II. Физические основы механики

(Энергия, работа, мощность. Законы сохранения в механике. Поле тяготения. Движение в поле центральных сил. Элементы специальной теории относительности.)

2.1. Задачи для самостоятельного решения

2.1.1. Задачи II-го уровня сложности

2.1.01. Шар массой 5 кг движется со скоростью 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 3 кг. Вычислить работу, совершенную при деформации шаров при прямом центральном ударе. Шары считать неупругими (рис. 2.1).

Ответ: а) А=7,75 Дж; б) А=6,75 Дж; в) А=5,75 Дж; г) А=4,75 Дж; д) А=3,75 Дж.

2.1.02. Найти работу подъема груза по наклонной плоскости, если масса груза 100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол наклона 30^о, коэффициент трения 0,1 и груз движется с ускорением 1 м/с² (рис. 2.2).

Ответ: а) А=4,3 кДж; б) А=3,3 кДж; в) А=2,3 кДж; г) А=1,3 кДж; д) А=0,3 кДж.

2.1.03. Вычислить работу, совершаемую на пути 12 м, равномерно возрастающей силой, если в начале пути сила равна 10 Н, в конце – 46Н.

Ответ: а) А=356 Дж; б) А=346 Дж; в) А=336 Дж; г) А=326 Дж;

д) А=316 Дж.

2.04. Вагон массой 2010³ кг, движущийся равнозамедленно под действием силы трения в 610³ Н, через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона 15 м/с. Найти работу сил трения и расстояние, которое пройдет он до остановки.

Ответ: а) S=385 м; б) S=375 м; в) S=365 м; г) S=355 м; д) S=345 м.

2.1.05. Автомобиль массой 2000 кг движется в гору. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,08. Найти работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути в 3 км.

Ответ: а) А=7,110⁶ Дж; б) А=8,110⁶ Дж; в) А=9,110⁶ Дж;

г) А=10,110⁶ Дж; д) А=11,110⁶ Дж.

2.1.06. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа 621 Дж. Длина стержня 2м, площадь поперечного сечения 1 мм², модуль Юнга для алюминия Е=69 ГПа.

Ответ: а) =9,510²; б) =8,510²; в) =7,510²; г) =6,510²; д) =5,510².

2.1.07. Камень массой 200 г брошен с горизонтальной поверхности под углом к горизонту и упал на нее обратно на расстоянии S=5 м через t=1,2 с. Найти работу бросания. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: а) А=6,2 Дж; б) А=5,2 Дж; в) А=4,2 Дж; г) А=3,2 Дж; д) А=2,2 Дж.

2.1.08. Молот массой 1,5 т ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне, и деформирует болванку. Масса наковальни вместе с болванкой равна 20 т. Определить коэффициент полезного действия при ударе молота, считая удар неупругим. Считать работу, произведенную при деформации болванки, полезной, а работу сотрясения фундамента – бесполезной.

Ответ: а) =0,73; б) =0,93; в) =0,63; г) =0,83; д) =0,53.

2.1.09. На вращающейся платформе стоит человек и держит на вытянутых руках на расстоянии₁=150 см друг от друга две гири (рис. 2.3). Столик вращается с частотой ₁=1 с^-1. Человек сближает гири до расстояния ₂=80 см, и частота вращения увеличивается до ₂=1,5 с^-1. Определить работу, произведенную человеком, если каждая гиря имеет массу m=2 кг. Момент инерции человека относительно оси платформы считать постоянным.

Ответ: а) А=42 Дж; б) А=45 Дж; в) А=48 Дж; г) А=51 Дж; д) А=54 Дж.

2.1.10. Шарик, диаметр которого d=6 см, катится по полу и останавливается через t=2 с, пройдя расстояние S=70 см. Определить коэффициент трения качения, считая его постоянным?

Ответ: а) k=1,310^-3; б) k=1,410^-3; в) k=1,510^-3; г) k=1,610^-3; д) k=1,710^-3.

2.1.11. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x=5sin2t. В момент, когда на точку действовала возвращающая сила 510^-3 Н, точка обладает потенциальной энергией 0,110^-3 Дж. Найти этот момент времени.

Ответ: а) t=0,06 с; б) t=0,09 с; в) t=0,12 с; г) t=0,15 с; д) t=0,18 с.

2.1.12. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x=5sin2t. В момент, когда на точку действовала возвращающая сила 510^-3 Н, точка обладает потенциальной энергией 0,110^-3 Дж. Найти фазу колебаний.

Ответ: а) =0,63 рад; б) =0,73 рад; в) =0,83 рад; г) =0,93 рад;

д) =1,03 рад.

2.1.13. Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом 78 кг, причем суммарная масса колес велосипеда 3 кг. Колеса считать обручами.

Ответ: а) W_k=213 Дж; б) W_k=223 Дж; в) W_k=233 Дж; г) W_k=243 Дж;

д) W_k=253 Дж.

2.1.14. Математический маятник длиной 24,7 см совершает затухающие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента колебаний равного 0,01.

Ответ: а) t=121 c; б) t=119 c; в) t=117 c; г) t=115 c; д) t=113 c.

2.1.15. На барабан радиусом R=20 см, момент инерции которого I=0,1 кгм² намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m=0,5 кг (рис. 2.4). До начала вращения барабана высота груза над полом равна h=1 м. Найти кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Трением пренебречь.

Ответ: а)W_k=0,82 Дж; б) W_k=0,72 Дж; в) W_k=0,62 Дж; г) W_k=0,52 Дж; д) W_k=0,42 Дж.

2.1.16. При ударе шарика о идеально гладкую горизонтальную плоскость (рис. 2.5) теряется третья часть его кинетической энергии. Зная, что угол падения=45⁰, найти угол отражения .

