — матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример 6. В базисе e₁, e₂ оператор А имеет матрицу . Найти матрицу этого же оператора в новом базисеf₁, f₂ , где .

Решение: составим матрицу перехода (координаты векторов нового базиса являются столбцами матрицы перехода) т.е. и найдем обратную матрицу Т^-1. Т=5, .

- матрица оператора А в новом базисе.

Пример 7. Найти матрицу линейного преобразования в базисеесли она задана в базисе

, .

Решение. При переходе от базиса e к базису f матрица линейного преобразования, в соответствии с определением, будет иметь вид

,

где T матрица перехода, которая находится из равенства f = eT.

Здесь .

Найдем определитель матрицы:

(прибавили к элементам второго и третьего столбца соответствующие элементы первого столбца и записали формулу разложения определителя по первой строке).

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы T и обратную матрицу по формуле :

.

Таким образом, обратная матрица будет и, следовательно,

.

Лекция 14. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

ЗАДАЧА.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

Определение 1. Ненулевой вектор X, удовлетворяющий условию

AX=X , (1)

называется собственным вектором преобразования A . Число  в равенстве (1) называется собственным значением.

Из определения следует, что собственный вектор под действи­ем линейного оператора А переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом. В связи с этим понятие собственного вектора является очень полезным и удобным при изучении многих вопросов мат­ричной алгебры и ее приложений.

Равенство (1) записано в матричной форме: АХ = Х,

где X — матрица-столбец из координат вектора х, или в разверну­том виде

(1)

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

(2)

Или в матричном виде (А - Е) = 0.

Полученная однородная система всегда имеет нулевое реше­ние х = 0 = (0,0,...,0). Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (2) был равен 0.

(3)

Определитель |А – ХЕ| является многочленом n-й степени от­носительно X. Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора А или матрицы А, а уравнение (3) — характеристическим уравнением оператора А или матрицы А.

Для отыскания собственных векторов необходимо:

1) составить характеристическое уравнение (3) и найти его корни ₁, ₂, ₃ т.е. собственные значения;

2) составить систему (2), положив  равным одному из найденных собственных значений, например:  = ₁, и найти ненулевое решение этой системы;

3) записать вектор который является собственным вектором данного преобразования, соответствующим собственному значению₁ ;

4) проделать шаги 2), 3) для  = ₂ и  = ₃.

Следует иметь в виду, что собственные векторы определяются с точностью до произвольного множителя, т.е. если вектор X - собственный, то и вектор - собственный.

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

Если линейное преобразование имеет S одинаковых собственных чисел ₀ , то говорят, что ₀ имеет кратность S. Тогда ему соответствует не более S линейно независимых собственных векторов.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

.

РЕШЕНИЕ.

1. Запишем характеристическое уравнение данного линейного преобразования и найдем его корни:

Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть определитель. Для этого рекомендуется разложить определитель по элементам некоторой строки (столбца), предварительно получив в этой строке (столбце) два нуля, используя свойства определителей. В нашем случае сначала к первой строке прибавим вторую, получим

Теперь ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-1):

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем:

или

Корнями этого уравнения являются три числа, ₁ = -2, ₂ = 3, ₃ = 6.

2. В системе (2) положим  = ₁ = -2, тогда она примет вид:

Здесь первые два уравнения тождественны, поэтому одно из них можно отбросить

Применяя метод Гаусса, найдем общее решение этой системы:

3. Следовательно, первым собственным вектором, соответствующим  = -2, является X₁ = (p₁ , p₁ , 0) = p₁ (1,1,0), p₁  0.

Меняя p₁ ,будем получать различные векторы, лежащие на одной прямой. Все они собственные.

4. Аналогично поступаем с собственными значениями ₂ = 3, ₃ = 6, т.е. находим соответствующие им собственные векторы

X₂ = p₂(1 , -1 , 1); p₂  0, (₂ = 3);

X₃ = p₃(1 , -1 , -2); p₃  0, (₃ = 6).

Собственные вектора X₁, X₂, X₃ определены с точностью до произвольных чисел p₁ , p₂ , p₃ .

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

.

РЕШЕНИЕ

1. Характеристическое уравнение данного преобразования имеет вид

.

Корни этого уравнения ₁ = ₂ = -1, ₃ = 5 являются собственными значениями.

