Аналитическая геометрия, модуль
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ)
Кафедра высшей математики
УТВЕРЖДАЮ: Первый проректор −
проректор по учебной работе
_____________ Е.А.Кудряшов «____»___________2011г.
Аналитическая геометрия
Индивидуальные задания и методические указания по выполнению модуля
2
Курск 2011
УДК 510 (083)
Составители: Е.В. Журавлева, А.В. Бойков
Рецензент Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры
высшей математики В.И. Дмитриев
Аналитическая геометрия: Индивидуальные задания и методические указания по выполнению модуля 13 / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Е.В.Журавлева, А.В.Бойков. Курск, 2011. с. табл. 1. Библиогр.: с.50.
Методическая разработка содержит теоретические упражнения и практические задания по теме «Аналитическая геометрия». Индивидуальные задания разбиты на три уровня сложности. Представлены примеры решения наиболее сложных задач.
Предназначен для студентов технических и экономических специально-
стей.
Текст печатается в авторской редакции
Подписано в печать _______ . Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. .Тираж 50 экз. Заказ. Бесплатно.
Юго-Западный государственный университет.
3
305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
Содержание
Введение……………………………………………………………..4
1.Индивидуальные задания………………………………………..6
1.1.Теоретические упражнения.……………………………....6
1.2.Практические задания……………………………………10
1.2.1.Задание 1……………………………………………10
1.2.2.Задание 2…………………………………………....10
1.2.3.Задание 3………………………………………..…..14
1.2.4.Задание 4…………………………………………....26
1.2.5.Задание 5………………………………………..…..27
1.2.6.Задание 6……………………………………………27
1.2.7.Задание 7…………………………………………....35
1.2.8.Задание 8……………………………………………35
1.2.9.Задание 9……………………………………………37
2.Образцы выполнения некоторых заданий…………………….42
3.Контрольные вопросы…………………………………….…….50 Библиографический список ……………………………………52
4
Введение
Для аналитической геометрии определяющим является не предмет, а метод. Сущность этого метода заключается в том, что геометрическим объектам сопоставляются некоторым стандартным способом уравнения (системы уравнений) так, что геометрические отношения фигур выражаются в свойствах их уравнений.
В предлагаемых методических указаниях приводятся задания к типовому расчету по курсу “Аналитическая геометрия”, которые содержат теоретические и практические упражнения, контрольные вопросы. В разделе 2 приведены образцы выполнения наиболее сложных заданий, рекомендуемая структура отчета по типовому расчету и замечания по его оформлению.
Предусмотрены три уровня сложности заданий типового расчета. Номера заданий определяются по номеру варианта n (1≤ n ≤100).
Студенты, выбравшие задания первого уровня, выполняют теоретические упражнения с номером (n-1)(mod 18)+1 и практические упражнения 1; 2 (а-д); 3; 4 (а-е, и-л); 5; 6; 9.
Студенты, выбравшие задания первого уровня, выполняют теоретические упражнения с номерами (n-1) (mod 18)+1, (n+5) (mod 18)+1 и практические упражнения 1-3; 4 (кроме м); 5; 6; 7; 9.
Студенты, выбравшие задания третьего уровня, выполняют теоретические упражнения с номерами (n-1)(mod 18)+1, (n+5)(mod 18)+1, (n+12)(mod 18)+1 и все практические упражнения.
При выполнении задания рекомендуется использовать следующую литературу:
Теоретические упражнения №1. [1; §7], [3; гл. 1; §3; п.3], [7; гл.1; §1.1]. №2. [1; §7], [3; гл. 1; §3; п.3].
№3. [3; гл. 5, §1; §2; п.5; Доп. к гл.1; п.8]. №4. [3; гл. 2, §3; пп.3,6; Доп. к гл.1; п.8]. №5. [3; гл. 5, §3; п.4; Доп. к гл.1; п.4].
5
№6. [3; гл. 5, §5; п.10]. №7. [3; гл. 5, §5].
№8. [3; гл. 5, §5; п.8].
№9. [3; гл. 5, §4; п.5; 5; п.9]. №10. [3; гл. 5, §4; п.5]. №11. [3; гл. 5, §4; п.1].
№12. [3; гл. 2, §3; пп.3,6; Доп. к гл.1, п.4]. №13. [3; гл. 2, §3; п.3].
№14. [3; гл. 2, §3; п.4].
№15. [3; гл. 4, §1], [5; гл. 2, §3; п.1; §4; п.1 ]. №16. [1; §24], [7; гл. 1, §1.7].
№17. [1; §24], [7; гл. 1, §1.7]. №18. [1; §25], [3; гл. 6, §3].