Ответ: а) =65⁰; б) =60⁰; в) =55⁰; г) =50⁰;

д) =45⁰.

2.1.17. Шарик, висящий на нити, отклонили от вертикали на угол α=60⁰ и отпустили без начальной скорости. В момент, когда шарик достиг вертикального положения, он ударился о вертикальную стенку и потерял половину своей кинетической энергии (рис. 2.6). На какой угол он отклонится после удара?

Ответ: а) =37⁰; б) =39⁰; в) =41⁰; г) =43⁰; д) =45⁰.

2.1.18. Вертикально висящая недеформированная пружина имеет жесткость k=10³ Н/м (рис. 2.7). К нижнему концу пружины подвесили груз весом 30 Н и отпустили без начальной скорости. На сколько опустится груз? Массу и вес пружины считать равным нулю.

Ответ: а) x=0,01 м; б) x=0,02 м; в) x=0,04 м;

г) x=0,06 м; д) x=0,08 м.

2.1.19. На гладкой горизонтальной плоскости лежали два шара, между которыми находилась сжатая пружина. Затем пружине дали возможность распрямиться, вследствие чего шары приобрели некоторые скорости (рис. 2.8). Определить их, зная, что массы шаров равныm₁=1 кг и m₂=2 кг, а энергия сжатой пружины равна 3 Дж. Массу пружины считать равной нулю.

Ответ: а) v₁=3,5 м/с; v₂=2,5 м/с; б) v₁=3 м/с; v₂=2 м/с;

в) v₁=1,5 м/с; v₂=2,5 м/с; г) v₁=2,5 м/с; v₂=1,5 м/с; д) v₁=2,0 м/с; v₂=1,0 м/с.

2.1.20. Два свинцовых шара поступательно движутся навстречу друг другу по прямой, соединяющей их центры (рис. 2.9). При столкновении шаров происходит неупругий удар, после которого шары движутся вместе. Найти количество тепла, выделившегося при ударе. Первый шар имел массуm₁=1 кг и скорость v₁=20 м/с, а второй – массу m₂=2 кг и скорость v₂=4 м/с.

Ответ: а) Q=186 Дж; б) Q=188 Дж; в) Q=190 Дж; г) Q=192 Дж;

д) Q=194 Дж.

2.1.21. Трамвай движется с ускорением 49 см/с². Найти коэффициент трения, если известно, что 50% мощности мотор идет на преодоление сил трения и 50%-на увеличение скорости движения.

Ответ: а) =0,08; б) =0,07; в) =0,06; г) =0,05; д) =0,04.

2.1.22. Автомобиль массой 210³ кг движется в гору. Уклон горы равен 4м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения равен 8%. Найти мощность, развиваемую двигателем автомобиля, если известно, что этот путь был пройден за 4 мин.

Ответ: а) N=50 кВт; б) N=45 кВт; в) N=40 кВт; г) N=35 кВт; д) N=30 кВт.

2.1.23. Насос выбрасывает струю воды диаметром 2 см со скоростью 20 м/с. Найти мощность, необходимую для выбрасывания воды.

Ответ: а) N=1,3 кВт; б) N=1,5 кВт; в) N=1,7 кВт; г) N=1,9 кВт; д) N=2,1 кВт.

2.1.24. Маховик, имеющий вид диска массой 80 кг и радиусом 60 см, вращается согласно уравнению: =2t+0,5t². Найти среднюю мощность, затраченную на вращение маховика за 2с от начала вращения.

Ответ: а) <N>=53,2 Вт; б) <N>=43,2 Вт; в) <N>=33,2 Вт; г) <N>=23,2 Вт;

д) <N>=13,2 Вт.

2.1.25. При забивании сваи в землю молотом весом 1000 Н, который движется со скоростью 10 м/с. Земля оказывает сопротивление проникновению, равное 50 кН. Какова средняя мощность при одном ударе? Потерей энергии на нагревание пренебречь.

Ответ: а) N=265 кВт; б) N=255 кВт; в) N=245 кВт; г) N=235 кВт;

д) N=225 кВт.

2.1.26. Определить наибольшую мощность, которую можно передать с помощью стального вала диаметром 100 мм при частоте вращения 60 об/мин, если допустимый угол закручивания при длине вала 1 м составляет 2^о. Модуль сдвига стали 8,110¹⁰ Па.

Ответ: а) N=2,010⁶ Вт; б) N=2,510⁶ Вт; в) N=3,010⁶ Вт; г) N=3,510⁶ Вт;

д) N=4,010⁶ Вт.

2.1.27. Определить допустимый угол закручивания стального вала, с помощью которого передается мощность 5 кВт при частоте вращения 100 об/мин. Необходимая длина вала 500 мм, а модуль сдвига 8,110¹⁰ Па. Диаметр вала равен 5 см.

Ответ: а) =0,3610^-2 рад; б) =0,3910^-2 рад; в) =0,4210^-2 рад;

г) =0,4510^-2 рад; д) =0,4810^-2 рад.

2.1.28. При забивании сваи в землю молотом весом 1000 Н, земля оказывает сопротивление проникновению, равное 50 кН. Средняя мощность, развиваемая молотом при одном ударе 250 кВт. Свая при каждом ударе углубляется на 0,1 м. Определить скорость молота в момент удара. Потерей энергии на нагревание пренебречь.

Ответ: а) v=5,8 м/с; б) v=6,8 м/с; в) v=7,8 м/с; г) v=8,8 м/с; д) v=9,8 м/с.

2.1.29. Тепловоз тянет поезд, масса которого равна 2·10³ т. Принимая, что мощность тепловоза постоянна и равна 1800 кВт и что коэффициент силы тяги равен 0,005, определить ускорение поезда, когда скорость его равна 4 м/с.

