1.9. Эквипотенциальные поверхности

При перемещении заряда в электрическом поле в направлении, перпендикулярном силовой линии вектора E,

, (1.44)

где  – угол между направлением перемещения и направлением вектора E.

Это означает, что

,

 = const. (1.45)

Объединяя в электрическом поле точки с одинаковыми потенциалами, получим некоторые поверхности равного потенциала – эквипотенциальные поверхности.

Через одну точку поля можно провести только одну эквипотенциальную поверхность, которая будет перпендикулярна силовой линии вектора E.

По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности, потенциале (разности потенциалов) электрического поля.

Обычно эквипотенциальные поверхности проводят так, чтобы потенциалы двух соседних поверхностей отличались на одну и ту же величину. Тогда напряженность электрического поля в какой-либо области будет обратно пропорциональна расстоянию междуэквипотенциальными поверхностями . На рисунке 1.12, например, приведено распределение линий вектораE и эквипотенциальных поверхностей электрического поля положительного точечного заряда (рис. 1.12а), электрического поля двух точечных зарядов (рис. 1.12б), электрического поля двух разноименно равномерно заряженных плоскостей (рис. 1.12в).

Так как A = q(₁ - ₂), то при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности работа не совершается (А = 0). Работа совершается лишь тогда, когда перемещение заряда происходит с одной эквипотенциальной поверхности на другую. В этом случае ₁  ₂, а работа

A = q(₁ - ₂) ≠ 0.

1.10. Основные уравнения электростатики в вакууме

Уравнения электростатики устанавливают связь между основными характеристиками электростатического поля, характеризуют состояние такой системы, а следовательно, отображают законы электростатики. Основными законами и уравнениями электростатики являются:

1) закон сохранения заряда в интегральной форме

, (1.46)

где  – объемная плотность заряда;

j – вектор плотности тока;

2) закон сохранения заряда в дифференциальной форме

; (1.47)

3) дифференциальная форма записи закона Кулона

; (1.48)

4) теорема Остроградского – Гаусса для непрерывного распределения зарядов

; (1.49)

5) дифференциальное уравнение потенциальности электростатического поля

rotE = 0; (1.50)

6) уравнение Пуассона

 = /₀, (1.51)

где - оператор Лапласа;

7) уравнение Лапласа

 = 0; (1.52)

8) формула Стокса

. (1.53)

1.11. Некоторые примеры электрических полей, порождаемых простейшими системами электрических зарядов

1.11.1. Электрическое поле, порождаемое бесконечно длинным, равномерно заряженным стержнем

Характеристикой линейного распределения заряда является линейная плотность заряда. Физическая величина, численно равная заряду, находящемуся на единице длины, . При равномерном распределении заряда.

Для определения напряженности электрического поля, порождаемого бесконечно длинным, равномерно заряженным стержнем, радиус которого R, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.

Для чего вокруг стержня проведем замкнутую (в рассматриваемом случае цилиндрическую) поверхность конечной длины, на боковой поверхности которой находится точка "А". Линии вектора E перпендикулярны оси стержня и боковой поверхности цилиндра (рис. 1.13).

Поток вектора напряженности электрического поля через построенную замкнутую цилиндрическую поверхность

, (1.54)

где Ф_o = 0, т.к. E_n = Ecos = 0.

Следовательно

. (1.55)

На основании теоремы Остроградского-Гаусса

,

тогда

= ,

а

. (1.56)

Формула (1.56) справедлива не только для электрического поля заряженного стержня, но и для полей заряженных проводников, цилиндров, 2-х коаксиальных цилиндрических поверхностей, заряженных с одинаковой по величине линейной плотностью заряда .

Для того чтобы определить разность потенциалов между двумя любыми точками такого поля, необходимо воспользоваться соотношением , откуда

.

Следовательно

,

а

, (1.57)

где r₁ и r₂ – соответственно расстояние от оси стержня (цилиндра) до рассматриваемых точек электрического поля.