2. Чтобы найти собственный вектор, соответствующий ₁ = ₂ = -1, полагаем в системе (2)  = -1. Получим

Все три уравнения тождественны, поэтому два из них могут быть отброшены. Оставшееся уравнение содержит три неизвестные. Полагая =p₁ , =p₂ , находим = -p₁ – p₂ .

3. Вектор X₁ = (-p₁ – p₂ , p₁ , p₂ ), где p₁ и p₂ - любые числа, одновременно не равные нулю, является собственным вектором линейного преобразования, соответствующим ₁ = ₂ = -1.

4. Аналогично находим, что вектор X₂ = p₃(1, 1, 1) является собственным вектором данного преобразования, соответствующим ₃=5.

Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

.

РЕШЕНИЕ.

1. Характеристическое уравнение данного преобразования

.

Корни этого уравнения ₁ = ₂ = ₃ = 1 являются собственными значениями.

2. Полагаем в системе (2)  = 1:

.

Все три уравнения тождественны, поэтому, отбросив два из них, имеем .

Полагая , находим .

3. Вектор X = (5q – 2p; p; q), где p, q - любые числа, одновременно не равные нулю, является собственным вектором данного линейного преобразования.

Пример4. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение. Найдем собственные числа этой матрицы, для чего составим и решим характеристическое уравнение:

Приравняв к нулю это выражение, находим:

Находим собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям, для чего при каждом составляем и решаем систему:

а) при , получаем

что равносильно системе (здесь )

,

полагая в которой, например, ,находим,таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению 3 есть

б) при , получаем

что равносильно уравнению (здесь ):,

полагая в котором сначала, ,а затем получаем еще два линейно независимых собственных вектора:

.

Лекция 15. Привидение квадратной матрицы к диагональному виду.

Наиболее простой вид принимает матрица А линейного опера­тора А, имеющего n линейно независимых собственных векто­ров e_l,e₂,...,e_n с собственными значениями, соответственно рав­ными ₁, ₂, ₃, ... _n. Векторы е₁, е₂, ... , e_n примем за базисные. Тогда A(e_i) = _ie_i (i = 1,2,..., n) или

A(е_i) = a_1ie₁ + a_2ie₂ + ... + a_iie_i + ... + a_nie_n = _ie_i,

откуда a_ij = 0, если i  j, и а_ij = _i, если i = j. Таким образом, матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

.

Верно и обратное: если матрица А линейного оператора А в не­котором базисе является диагональной, то все векторы этого бази­са — собственные векторы оператора А.

Можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соот­ветствующем базисе имеет диагональный вид.

Пример 1. Привести матрицу А = линейного опера­тора А к диагональному виду.

Решение. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора А, заданного матрицей .

Составляем характеристическое уравнение

или ² - 2 - 35 = 0 , откуда собственные значения линейного оператора А ₁ = -5, ₂ = 7.

Находим собственный вектор х⁽¹⁾ = (х₁, х₂), соответствующий собственному значению ₁ = -5. Для этого решаем матричное уравнение

или ,

откуда находим х₂ = -1,5х₁. Положив х₁ = с, получим, что векто­ры х⁽¹⁾ = (с; -1,5с) при любом с  0 являются собственными векторами линейного оператора А с собственным значением ₁ = -5.

Аналогично можно убедиться в том, что векторы х⁽²⁾ = при любом с₁  0 являются собственными векторами линейного оператора А с собственным значением ₂ = 7 .

Так как координаты векторов х^{(1 )}и x⁽²⁾ не пропорциональны, то векторы х⁽¹⁾ и х⁽²⁾ линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов x⁽¹⁾ = (с; -1,5с) и х⁽²⁾ = (т.е. при любых с0, c₁  0, например, при с = 2, c₁ = 6 из век­торов x⁽¹⁾ = (2; - 3) и х^{2) = (4; 6) и т.д.) матрица А будет иметь диагональный вид:

или .

Это легко проверить, взяв, например, в качестве нового базиса линейно независимые собственные векторы х⁽¹⁾ = (2; - 3) и x⁽²⁾ = (4; 6). Действительно, матрица С перехода от старого бази­са к новому в этом случае будет иметь вид C = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾) = . Тогда матрица А в новом базисе х⁽¹⁾, x⁽²⁾ примет вид: .