Практические упражнения:
№1. [1; §7], [3; гл.1; § 0; п.3], [2; гл.1; §1], [7; гл.1; §1.1]. №2. [1; §7-8], [3; гл.5; § 1-2], [2; гл.1; §1-2], [7; гл.1; §1.3].
№3. [1; §7-8], [3; гл.5; § 1-2], [2; гл.1; §1-2], [7; гл.1; §1.1-1.3]. №4. [1; §9-10], [3; гл.5; § 3-5], [2; гл.3; §1], [7; гл.4; §4.1-4.3]. №5. [1; §9-10], [3; гл.5; § 3-5], [2; гл.3; §1], [7; гл.4; §4.1-4.3]. №6. [1; §24], [3; гл.6; § 1-3], [2; гл.1; §3], [7; гл.1; §1.4].
№7. [1; §24], [3; гл.6; § 1-3], [2; гл.1; §3-4], [7; гл.1; §1.2, 1.4]. №8. [1; §24], [3; гл.6; § 3; п.5], [2; гл.1; §1, 3-4], [7; гл.1; §1.4-1.6].
№9. [1; §25], [3; гл.7; § 1-3], [2; гл.3; §2], [7; гл.4; §4.4-4.5].
Контрольные вопросы:
[1; §5, 7-10, 24-25], [3; гл.1-7], [9; гл.1-00].
6
1. Индивидуальные задания 1.1. Теоретические упражнения
1. Доказать, что координаты точки A(x; y; z), делящей отрезок A1A2 в отношении λ1:λ2, выражаются формулами:
x = |
λ2 x1 + λ1x2 |
; y = |
λ2 y1 + λ1y2 |
;z = |
λ2z1 + λ1z2 |
, |
|
λ1 + λ2 |
λ1 + λ2 |
λ1 + λ2 |
|||
где A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2); λ1>0; λ2>0.
2. Центром тяжести двух масс m1, m2, расположенных в точках A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2), называется точка А, делящая отрезок A1A2 в отношении m1:m2.
Найти координаты центра тяжести масс m1, m2. Найти координаты центра тяжести n масс mi, расположенных в точках A1(x1;y1;z1), 1=1,2,…,n.
3. Доказать, что три попарно непараллельные прямые
а1х + b1y + c1 = 0; a3x + b3y + c3 = 0; a2x + b2y + c2 = 0,
имеют общую точку тогда и только тогда, когда
a1 |
b1 |
c1 |
= 0. |
a 2 |
b2 |
c2 |
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
4. Доказать, что три точки А1(x1;y1), A2(x2;y2), A3(x3;y3) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
x1 |
y1 |
1 |
= 0. |
x 2 |
y2 |
1 |
|
x3 |
y3 |
1 |
|
5. Доказать, что плоскость, проходящая через три данные точки А1(x1;y1;z1), 1=1,2,3, задается уравнением
7
x |
y |
z |
1 |
|
|||
|
|||||||
x1 |
y1 |
z1 |
1 |
= 0. |
|||
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
x3 |
y3 |
z3 |
1 |
|
|||
6. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки А1(x1;y1;z1) и А2(x2;y2;z2) перпендикулярно плоскости Ax + By + Cz + D = 0, можно записать в виде
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
|
|
|
||||
x 2 − x1 |
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
= 0. |
A |
B |
C |
|
|
7.Доказать, что плоскость, проходящая через точку А0(x0;y0;z0)
иперпендикулярная плоскостям
A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0, задается уравнением
x − x0 |
y − y0 |
z − z0 |
|
= 0. |
|
||||
A1 |
B1 |
C1 |
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
8. Доказать, что плоскость, проходящая через прямую
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
|
l |
m |
n |
|||
|
|
и точку А0(x0;y0;z0), не лежащую на этой прямой, задается уравнением
x − x0 |
y − y0 |
z − z0 |
|
|
|
||||
x1 − x0 |
y1 − y0 |
z1 − z0 |
|
= 0. |
l |
m |
n |
|
|
9. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые
|
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
|
= |
z − z1 |
; |
x − x2 |
= |
y − y2 |
= |
z − z2 |
, |
|||||
|
|
l |
|
m |
1 |
|
|
n |
1 |
|
l |
2 |
|
m |
2 |
|
n |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
l1 |
m1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
l2 |
m2 |
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. Доказать, что необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
; |
x − x2 |
= |
y − y2 |
= |
z − z2 |
|||||
l |
|
m |
1 |
|
n |
1 |
|
l |
2 |
|
m |
2 |
|
n |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
одной плоскости является выполнение равенства
x2 − x1 |
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
= 0. |
|
||||
l1 |
m1 |
n1 |
|
|
l2 |
m2 |
n 2 |
|
|
11. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через точку
А0(x0;y0;z0) параллельно плоскостям A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 можно записать в виде
|
x − x0 |
= |
|
|
y − y0 |
|
= |
z − z0 |
|
|
. |
||||||||
|
B1 |
C1 |
|
|
− |
|
A1 |
C1 |
|
A1 |
B1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
B |
2 |
C |
2 |
|
|
|
A |
2 |
C |
2 |
|
A |
2 |
B |
2 |
|
|
|
12. Дан треугольник АВС, где А(x1;y1), В(x2;y2), С(x3;y3). Доказать, что площадь треугольника определяется формулой
S = |
1 |
|
(x 2 − x1 )(y3 − y1 ) − (x3 − x1 )(y2 − y1 ) |
|
. |
|
|
|
|||||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
13. Доказать, что расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и имеющей направляющей вектор q , определяется формулой
d =q ×AB ÷q .