Ответ: а) а=0,18 м/с²; б) а=0,16 м/с²; в) а=0,14 м/с²; г) а=0,12 м/с²; д) а=0,10 м/с².

2.1.30. Уклон участка шоссе равен 0,05. Спускаясь под уклон при выключенном двигателе, автомобиль движется равномерно со скоростью 60 км/ч. Какова должна быть мощность двигателя автомобиля, чтобы он мог подниматься на такой же подъем с той же скоростью? Масса автомобиля 1,5 т.

Ответ: а) N=20,5 кВт; б) N=24,5 кВт; в) N=28,5 кВт; г) N=32,5 кВт; д) N=36,5 кВт.

2.1.31. На горизонтальном деревянном столе лежит деревянный брусок массой 5,0 кг. В брусок попадает пуля массой 9,0 г, после чего он проходит по столу расстояние ℓ=25 см и останавливается (рис. 2.10). Найти скорость пули. Коэффициент трения =0,3.

Ответ: а)v=655 м/с; б) v=665 м/с; в) v=675 м/с;

г) v=685 м/с; д) v=695 м/с.

2.1.32. Стартовая масса ракеты М₀=160 т, скорость истечения газов 4 км/с. После того как выгорела 90 т топлива, отбрасывается первая ступень массой 30 т. Затем выгорает еще 28 т топлива. Какова конечная скорость второй ступени ракеты?

Ответ: а) v₂=7,2 км/с; б) v₂=7,5 км/с; в) v₂=7,8 км/с; г) v₂=8,1 км/с;

д) v₂=8,4 км/с.

2.1.33. Баллистический маятник представляет собой шар массой 3,0 кг, висящий на нити длиной 2,5 м (рис. 2.11). В шар попадает пуля массой 9,0 г и застревает в нем, вследствие чего система отклоняется на угол 18⁰. Найти скорость пули.

Ответ: а) v=560 м/с; б) v=550 м/с; в) v=540 м/с; г) v=530 м/с; д) v=520 м/с.

2.1.34. Свинцовая пуля пробивает доску, при этом ее скорость падает с 400 м/с до 200 м/с. какая часть пули расплавится? Нагреванием доски пренебречь. Начальная температура 30⁰.

Ответ: а) m/m=0,59; б) m/m=0,69; в) m/m=0,79; г) m/m=0,89;

д) m/m=0,99.

2.1.35. Тело массой 5 кг поднимают вертикально вверх на высоту 10 м, с помощью силы 120 Н. Воспользовавшись законом сохранения энергии, найти конечную скорость тела. Начальная скорость тела равна нулю.

Ответ: а) v=13 м/с; б) v=15 м/с; в) v=17 м/с; г) v=19 м/с; д) v=21 м/с.

2.1.36. Неподвижное тело массой m опускается плавно на массивную плиту (M>>m), движущуюся со скоростью v₀=4 м/с. Сколько времени тело будет скользить по плите? Коэффициент трения =0,2. Задачу решить, воспользовавшись законом сохранения энергии.

Ответ: а) t=1 c; б) t=2 c; в) t=3 c; г) t=4 c; д) t=5 c.

2.1.37. Неподвижное тело массой m опускается плавно на массивную плиту (M>>m), движущуюся со скоростью v₀=4 м/с. Какое расстояние оно пройдет за время движения по плите? Коэффициент трения =0,2. Задачу решить, воспользовавшись законом сохранения энергии.

Ответ: а)S= 5 м; б) S= 4 м; в) S= 3 м; г) S= 2 м; д) S= 1 м.

2.1.38. На общем валу сидят маховик с моментом инерции 0,86 кгм² и цилиндр с радиусом 5 см, массой которого можно пренебречь. На цилиндр намотана нить, к которой подвешена гиря массой 6 кг. За какое время гиря опустится на h=1 м? Начальную скорость считать равной нулю (рис. 2.12).

Ответ: а) t=5,5 с; б) t=4,5 с; в) t=3,5 с; г) t=2,5 с; д) t=1,5 с.

2.1.39. На общем валу сидят маховик с моментом инерции 0,86 кгм² и цилиндр с радиусом 5 см, массой которого можно пренебречь. На цилиндр намотана нить, к которой подвешена гиря массой 6 кг. Какова будет ее конечная скорость? Начальную скорость считать равной нулю (рис. 2.12).

Ответ: а) v=0,28 м/с; б) v=0,38 м/с; в) v=0,48 м/с; г) v=0,58 м/с; д) v=0,68 м/с.

2.1.40. Два груза массамиm₁=2 кг и m₂=3 кг подвешены на нитях длиною =2 м (рис. 2.13), так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол =60⁰ и выпущен. На какую высоту h поднимутся оба груза после удара? Удар грузов считать неупругим.

Ответ: а) h=0,38 м; б) h=0,48 м; в) h=0,58 м; г) h=0,68 м; д) h=0,78 м.

2.1.41. Тело массой 2 кг, движущееся со скоростью 3 м/с, нагоняет второе тело массой 3 кг, движущееся со скоростью 1 м/с. Каково должно быть соотношение между массами тел, чтобы при упругом ударе второе тело после взаимодействия остановилось (рис. 2.14)?

Ответ: а) m₁/m₂=5; б) m₁/m₂=4,5; в) m₁/m₂=4; г) m₁/m₂=3,5; д) m₁/m₂=3.

2.1.42. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем (рис. 2.15). Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно ℓ=1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился после удара пули на угол α=10^о.

Ответ: а) v=576 м/с; б) v=566 м/с; в) v=556 м/с; г) v=546 м/с; д) v=536 м/с.