Или после вычислений , т.е. получим ту же диагональную матрицу, элементы которой по главной диагонали равны собственным значениям матрицы А.

Пример2.Пусть линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве , имеет в ортонормированном базисе матрицу. Построить в этом векторов пространстве базис из собственных оператораи найти матрицу операторав этом базисе.

.

Решение. 1) Найдем собственные числа оператора , для чего составим и решим характеристическое уравнение:

Приравняв к нулю, находим:

2) Находим собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям, для чего при каждом составляем и решаем систему:

а) при , получаем

что равносильно системе (здесь )

,

полагая в которой, например, , находим , таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению 9 есть

б) при ,получаем,

что равносильно уравнению (здесь )

,

полагая в котором сначала, ,а затем получаем еще два линейно независимых собственных вектора:

.

3) Находим матрицу перехода к базису из собственных векторов и обратную к ней (столбцами матрицы перехода являются координатные столбцы векторов (см. раздел 1)):

.

4) Теперь по формуле (5.1) находим – матрицу линейного оператора в базисе из собственных векторов

Таким образом, матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов диагональная!

Лекция 16. Квадратичные формы.

При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.

Определение 1. Квадратичной формой L(х₁,х₂,...,х_n) от n пере­менных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

L(х₁, х₂,...,х_n) = .

Определение 2. Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы a_ij — действительные числа, причем a_ij = a_ji. Матрица А = (а_ij) (i, j = 1, 2, ..., n), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

Определение 3. Матрица, у которой все элементы а_ij = а_ji , называется симметрической.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L = Х^ТАХ,

где X — матрица-столбец переменных. или .

Пример 1. Дана квадратичная форма L(x₁, х₂, х₃) = 4х₁² - 12х₁х₂ - 10х₁х₃ + х₂² - 3x₃². Записать ее в матричном виде.

Решение. Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диа­гональные элементы равны коэффициентам при квадратах пере­менных, т.е. 4, 1, —3, а другие элементы — половинам соответст­вующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

_►

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырож­денном линейном преобразовании переменных.

Пусть матрицы-столбцы переменных X = (х₁,х₂,...,х_n)^Т и

Y = (y₁,y₂, ... ,y_n)^Т связаны линейным соотношением X = CY, где С = (c_ij) (i,j = 1,2,...,n) есть некоторая невырожденная матрица n-го порядка.

Тогда квадратичная форма

L = Х^ТАХ = (CY)^ТA(CY) = (Y^ТC^Т)A(CY) = Y^Т(C^Т AC)Y.

Итак, при невырожденном линейном преобразовании X = CY матрица квадратичной формы принимает вид: .

Пример 2. Дана квадратичная форма L(х₁, х₂) = 2x₁² + 4x₁x₂ - 3x₂². Найти квадратичную форму L(y₁, y₂), полученную из данной линейным преобразованием х₁ = 2y₁ – 3y₂, x₂ = y₁ + y₂.

Решение. Матрица данной квадратичной формы , а матрица линейного преобразования С =.

Следовательно, матрицу искомой квадратичной формы находим по формуле:

,

Значит квадратичная форма имеет вид L(y₁, y₂) = 13y₁² - 34у₁у₂ + 3у₂². ►

Определение 4. Квадратичная форма L = называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты а_ij = 0 при i  j: L = a₁₁x₁² + a₂₂x₂² + ... + a_nnx_n² = ,а ее матрица является диагональной.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожден­ного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором она имеет канонический (и даже нормальный) вид.

Познакомимся с методами приведения квадратичной формы к каноническому виду: метод Лагранжа выделения полных квадратов и методом собственных векторов.

Пример 3. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму , заданную в евклидовом пространстве, к каноническому виду. Написать этот канонический вид.

Решение: матрица квадратичной формы имеет вид . Найдем собственные числа этой матрицы:. Соответственно ортонормированные собственные векторы:

Следовательно, в базисе из этих векторов, заданная квадратичная форма имеет вид ,

где соответствующие преобразования координат имеют вид: _►

Канонический вид квадратичной формы не является одно­значно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способа­ми. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратич­ной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, на­зываемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линей­ных преобразованиях.

Лекция 17. Итоговое тестирование.

Лекция 18. Резерв.

Лекция 0. Входная контрольная работа за курс средней школы.