10) Среднее ускорение при неравномерном движении:

; (1.11)

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси - движение, при котором какие-либо две его точки остаются неподвижными в процессе движения. Прямая, проходящая через эти точки, - ось вращения; все остальные точки твердого тела описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, центры которых лежат на этой оси.

Основные кинематические характеристики вращательного движения:

1) угол поворота  – угол, отсчитанный между двумя последовательными положениями радиуса R.

2) угловая скорость  - векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота  в единицу времени, численно равная первой производной от угла поворота по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта:

(1.12)

3) угловое ускорение  - векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени, численно равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости в случае ускоренного вращения и противоположно - в случае замедленного:

(1.13)

Период вращения (T) - время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Частота вращения (n) - число оборотов, совершаемых в единицу времени.

Круговая (циклическая) частота ω - число оборотов, совершаемых за время, равное 2π.

Связь между периодом, частотой и круговой частотой:

ω = 2πn = 2π/T; n = 1/T. (1.14)

Связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями:

v = [ωr]; (1.15)

(1.16)

Колебательные движения (колебания) - движения или процессы, обладающие повторяемостью во времени.

Гармонические колебания (простейший вид колебаний) - движения, при которых смещение материальной точки (тела) от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:

x = x₀sin(₀t + ₀), (1.17)

где x - смещение - удаление материальной точки от положения равновесия в данный момент времени t;

x₀ - амплитуда колебаний - наибольшее (максимальное) удаление материальной точки от положения равновесия;

(t + ₀) - фаза колебаний - периодически изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Определяет положение материальной точки в данный момент времени t;

₀- начальная фаза колебаний - определяет положение материальной точки в начальный момент времени t = 0;

 = 2/T = 2n - круговая (циклическая) частота колебаний;

T - период колебаний;

n - частота колебаний.

Скорость при гармоническом колебательном движении (колебательная скорость) - физическая величина, которая показывает, как изменяется смещение в единицу времени, численно равная первой производной от смещения по времени:

. (1.18)

Ускорение при гармоническом колебании - физическая величина, которая показывает, как изменяется скорость в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй производной от смещения по времени:

. (1.19)

Знак "минус" означает - ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковыми амплитудами и частотами (x₀₁ = x₀₂; ₁ = ₂ = ), но разными начальными фазами (₀₂  ₀₁), проводят аналитически. Уравнение результирующего колебания имеет вид

(1.20)

где - амплитуда результирующего колебания;

- фаза результирующего колебания.

Биения – возникают при сложение колебаний одного направления, с одинаковыми амплитудами (x₀₂ = x₀₁), начальными фазами ₀₁ = ₀₂ = 0 и круговыми частотами, мало отличающимися друг от друга (₁  ₂). Уравнения таких колебаний имеют вид

x₁ = x₀₁sin₁t; x₂ = x₀₁sin₂t. (1.21)

Уравнение результирующего колебания:

x = x₁ + x₂ = 2x₀₁, (1.22)

где - амплитуда результирующего колебания, которая зависит от = ₁ - ₂ – разности частот складываемых колебаний;

- смещение результирующего колебания, изменяющееся по гармоническому закону;

Частота и период результирующего колебания:

(1.23)

Частота и период изменения амплитуды в этом случае:

(1.24)

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний приводит к тому, что траектория движения представляет собой замкнутые фигуры, называемые фигурами Лиссажу:

1) сложение колебаний с одинаковыми частотами (₁ = ₂ = ), различными амплитудами (x₀  y₀) с начальными фазами ₁ = ₂ = 0 - результирующее колебание - гармоническое. Траектория движения - прямая линия, уравнение которой имеет вид

y = (y₀/x₀)x; (1.25)

2) сложение колебаний, начальные фазы ₁ и ₂ которых отличаются на /2 (₁ - ₂ = /2) - результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – эллипс (при равных амплитудах x₀ = y₀ - траектория результирующего движения – окружность) с полуосями, равными, x₀ и y₀, уравнение которого:

(y/y₀)² + (x/x₀)² = 1; (1.26)

3) сложение колебаний, периоды которых относятся как целые числа - через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка возвращается в начальное положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.