2.1.43. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на жестком стержне массой 0,1 кг, и застревает в нем. Масса пули 5 г, масса шара 0,5 кг. Скорость пули 500 м/с. При какой предельной длине стержня шар от удара пули сделает полный оборот вокруг оси вращения? Размерами шар пренебречь.

Ответ: а) _пр=0,24 м; б) _пр=0,34 м; в) _пр=0,44 м; г) _пр=0,54 м; д) _пр=0,64 м.

2.1.44. Шарик из пластмассы, падая с высоты 1 м, несколько раз отскакивает от пола. Чему равен коэффициент восстановления при ударе шарика о пол, если с момента падения до второго удара о пол прошло 1,3 с? Коэффициент восстановления – отношение скоростей шарика после удара к скорости до удара.

Ответ: а) k=0,90; б) k=0,92; в) k=0,94; г) k=0,96; д) k=0,98.

2.1.45. На тележке, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью 3 м/с, находится человек. Человек прыгает в сторону, противоположную движению тележки. После прыжка скорость тележки изменилась и стала 4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки 210 кг, масса человека 70 кг.

Ответ: а) v₂₁=2 м/с; б) v₂₁=3 м/с; в) v₂₁=4 м/с; г) v₂₁=5 м/с; д) v₂₁=6 м/с.

2.1.46. На железнодорожной платформе установлено орудие, жестко скрепленное с платформой. Масса орудия и платформы 2010³ кг. Орудие производит выстрел под углом 60^о к линии горизонта в направлении пути. Какую скорость приобретает платформа с орудием вследствие отдачи, если масса снаряда 50 кг и он вылетает из канала ствола со скоростью 500 м/с?

Ответ: а) u=0,7 м/с; б) u=0,6 м/с; в) u=0,5 м/с; г) u=0,4 м/с; д) u=0,3 м/с.

2.1.47. Деревянный шар массой 10 кг подвешен на нити длиной ℓ=2 м. В шар попадает горизонтально летящая пуля массой 5 г и вылетает из него со скоростью вдвое меньшей начальной. Определить начальную скорость пули, если нить с шаром отклонилась от вертикали на угол α=3^о (рис. 2.16).

Ответ: а) v₀=917 м/с; б) v₀=927 м/с; в) v₀=937 м/с;

г) v₀=947 м/с; д) v₀=957 м/с.

2.1.48. На носу лодки, масса которой 200 кг, стоит человек массой 75 кг. Человек переходит с носа на корму лодки, пройдя по ней 5,5м. На какое расстояние сместится лодка по воде? Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.

Ответ: а) ₁=1,5 м; б) ₁=1,3 м; в) ₁=1,1 м; г) ₁=0,9 м; д) ₁=0,7 м.

2.1.49. Два шарика массами 200 и 300 г висят на двух параллельных нитях длиной по одному метру каждая. Шарики соприкасаются (рис. 2.17). Меньший шарик отводят в сторону так, что его нить занимает горизонтальное положение, и затем отпускают. На какую высоту поднимется каждый шарик после их соударения? Шарики считать абсолютно упругими.

Ответ: а) h₁=0,04 м; h₂=0,64 м;

б) h₁=0,02 м; h₂=0,84 м; в) h₁=0,06 м; h₂=0,44 м; г) h₁=0,05 м; h₂=0,74 м;

д) h₁=0,03 м; h₂=0,74 м.

2.1.50. Шар массой 10 кг сталкивается с шаром массой 4 кг (рис. 2.18). Скорость первого шара 4 м/с, второго-12 м/с. Найти скорости шаров после удара, если малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении. Удар считать прямым, центральным, упругим.

Ответ: а) u₁=7,6 м/с; u₂=0,67 м/с; б) u₁=8,6 м/с; u₂=0,57 м/с; в) u₁=7,6 м/с; u₂=0,47 м/с; г) u₁=6,6 м/с; u₂=0,87 м/с; д) u₁=9,6 м/с; u₂=0,37 м/с.

2.1.51. В лодке массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Лодка плывет со скоростью 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью 4 м/с (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека вперед по движению лодки.

Ответ: а) u=1,0 м/с; б) u=1,2 м/с; в) u=1,4 м/с; г) u=1,6 м/с; д) u=1,8 м/с.

2.1.52. В лодке массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Лодка плывет со скоростью 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью 4 м/с (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека в сторону, противоположную движению лодки.

Ответ: а) u=2,8 м/с; б) u=3,0 м/с; в) u=3,2 м/с; г) u=3,4 м/с; д) u=3,6 м/с.

2.1.53. На полу стоит тележка в виде длиной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека 60 кг, масса доски 20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет относительно доски со скоростью 1 м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.

Ответ: а) v₂=0,95 м/с; б) v₂=0,85 м/с; в) v₂=0,75 м/с; г) v₂=0,65 м/с; д) v₂=0,55 м/с.

2.1.54. Два конькобежца с массами 80 кг и 50 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду, один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его со скоростью 1 м/с. С какой скоростью будет двигаться каждый из конькобежцев? Трением пренебречь.

Ответ: а) u₁=0,32 м/с; u₂=0,68 м/с; б) u₁=0,34 м/с; u₂=0,66 м/с; в) u₁=0,36 м/с; u₂=0,64 м/с; г) u₁=0,38 м/с; u₂=0,62 м/с; д) u₁=0,40 м/с; u₂=0,60 м/с.

2.1.55. Два одинаковых шара подвешены на нитях длиной 0,98 м и касаются друг друга (рис. 2.19). Один из шаров отклоняется на угол 10^о и отпускается. Определить максимальную скорость второго шара после соударения. Удар считать идеально упругим.

