3 Статические характеристики сар

Статические характеристики используются для отображения зависимости установившихся значений переменных САР от входных и возмущающихся сигналов. Предположим, что имеется САР с n задающими входами, m возмущающими входами и одним выходом. Тогда выражение выходного сигнала в операторной форме будет выглядеть следующим образом:

где – передаточная функция САР поi-ому задающему входу;

–передаточная функция САР по j-ому возмущающему входу.

Поскольку оператор р характеризует производную сигнала, а при установившемся процессе в линейных системах все производные считаются равными нулю, то оператор равен нулю и тогда передаточные функции преобразуются в некоторые постоянные величины и:

.

Данное выражение будет представлять собой уравнение статической характеристики.

4 Частотные характеристики

Частотные характеристики характеризуют САР по одному входу и одному выходу. Для получения частотных характеристик САР необходимо при помощи правил преобразований определить передаточную функцию САР, например по задающему входу , и произвести замену операторар на выражение j. В результате получим частотную передаточную функцию . Из частотной передаточной функции можно получить следующие частотные характеристики:

1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ,

2. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) ,

3. Логарифмическая АЧХ (ЛАЧХ) . Причём частотатакже изменяется в логарифмическом масштабе.

Для быстрого построения ЛАЧХ САР полезно уметь строить асимптотические ЛАЧХ – ЛАЧХ график, которой заменён асимптотами. Асимптотическая ЛАЧХ строится для передаточной функций числитель и знаменатель которой состоит из произведения полиномов первого и второго порядка:

,,.

В этом случае сложную передаточную функцию можно представить как произведение элементарных передаточных функций, представляющих собой каждый такой полином и коэффициента пропорциональности. Причём, полиномы, составляющие знаменатель сложной передаточной функции, будут образовывать передаточные функции:

,,.

Для каждого из элементарных звеньев имеется свой известный график ЛАЧХ в асимптотическом виде. График асимптотической ЛАЧХ сложной передаточной функции образуется путём сложения асимптотических ЛАЧХ элементарных звеньев:

где s – количество простых полиномов в числителе и в знаменателе.

Существует упрощённая методика построения асимптотической ЛАЧХ для любой передаточной функции:

1. Определить частоты сопряжения для каждого полинома , где;Т_i – постоянная времени i – ого полинома.

2. Необходимо произвести привязку графика ЛАЧХ к осям. Для этого необходимо выяснить, какой степенью астатизма обладает сложная передаточная функция. Тогда уравнение графика начального участка асимптотической ЛАЧХ будет иметь вид:

При наличии свободных членов в числителе (проводится асимптота с наклоном) —

При наличии свободных членов в знаменателе числителе (проводится асимптота с наклоном) –

При отсутствии свободных членов числителе (проводится асимптота с нулевым наклоном) —.

Асимптота, описывающая начальный участок графика ЛАЧХ, должна проходить через точку с координатами , где– наименьшая частота сопряжения.

3. Далее график ЛАЧХ чертится от частоты к частоте сопряжения меняя наклоны. Изменение наклона графика ЛАЧХ зависит от порядка полинома и его местонахождения (числитель или знаменатель). Параметры изменения наклона приведены в таблице 1.

Таблица 1

Числитель
Знаменатель

Для перевода произвольного полинома n – ого порядка

в произведение полиномов первого и второго порядков необходимо выполнить следующие действия:

1. Определить корни полинома . В результате получитсяn корней , причём одни корни будут вещественнымиа другие комплексно сопряжённыеи.

2. Зная корни полином можно выразить в виде или. При этом. Тогда. Если имеется вещественный корень, то для него будет соответствовать полином первого порядка, при этом. Если имеются два комплексно сопряжённых корняи , то для них будет соответствовать полином второго порядка. При этоми.