14. Даны две скрещивающиеся прямые, проходящие соответственно через точки А и В. Их направляющие векторы q1 , q2 известны. Доказать, что расстояние между прямыми определяется формулой
d= q1 q 2 AB ÷[q1 ×q 2 ] .
15.Доказать, что линия, задаваемая уравнением вида x2+y2+2ax+2by+c=0,
где a2+b2-d >0, есть окружность. Найти координаты ее центра и радиус. Аналогично доказать, что поверхность, задаваемая уравнением вида
x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0,
где a2+b2+с2-d >0, есть сфера. Найти координаты ее центра и радиус.
9
16. Доказать, что эллипс |
x |
2 |
+ |
y |
2 |
= 1 |
допускает параметрическое |
|
|
||||||
a |
2 |
b |
2 |
||||
задание |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ì x = |
acost, |
|
|
í |
y = |
bsint. |
(0 ≤ t ≤ 2π) |
î |
|
||
17. Доказать, что гипербола
ское задание |
|
|
ì x = |
acht, |
(правая ветвь) |
í |
bsht. |
|
î y = |
|
|
ì x = |
− acht, |
(левая ветвь) |
í |
bsht. |
|
î y = |
|
|
x2 − y2 =1 допускает параметриче-
a2 b2
(−∞ < t < +∞)
18. На плоскости задана прямая D и точка F, не лежащая на прямой D. Множество Ф точек М плоскости обладает тем свойством, что отношение е расстояния r от точки М до точки F к расстоянию d от точки М до прямой D постоянно и отлично от нуля. Доказать, что:
1)если е < 1, то фигура Ф-эллипс;
2)если е = 1, то фигура Ф-парабола;
3)если е > 1, то фигура Ф-гипербола.
Какой геометрический смысл имеют для этих кривых: точка F; прямая D; расстояния r,d; число е?
1.2. Практические задания
Индивидуальные условия заданий приведены в таблицах раздела 1 и определяются по номеру варианта n, а также с помощью параметров:
α1 = −1− n(mod 7) ; α2 = n(mod5) ; α3 = 3 − n(mod3) , где
р(mod q) – остаток от деления p на q.
10
1.2.1. Задание 1
На плоскости даны точки A(α1;α2 − 2) и B(α2 − 2;α2 + 4) Найти:
а) точку С(x1;y1) – середину отрезка АВ;
б) точку D(x2;y2), которая делит отрезок АВ в отношении p:q. Параметры p,q приведены в табл.1.1.
|
|
Параметры p,q к заданию 1 |
|
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
|
||
n(mod 10) |
p |
q |
n(mod 10) |
p |
q |
1 |
1 |
3 |
6 |
3 |
2 |
2 |
3 |
1 |
7 |
3 |
7 |
3 |
1 |
4 |
8 |
7 |
3 |
4 |
4 |
1 |
9 |
1 |
9 |
5 |
2 |
3 |
0 |
9 |
1 |
1.2.2. Задание 2
На плоскости даны точки А(x1;y1), В(x2;y2) и С(x3;y3). Сделайте чертеж треугольника АВС и найдите:
а) длину и уравнение стороны ВС (записать общее уравнение, каноническое, параметрическое и с угловым коэффициентом);
б) косинус угла А и угол А (в градусах); в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно
стороне ВС; г) высоту, проведенную к стороне ВС, и ее уравнение;
д) уравнение медианы, проведенной к стороне ВС; е) уравнение биссектрисы угла А;
ж) координаты центра и радиус вписанной окружности; з) координаты центра и радиус описанной окружности; и) площадь треугольника; к) координаты центра (тяжести) треугольника.
|
|
Координаты точек А, В, С к заданию 2 |
Таблица 1.2 |
|||
|
|
|
||||
n |
x1 |
y1 |
x2 |
y2 |
x3 |
y3 |