Ответ: а) u_2max=0,54 м/с; б) u_2max=0,44 м/с; в) u_2max=0,34 м/с; г) u_2max=0,24 м/с; д) u_2max=0,14 м/с.

2.1.56. На катере, масса которого составляет 210⁵ кг, установлен водометный двигатель, выбрасывающий ежесекундно в направлении, противоположном движению катера, 200 кг воды со скоростью 5 м/с (относительно катера). Определить скорость катера через 5 мин после начала движения. Сопротивлением воды пренебречь.

Ответ: а) v_k=1,7 м/с; б) v_k=1,1 м/с; в) v_k=1,3 м/с; г) v_k=1,2 м/с; д) v_k=1,5 м/с.

2.1.57. Определить скорость ракеты после выгорания полного заряда, если начальная масса ракеты 0,1 кг, масса заряда 0,09 кг, начальная скорость ракеты равна нулю, относительная скорость выхода продуктов сгорания из сопла 25 м/с. Сопротивление воздуха и ускорение силы тяжести не учитывать.

Ответ: а) v=18 м/с; б) v=28 м/с; в) v=38 м/с; г) v=48 м/с; д) v=58 м/с.

2.1.58. Две одинаковые лодки массами m=200 кг каждая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v=1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки во вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами m₁=20 кг. Определить скорости u₁ и u₂ лодок после перебрасывания грузов.

Ответ: а) u₁=u₂=0,5 м/с; б) u₁=u₂=0,6 м/с; в) u₁=u₂=0,7 м/с; г) u₁=u₂=0,8 м/с; д) u₁=u₂=0,9 м/с.

2.1.59. Доска массой m=10 кг свободно скользит по поверхности льда со скоростью v=3 м/с. На доску с берега прыгает мальчик массой 50 кг. Скорость мальчика перпендикулярна к скорости доски и равна v=5 м/с. Определить скорость v доски с мальчиком. Силой трения доски о лед пренебречь.

Ответ: а) v=4,4 м/с; б) v=4,0 м/с; в) v=4,2 м/с; г) v=3,8 м/с; д) v=3,6 м/с.

2.1.60. Из воздушного ружья стреляют в спичечную коробку, лежащую на расстоянии =30 см от края стола. Пуля массой m=1 г, летящая горизонтально со скоростью v=150 м/с, пробивает коробку и вылетает из нее со скоростью v/2. Масса коробки M=50 г. При каком коэффициенте трения k между коробкой и столом коробка упадёт со стола?

Ответ: а) =0,41; б) =0,38; в) =0,35; г) =0,32; д) =0,29.

2.1.61. Платформа в виде диска радиусом 1,5 м вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 30 об/мин. В центре платформы находится человек. Определить угловую скорость платформы, если человек перейдет на ее край. Момент инерции платформы 120 кгм² (рис. 2.20). Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки, масса человека равна 80 кг.

Ответ: а) ₂=1,26 рад/с; б) ₂=1,36 рад/с; в) ₂=1,46 рад/с;

г)₂=1,56 рад/с; д) ₂=1,66 рад/с.

2.1.62. Человек стоит на скамейке Жуковского и ловит рукой мяч массой m=0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v=20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии ℓ=0,8 м от вертикальной оси вращения скамейки (рис. 2.21). С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка с человеком, поймавшим мяч? Считать, что суммарный момент инерции человека и скамейки 6 кгм².

Ответ: а) =1,10 рад/с; б) =1,08 рад/с; в) =1,06 рад/с;

г) =1,04 рад/с; д) =1,02 рад/с.

2.1.63. Человек стоит на скамейке Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки (рис. 2.22). Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамейка неподвижна, колесо вращается, делая 10 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамейка, если человек повернет стержень на угол 180^о? Суммарный момент инерции скамейки и человека 6 кгм², радиус колеса 20 см. Массу колеса в 3 кг можно считать равномерно распределенной по ободу.

Ответ: а) ₂=2,3 рад/с; б) ₂=2,5 рад/с; в) ₂=2,7 рад/с; г) ₂=2,9 рад/с; д) ₂=3,1 рад/с.

2.1.64. На верхней поверхности горизонтального диска, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проложены по окружности радиусомr=50 см рельсы игрушечной железной дороги. Масса диска 10 кг, радиус R=60 см (рис. 2.23). На рельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой 1 кг и выпущен из рук. Он начал двигаться относительно рельсов со скоростью 0,8 м/с. С какой угловой скоростью будет вращаться диск?

Ответ: а) =0,5 рад/с; б) =0,4 рад/с; в) =0,3 рад/с; г) =0,2 рад/с; д) =0,1 рад/с.

2.1.65. На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири массой 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения ℓ₁=70 см. Скамья вращается с частотой ν₁=1 с^-1. Определить частоту вращения скамьи, если человек сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси вращения уменьшится до ℓ₂=20 см? Момент инерции человека и скамьи относительно той же оси 2,5 кгм² (рис. 2.24).

Ответ: а) =2,75 с^-1; б) =2,65 с^-1; в) =2,55 с^-1;

г) =2,45 с^-1; д) =2,35 с^-1.

2.1.66. На скамье Жуковского стоит человек держит в руках стержень вертикально по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/с (рис. 2.25). С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если стержень повернуть так, чтобы он занял горизонтальное направление? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5 кгм². Длина стержня ℓ=1,8 м, масса 6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси вращения платформы.

Ответ: а) ₂=3,0 рад/с; б) ₂=3,2 рад/с; в) ₂=3,4 рад/с;

г) ₂=3,6 рад/с; д) ₂=3,8 рад/с.