1.2. Элементы классической динамики материальной точки и твердого тела

Динамика изучает движение и взаимодействия тел совместно с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения и взаимодействия.

Основная задача динамики - для данного тела по известной силе найти его ускорение и, наоборот, по известному ускорению найти результирующую силу, действующую на тело.

Масса m - физическая величина, характеризующая количество вещества, инертность, гравитационные свойства и энергию материального тела. Массу тела, определяющую его инертные свойства, называют инертной массой.

Импульс p (количество движения) - физическая величина, описывающая свойства движущихся тел, равная произведению массы на скорость:

p = mv. (1.27)

Полный импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс:

p = mv_c. (1.28)

Центр масс (или центр инерции) системы - воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы и определяется радиус-вектором:

, (1.29)

где m_i и r_i - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки;

n - число материальных точек в системе.

Скорость центра масс

, (1.30)

где - полный импульс системы.

Для движений со скоростью v<<c - масса и импульс не зависят от скорости:

m = m₀; p = m₀v, (1.31)

где m₀ – масса покоя.

Покой - частный случай равномерного прямолинейного движения со скоростью v = 0.

Инерция - свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Инерциальные системы отсчета – системы отсчета, в которых выполняются первый и второй законы Ньютона (их уравнения и все следствия).

Неинерциальная система отсчета – система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением.

Первый закон Ньютона: "Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока равнодействующая всех приложенных сил равна нулю".

Принцип относительности Галилея (в классической механике) - никакие опыты, проводимые в инерциальных системах отсчета с механическими приборами, не позволяют установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе отсчета. Предполагается, что время не зависит от относительного движения систем отсчета.

Преобразования Галилея определяют положение произвольной материальной точки в двух инерциальных системах отсчета, одна из которых движется со скоростью v_o относительно другой (при условии, если направление скорости v₀ совпадает с направлением r_o):

r = r^' + r₀ = r' + v_ot; t = t^'. (1.32)

где r и r^' - радиус-векторы, определяющие положение материальной точки в неподвижной и подвижной системе отсчета в данный момент времени;

r_o - радиус вектор, определяющий положение начала координат системы К^' (подвижной) в системе К (неподвижной).

В проекциях на оси координат в произвольный момент времени t положение выбранной точки в системе К можно определить так:

x = x^' + v_0xt, x^' = x - v_0xt,

у = у^' + v_0уt, у^' = у - v_0уt,

z = z^' + v_0zt, z^' = z - v_0zt,

t = t^'. t = t^'. (1.33)

Ковариантные или инвариантные уравнения - уравнения, обе части которых при переходе от одной системы координат к другой преобразуются одинаково и сохраняют свой вид во всех инерциальных системах отсчета.

Закон сложения скоростей в классической механике:

v = v^' + v₀. (1.34)

Ускорение материальной точки в инерциальных системах отсчета К и К^' одинаково:

; a = a^'. (1.35)

Относительное расстояние между выбранными точками пространства в системах отсчета определяется соотношением - они абсолютны, т.е. инвариантны:

1) в подвижной –

, (1.36)

2) в неподвижной –

. (1.37)

Инварианты преобразований - инвариантные величины (расстояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения).

Сила F – векторная физическая величина, характеризующая воздействие одних тел на другие. В результате действия силы изменяется состояние движения тела (тело приобретает ускорение а) или тело деформируется.

Сложение нескольких сил производится геометрически:

. (1.38)

Закон независимости действия сил: - при действии на тело нескольких сил, каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила, если бы действовала одна.

Второй закон Ньютона - изменение импульса пропорционально приложенной силе и направлено вдоль прямой, по которой действует данная сила:

, (1.39)

При t0

. (1.40)

При v<<c - ускорение, с которым движется тело прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе тела:

. (1.41)

Основной закон классической динамики - инвариантен при переходе от одной инерциальной системы к другой, при этом

ma = F; ma^' = F^'; F = F^'. (1.42)

Третий закон классической динамики - силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению. Силы действия и противодействия приложены к разным телам и никогда не уравновешивают друг друга:

F₁₂ = - F₂₁. (1.43)

Импульс силы - мера действия силы за некоторый промежуток времени:

. (1.44)

Силы инерции: