Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Контрольная работа №3 и 4(математика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.04.2015

Размер:

843.76 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Министерство образования и науки РФ

Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова

Кафедра математики

Теоретические вопросы по курсу математики

для студентов заочной формы обучения

специальности 270100.62 «Промышленное и гражданское строительство»

2семестр

1.Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Свойства операции дифференцирования.

Производные элементарных функций.

2.Производная сложной, обратной и параметрически заданной функций.

Логарифмическое дифференцирование. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

3.Дифференциал функции, его геометрический смысл, свойства. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

4.Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа,

Коши. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

5.Производные и дифференциалы высших порядков.

6.Исследование функций при помощи производных: монотонность, экстремум функции, выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

7.Первообразная и неопределённый интеграл. Замена переменной в неопределённом интеграле; интегрирование по частям.

8.Интегрирование простейших дробей четырех типов. Интегрирование дробно-

рациональных функций. Разложение рациональных дробей на простейшие.

9.Интегрирование тригонометрических функций.

10.Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Тригонометрические подстановки.

11.Определенный интеграл: определение, свойства. Геометрический смысл.

Условия интегрируемости функций.

12.Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование.

Формула Ньютона-Лейбница.

13.Геометрические приложения определённых интегралов: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги, объема тела вращения и площади поверхности вращения.

14.Несобственные интегралы. Определения, свойства. Признаки сходимости.

15.Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости ряда.

16.Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: два признака сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

17.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных числовых рядов.

18.Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

19.Ряды Тейлора. Достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора.

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Приложения степенных рядов.

	Составила: Л.А. Баданина
Утверждаю:
Зав. кафедрой математики	________________________	В.Н. Попов
		18.01.2012.

Контрольные работы № 3, 4.

Дифференциальное и интегральное исчисление. Ряды.

Задание 1. Вычислить первую производную yx .

1.	1
а) y e		ln 3 5x		tg3 2x;
б) y			arcsin5x		3		;
						5

			1 25x2

2.а) y 3x 3x2 5arctg2 5x;

б) y 1 2x tg2;

1 2x

3.а) y 3 51 3x arcsin2 3x;

б) y	cos4x	34		;
			5

	6x2 3

4.а) y 103x 5 arcsin x2 ;

б) y arctg3x sin3;

9x2 1

5.а) y e 3x 2arcctg7x 3 ;

б) y	1	3 cos5x		;
		x2	3x

6.а) y 4sin2 3x 5 33 5x ;

б) y x2 5x 5 ; ln3x

в)

г)

в)

г)

в)

г)

в)

г)

в)

г)

в)

г)

y 2x 5 2 3x ;

	x	cos5t	.
			.
y t 2sin3t

ln3x

y 3 2x ;

	x 2				t
	x 2					.
		1	t	3	1	.
y
y		4
		4

ysin 3x 2x 3 ;

x 1 t2 ;

y t t3

y x3 4 tg 4x ;

x ln3t

y 6t t2 .

yxarcsin23x ;

x t 1

	t t	1.
	t t	1.
y
y

yarcsin3x 2x ;

x ctg 3 3t .

y 4t

7.а) y lg cos3x sin3 3x;

б) y		84 x	3		;
				2

	1 3x2

8.а) y 1 53x 10 ln3 7x;

б) y arcsin3x 35; 1 9x2

9.а) y 102x 5 sin3 4x;

б) y 2 2x 2 34 ; arcco3x

10.а) y arcsin3 5x 33 2x ;

б) y 2sin2x ; 2 3x

в)

г)

в)

г)

в)

г)

в)

г)

y 3x 5 4 3x ;

x ln 1 ty 2 5t2 .

y log3 7x x2 ;

	3	t.
x 3cos		t.
y 4sin3		t

yln5x 6 4x ;

x 3t2 2t

y 5t2 2t.

y3x2 1 cos2 5x ;

x log		3	t
			.
	y t2

Задание 2. Составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке M0

(1; 1).

1.	2exy ex ey .				2.		x3 y3 2xy2 .
3.	3x2 y2 2xy 2.				4.	10x2 9y2 xy.
5.	3 x 2 2 y2 xy 1.				6.		xsin		πy	ysin		πx	2.

						2					2
7.	sin y x2 3xy2			3.	8.		x	xy x y2 .

							y
9.		y	x 2xy2 .		10.		x4 6x2 y2				3y3 2 0.

		x

Задание 3. Провести полное исследование функции, на основании полученных данных построить графики функции.

		2x2		y cosx.
1.	а)	y x2 4 ;	б)	y cosx.