2.1.67. Платформа в виде диска диаметром d=3 м и массой M=180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 2.26). С какой угловой скоростью будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m=70 кг со скоростью v=1,8 м/с относительно платформы?

Ответ: а) =0,515 рад/с; б) =0,525 рад/с; в) =0,535 рад/с;

г) =0,545 рад/с; д) =0,555 рад/с.

2.1.68. Платформа в виде диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек (рис. 2.26). На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную на платформе точку? Масса платформы 280 кг, масса человека 80 кг.

Ответ: а) ₁=202⁰; б) ₁=204⁰; в) ₁=206⁰ ; г) ₁=208⁰; д) ₁=210⁰.

2.1.69. Человек массой 60 кг находится на неподвижной платформе массой 100 кг. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек пройдет по платформе, описывая окружность радиусом 5 м и с постоянной скоростью 4 км/ч относительно платформы (рис. 2.26)? Радиус платформы 10 м.

Ответ: а) n=1,4 об/мин; б) n=1,2 об/мин; в) n=0,8 об/мин;

г) n=0,6 об/мин; д) n=0,4 об/мин.

2.1.70. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м вращается с частотой 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири (рис. 2.27). Какое число оборотов в минуту будет делать платформа с человеком, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 2,94 кгм² до 0,98 кгм²? Считать платформу круглым однородным диском.

Ответ: а) n₂=13 об/мин; б) n₂=15 об/мин;

в) n₂=17 об/мин; г) n₂=19 об/мин; д) n₂=21 об/мин.

2.1.71. Человек стоит на скамейке Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки (рис. 2.28). Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамейка неподвижна, колесо вращается, делая 10 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамейка, если человек повернет стержень на угол 90^о? Суммарный момент инерции скамейки и человека 6 кгм², радиус колеса 20 см. Массу колеса в 3 кг считать равномерно распределенной по ободу.

Ответ: а) ₂=1,24 рад/с; б) ₂=1,34 рад/с; в) ₂=1,44 рад/с;

г) ₂=1,54 рад/с; д) ₂=1,64 рад/с.

2.1.72. Платформа в виде диска радиусомR=1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 10 мин^-1 (рис. 2.29). В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола перемещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Ответ: а) v=1,0 м/с; б) v=0,9 м/с; в) v=0,8 м/с; г) v=0,7 м/с; д) v=0,6 м/с.

2.1.73. Человек, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 100 кг вращается по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 мин^-1, переходит к ее центру (рис. 2.30). В результате частота вращения платформы с человеком становится равной 26 мин^-1. Считая платформу круглым однородным диском, человека – точечной массой, определить массу человека.

Ответ: а) m₁=100 кг; б) m₁=90 кг; в) m₁=80 кг; г) m₁=70 кг; д) m₁=60 кг.

2.1.74. Человек массой 80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 мин^-1, переходит к ее центру (рис. 2.30). Определить, с какой частотой будет вращаться платформа? Считать платформу круглым однородным диском, человека-точечной массой.

Ответ: а)n₂=20 об/мин; б) n₂=22 об/мин; в) n₂=24 об/мин; г) n₂=26 об/мин; д) n₂=28 об/мин.

2.1.75. На горизонтальной платформе стоит человек, держащий на вытянутых руках на расстоянии ℓ₁=150 см друг от друга две гири (рис. 2.31). Платформа вращается с угловой скоростью 1 с^-1. Человек сближает гири до расстояния ℓ₂=80 см, и скорость вращения платформы увеличивается до 1,5 с^-1. Определить работу, произведенную человеком, если каждая гиря имеет массу 2 кг. Момент инерции человека относительно платформы считать постоянным.

Ответ: а) А=-40 Дж; б) А=-42 Дж; в) А=-44 Дж; г) А=-46 Дж; д) А=-48 Дж.

2.1.76. Горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ₁=2 с^-1; его момент инерции относительно оси вращения J₁=10 кгм². На него падает другой диск смоментом инерции относительно той же оси J₂=5 кгм² и угловой скоростью ₂=3 с^-1. Плоскости дисков параллельны, центры – на одной вертикальной линии (рис. 2.32). Нижняя поверхность падающего диска снабжена шипами, которые впиваются в верхнюю поверхность нижнего диска и скрепляют диски в одно целое. Найти угловую скорость получившейся системы.

Ответ: а) =2,9 с^-1; б) =2,7 с^-1; в) =2,5 с^-1; г) =2,3 с^-1; д) =2,1 с^-1.

2.1.77. Маховик, имеющий вид диска радиусомR=40 см и массой M=48 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К его цилиндрической поверхности прикреплён конец нерастяжимой нити, к другому концу которой подвешен груз массой m=0,2 кг (рис. 2.33). Груз был приподнят и затем отпущен. Упав свободно с высоты h=2 м, груз натянул нить и благодаря этому привёл маховик во вращение. Какую угловую скорость груз сообщил при этом маховику?

Ответ: а) =0,32 с^-1; б) =0,30 с^-1; в) =0,28 с^-1; г) =0,26 с^-1; д) =0,24 с^-1.

2.1.78. Представим себе, что Солнце сожмется (сколлапсирует) в пульсар. Оценить минимальный радиус пульсара. Считать радиус Солнца равным 710⁸ м, его массу – 210³⁰ кг, период обращения – 2,210⁶ с.

Ответ: а) R_п=1,110⁴ м; б) R_п=1,310⁴ м;

в) R_п=1,510⁴ м; г) R_п=1,710⁴ м; д) R_п=1,910⁴ м.

2.1.79. Однородный стержень длиной ℓ=1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один его из концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой 7 г, летящая перпендикулярно стержню и оси вращения. Определить массу стержня, если в результате попадания пули он отклонился на угол α=60^о. Принять скорость пули v=360 м/с (рис. 2.34).

Ответ: а) М=2,01 кг; б) М=2,21 кг; в) М=2,41 кг;

г) М=2,61 кг; д) М=2,81 кг.

2.1.80. Однородный стержень длиной 1,0 м и массой 0,7 кг подвешен на горизонтальной оси (рис. 2.35), проходящей через верхний конец стержня. В точку, отстоящую от оси на ⅔ длины стержня, абсолютно неупруго ударяет пуля массой 5 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. После удара стержень отклоняется на угол α=60^о. Определить скорость пули.

Ответ: а) v=280 м/c; б) v=270 м/c; в) v=260 м/c; г) v=250 м/c; д) v=240 м/c.

2.1.81. Математический маятник массой 50 г и стержень массой 2 кг подвешены к одной и той же точке (рис. 2.36), вокруг которой они могут свободно колебаться. Длина нити маятника равна длине стержня. Шарик маятника отклоняют в сторону, так что он приподнимается на 0,5 м относительно своего нижнего положения. Затем шарик отпускают, и он сталкивается неупруго со стержнем. Определить скорость шарика математического маятника и нижнего конца стержня после удара.

Ответ: а) v=0,12 м/с; б) v=0,22 м/с; в) v=0,32 м/с; г) v=0,42 м/с; д) v=0,52 м/с.

2.1.82. Деревянный стержень массойM=1 кг и длиной ℓ=40 см может вращаться около оси, проходящей через его середину перпендикулярно к стержню. В конец стержня (рис. 2.37) попадает пуля с массой m=10 г, летящая перпендикулярно к оси и к стержню со скоростью v=200 м/с. Определить угловую скорость, которую получит стержень, если пуля застрянет в нем.

Ответ: а) =29 рад/с; б) =27 рад/с; в) =25 рад/с; г) =23 рад/с; д) =21 рад/с.

2.1.83. Тонкий однородный стержень вращается около оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему(рис. 2.38). В некоторый момент времени стержень разделяется на две равные части, которые, продолжая вращаться, удаляются друг от друг. Принимая, отделившиеся части за однородные стержни вдвое меньшей длины и пренебрегая работой, совершаемой при разделении, Определить сумму моментов количества движения половин стержня.

Ответ: а) L₂=L₁; б) L₂=⅓L₁; в) L₂=⅔L₁; г) L₂=¾L₁;

д) L₂=⅜L₁.

2.1.84. Пуля массой m=5 г, двигаясь со скоростью v=800 м/с, попадает в точку (рис. 2.39), отстоящую на расстоянии ℓ=0,5 м от оси крутильно-баллистического маятника, момент инерции которого 0,025 кгм², и застревает в нем. Определить начальную угловую скорость центра такого маятника.

Ответ: а) =68 с^-1; б) =70 с^-1; в) =72 с^-1; г) =74 с^-1; д) =76 с^-1.

2.1.85. Пуля массой m=5 г, двигаясь со скоростью v=800 м/с, попадает в точку, отстоящую на расстоянии ℓ=0,5 м от оси крутильно-баллистического маятника, момент инерции которого 0,025 кгм², и застревает в нем. Определить начальную линейную скорость перемещения центра такого маятника (рис. 2.39).

Ответ: а) v=30 м/с; б) v=32 м/с; в) v=34 м/с; г) v=36 м/с; д) v=38 м/с.

2.1.86. Определить время, за которое сплошной цилиндр скатится без скольжения по наклонной плоскости (рис. 2.40). В начальный момент неподвижный цилиндр находится наh=60 см выше уровня нижнего конца наклонной плоскости. Потерей энергии на преодоление силы трения пренебречь. Угол наклона плоскости α=30^o.

Ответ: а) t=0,86 с; б) t=0,83 с; в) t=0,80 с; г) t=0,77 с; д) t=0,74 с.

2.1.87. Сплошной шар и обруч, скатившиеся без скольжения с наклонной плоскости, в конце ее имеют одинаковые линейные скорости. Определить отношение высот, с которых начали скатываться шар и обруч (рис. 2.41). Потерей энергии на преодоление сил трения пренебречь.

Ответ: а) h₂/h₁=1,43; б) h₂/h₁=1,53; в) h₂/h₁=1,63; г) h₂/h₁=1,73;

д) h₂/h₁=1,83.

2.1.88. Сплошной шар и сплошной диск скатывается без скольжения с одинаковой высоты по наклонной плоскости (рис. 2.42). Какое тело раньше и во сколько раз достигнет конца наклонной плоскости? Потерей энергии на преодоление сил трения пренебречь.

Ответ: а) t₁/t₂=1,00; б) t₁/t₂=1,08; в) ; г) t₁/t₂=1,12;

д) t₁/t₂=1,16.

2.1.89. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает ее на Δℓ₁=2 мм. На сколько сожмет пружину таже гиря, упавшая на конец пружины с высоты 5 см (рис. 2.43)?

Ответ: а) Δℓ₂=18,3 мм; б) Δℓ₂=16,3 мм; в) Δℓ₂=14,3 мм; г) Δℓ₂=12,3 мм; д) Δℓ₂=10,3 мм.

2.1.90. Боек свайного молота массой 600 кг падает с некоторой высоты на сваю массой 150 кг. Найти КПД бойка, считая удар неупругим. Полезной считать энергию, пошедшую на углубление сваи.

Ответ: а) =0,90; б) =0,85; в) =0,80; г) =0,75; д) =0,70.

2.1.91. Шар массойm₁=2 кг движется со скоростью v₁=4 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂=5 кг (рис. 2.44). Определить скорость второго шара после прямого центрального удара. Удар считать абсолютно упругим.