2.	а)	y	x
				;
			x2 1

3.	а)	y	x2	3	;
			x 1

4.а) y x2 16 ;

5.	а)	y x	4	;
			x2

6.	а)		x3
		y x2 1;

7.	а)	y	x2	12
			x 4 ;

8.	а)	y	x2	1

				x .

9.а) y x 3;

10.	а)	y	x2	;
			9 x2

б)

y ln sinx cosx .

y 1 sinx cosx .

y sinx.

y ln cosx sinx .

y ln 2sinx .

y ln 2cosx .

y e 2cosx .

y 3sinx.

y ln 2sinx .

Задание 4. Найти неопределенные интегралы.

1. а) 16xdx ;

1 4x2

б) 2xln(3x 1)dx;

2. а)				dx	;
			2
		cos		3x 1 2tgx

б)	xsin 2xdx;

3. а)	x3dx		;

	4 x	4
	4 x

б) x32x 1dx;

4. а)	sin xdx		;
	2
	16 cos	x

б) (1 6x)sin3xdx;

5.а) sin xcos2 xdx;

б) ln(x2 4)dx;

6.а) xex2 dx;

б) 3x2 ln xdx;

в)	4x3dx			;
	(x 1)	2	(x 3)

г)			dx		;
	3 sin x 2cosx

в) (2x3 3)dx ; x3 2x 12

г) 2sin x cosx 1;

в) (2x3 1)dx ;

x2 4 x

г) sin2 x 5cos2 x ;


в)			6x3dx			;
в)	x	3				;
	x		2x 3
г)					4dx				;
г)	4sin			2	x 9cos		2		;
	4sin				x 9cos			x

в)				x		3dx				;
	x	3	x		2
						2x 2
г)					dx				;
	sin		2	x 3cos			2
								x

в)	(x3	8)dx			;
в)	x(x		2	9)	;
	x(x			9)
г)				dx		;
г)	sin x cosx 1					;
	sin x cosx 1

д)		dx		;
		4

	x		x

е) 4 3x 5x2 dx.

д) 15x2 xdx;

е)	dx			.

	3 2x	5x	2

д)			dx			;
	6		3

		x 2			x
е)				dx			.

		3x		2
				5x 1

д)	x 1dx		;


	3	x 1

е) 5x 3x2 dx .

1			x
д)			x		dx;
	2		3
			3
0				x
е)				dx			.

		1 3x 4x				2
		1 3x 4x

д)				dx		;
	3
		x	2	2

					x

е) 5x 8x2 dx.

7.	а)	(1 2sin x)dx			;
		cos	2	x

б) (x 1)e 4xdx;

8. а)		arctg2 2xdx	;
		2
		1 4x
б)	(2x 4)cosxdx;

9. а)				dx

		arcsin	3	2x	1 4x	2
		arcsin		2x	1 4x
б)	xcos3xdx ;

10.	exdx
а)			;

	9 e	2x
	9 e

б) (2x 1)e 3xdx;

в)

г)

в)

г)

;в)

г)

в)

г)

x3dx

;

cosx 3

(x3 12)dx

;

(x 2)(x 2)

sin xdx

;

(1 sin x)

(9x3 18)dx ;

x(x2

5 4sin x 3cosx

x3dx

;

3 2

;

sin xcos

д)

е)

д)

е)

д)

;е)

д)

е)

1 2x 1 ;

x2 10x 29 .

1 3dxx 8 ;

x2 6x 5 .

xdx

4 3x ;

3 5x 6x2 dx .

xdxx 3x2 ;

7x2 4x 13 .

Задание 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой, заданной полярными координатами. Сделать чертеж.

1.	cos4 .	6.	sin 4 .
2.	cos5 .	7.	sin5 .
3.	cos6 .	8.	sin6 .
4.	cos .	9.	sin .
5.	cos2 .	10.	sin2 .

Задание 6. Вычислить длину

уравнениями.

1.x et cost sint ,

y et cost sint

0 t

2.x t2 2 sint 2tcost,

y 2 t2 cost 2tsint

0 t

3.x 2cos3 t,

y 2sin3 t

0 t

4.x 2 cost tsint ,

y 2 sint tcost

0 t

5.x 4 2cost cos2t ,

y 4 2sint sin 2t

0 t

дуги кривой, заданной параметрическими

6.x 2 t sint ,

y 21 cost

0 t

7.x 3 t sint ,

y 31 cost

t 2

8.x t2 1,

y t 1

1 t 1

9.x 2cost cos2t,

y 2sint sin 2t

0 t

10.x 4 t sint ,

y 41 cost

0 t

Задание 7. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, заданной неравенствами, вокруг указанной оси. В вариантах 1-5 – оси Ох , в вариантах 6-10 -

оси Оу. Сделать чертеж.

y 1,

y x2 2x 1.

y 1.

x 1, x 1,

y 4, x 2.

y2 2x 2,

x 9.

y 4

y x2 1,

y 2.

y 1,

y x2 2x 1.

x 2

x 0,

y 4.

x 2

x 2, y 0.

y 4,

x 1, y

10.

y x2

y 4,

x 2.

x 1,

Задание 8. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

а)

;

б)

2 x 1 x3

x 2 x 3

а)

cosx

dx;

x2 3

а)

;

ln x

а)

e x2 dx;

а)

xdx

;

3x2

а)

xdx

;

x2 6x 12 3

ln x

а)

dx;

а)

xdx

;

2x 3

9.а) 31 x2 ;

	а)		xdx	;
10.			xdx

		0 3 x8 3x4 4
		0 3 x8 3x4 4

	1			dx
б)				dx		.
		3
		3
	0			1 x
	3				dx
б)					dx							.
б)			x 3 x 2									.
	0
	4				dx
б)					dx						.

		3		4 x					2
	2	3		4 x
	1			dx
б)								.
б)			x x 2					.
	0
	1				xdx
б)					xdx								.

				x	2
	0			x	3x 4
	5			xdx
б)				xdx			.
б)			x 5			2	.
	2		x 5
	2				dx
б)					dx					.

			x	1 x			2
	0		x	1 x
	4				dx
б)					dx

		3							2
	2	3		4 2x
	2			dx
б)				dx					.
б)			x x 2						.
	1		x x 2

Задание 9. Исследовать на сходимость числовые ряды.

1.		2			4				6					1
1.	а)	2			4				6		...;	в)		1				;
		9
														3nlnn
			19				29						n 2	3nlnn
						2n	3				n2			n			2n
	б)					2n	3				;	г) 1										3	.
																						3
																	3					3n
		n 0	3n 2										n 0			4n				5
2.		2		4				6						1
2.	а)	2		4				6		...;		в)		1					;
		3					27
														3nln	2
			9										n 2	3nln			n
								2		9n2				1				n
	б)		1					2			;	г)									.

													n 0
		n 1						n					n 0	n2 33n

3.	а)	1		4				7	...;
	а)	3		9			27		...;
		3		9			27
					n 3				n
	б)								;
	б)					3	8		;
		n 3	n				8

4.а) 3 7 11 ...;

		2		8					32
					2n 2 n2
	б)										;
	б)										;
		n 2	2n 3
5.	а)	3		5					7		9	...;
	а)	3		9				15			21	...;
		3		9				15			21
					n 1					3n
	б)										;
	б)					2					;
		n 2	n					1
6.	а)	5		7					9		11	...;
	а)	1		6					13		22	...;
		1		6					13		22
						n 1					2n
	б)										;
	б)						2				;
		n 2	3n						1

7.а) 1 5 9 ...;

		2		4			8
					n 1 n
	б)								;
	б)								;
		n 1	2n 1
8.	а)	1		3			5	...;
	а)	4		9			16	...;
		4		9			16
					3n 1				4n
	б)								;
	б)					2			;
		n 1	3n				1
9.	а)	2		4			6	...;
	а)	3		9			12	...;
		3		9			12
					3n 1 n2
	б)								;
	б)								;
		n 2	3n 2

в)

;

3 n 2 lnn

n 2

г)

n! n 2

n 0

в)

;

3nlnln n

n 5

( 1)

г)

n 0

в)

;

n 2

3n lnn

г)

n 3

n 0

в)

;

3n 5

n 2

lnn

1 n

n 5

г)

3n 6

n 0

в)

;

3nln n 2

n 2

n 1

г)

n 0

3n 5

lnn

в)

;

n 2

3 n

г)

n 13

n 2

в)

;

nln4n

n 2

г)

n 1

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.20151.79 Mб15Конспект.pdf
#
01.07.202537.94 Кб0контр.раб. экономика орг..docx
#
15.03.201683.46 Кб65КОНТР.РАБОТА 1 вр-т.doc
#
24.11.201990.88 Кб11Контрольная для заочного отделения.docx
#
12.04.201539.55 Кб41Контрольная работа №2.docx
#
12.04.2015843.76 Кб13Контрольная работа №3 и 4(математика).pdf
#
12.04.20151.05 Mб130Контрольная работа.docx
#
15.03.201633.27 Кб401Контрольная точка по Правоведению №1.docx
#
24.11.201860.67 Кб36КОНТРОША ГОТОВОЕ.docx
#
22.08.201928.61 Кб34конференция по ИТ.docx
#
12.04.2015114.18 Кб26концепция.doc