Ответ: а) u₂=2,49 м/с; б) u₂=2,39 м/с;

в) u₂=2,29 м/с; г) u₂=2,19 м/с; д) u₂=2,09 м/с.

2.1.92. Абсолютно упругий шар массой 1,8 кг сталкивается с покоящимся упругим шаром большей массы (рис. 2.44). В результате центрального прямого удара шар потерял 36% своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.

Ответ: а) m₂=10 кг; б) m₂=12 кг; в) m₂=14 кг;

г) m₂=16 кг; д) m₂=18 кг.

2.1.93. Тележка с укрепленным на ней бруском общей массойM=1 кг стоит на горизонтальной плоскости (рис. 2.45). В брусок ударяет пуля, летевшая горизонтально в направлении возможного движения тележки. Пуля, пробив брусок, уменьшает свою скорость с v₁=500 м/с до v₂=400 м/с. Масса пули m=10 г. Какую скорость приобретает тележка с бруском?

Ответ: а) v=1,6 м/с; б) v=1,4 м/с; в) v=1,2 м/с; г) v=1,0 м/с; д) v=0,8 м/с.

2.1.94. Тележка с укрепленным на ней бруском общей массойM=1 кг стоит на горизонтальной плоскости (рис. 2.45). В брусок ударяет пуля, летевшая горизонтально в направлении возможного движения тележки. Пуля, пробив брусок, уменьшает свою скорость с v₁=500 м/с до v₂=400 м/с. Масса пули m=10 г. Какое количество механической энергии теряет пуля?

Ответ: а) W=410 Дж; б) W=420 Дж; в) W=430 Дж; г) W=440 Дж; д) W=450 Дж.

2.1.95. Тонкий стержень длиной ℓ=0,60 м прикреплен к горизонтальной оси (рис. 2.46), проходящей через конец стержня. Стержень отвели в сторону так, что он занял горизонтальное положение, и затем отпустили. Чему будет равна линейная скорость нижнего конца стержня в момент прохождения стержнем положения равновесия?

Ответ: а) v=9,2 м/с; б) v=9,0 м/с; в) v=8,8 м/с; г) v=8,6 м/с; д) v=8,4 м/с.

2.1.96. Карандаш, опирающийся заточенным концом на горизонтальную плоскость, удерживается в вертикальной плоскости (рис. 2.47). После того, как убрали удерживающую силу, он падает на плоскость. Определить скорость, приобретенную незаточенным концом карандаша, к моменту его удара о плоскость. Карандаш рассматривать как тонкий стержень длиной ℓ=15 см. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: а) v=2,7 м/с; б) v=2,5 м/с; в) v=2,3 м/с; г) v=2,1 м/с; д) v=1,9 м/с.

2.1.97. Молот массой 10 кг ударяет по небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне. Масса наковальни 400 кг. Определить КПД удара молота при данных условиях. Удар считать неупругим. Полезной в данном случае является энергия, пошедшая на деформацию куска железа.

Ответ: а) =0,95; б) =0,96; в) =0,98; г) =0,94; д) =0,97.

2.1.98. В баллистический маятник массойM=3 кг, висящий на нити длиной ℓ=2,5 м, попадает пуля массой m=9 г и застревает в нем, вследствие чего система отклоняется на угол α=18^о. Найти скорость пули (рис. 2.48).

Ответ: а) v=505 м/с; б) v=515 м/с; в) v=525 м/с;

г)v=535 м/с; д) v=545 м/с.

2.1.99. Неподвижное тело массой m=2 кг кладут на платформу массой M=80 кг, движущуюся со скоростью v=4 м/с. Сколько времени тело будет скользить по платформе? Коэффициент трения равен μ=0,2 (рис. 2.49).

Ответ: а)t=2,0 с; б) t=2,5 с; в) t=3,0 с; г) t=3,5 с; д) t=4,0 с.

2.1.100. Неподвижное тело массой m=2 кг кладут на платформу массой M=80 кг, движущуюся со скоростью v=4 м/с (рис. 2.50). Какое расстояние пройдет тело за время его скольжения по платформе? Коэффициент трения равен μ=0,2.

Ответ: а) S=5 м; б) S=4 м; в) S=3 м; г) S=2 м; д) S=1 м.

2.1.101. Из шахты глубиной h=600 м поднимают клеть массой m₁=3,0 т на канате, каждый метр которого имеет массу m=1,5 кг. Какая работа совершается при поднятии клети на поверхность Земли?

Ответ: а) А=2,0310⁷ Дж; б) А=2,1310⁷ Дж; в) А=2,2310⁷ Дж;

г) А=2,3310⁷ Дж; д) А=2,4310⁷ Дж.

2.102. Из шахты глубиной h=600 м поднимают клеть массой m₁=3,0 т на канате, каждый метр которого имеет массу m=1,5 кг. Каков коэффициент полезного действия подъёмного устройства?

Ответ: а) =0,895; б) =0,885; в) =0,875; г) =0,865; д) =0,855.

2.1.103. Цепь длиной=2 м лежит на столе, одним концом свисая со стола. Если длина свешивающейся части превышает ⅓, то цепь соскальзывает со стола (рис. 2.51). Определить скорость цепи в момент её отрыва от стола.

Ответ: а) v=4,0 м/с; б) v=3,8 м/с; в) v=3,6 м/с; г) v=3,4 м/с; д) v=3,2 м/с.

2.1.104. Какая работа должна быть совершена при поднятии с Земли материалов для постройки цилиндрической дымоходной трубы высотой h=40 м, наружным диаметром D=3,0 м и внутренним диаметром d=2,0 м? Плотность материала ρ=2,810³ кг/м³.

Ответ: а) А=8010⁶ Дж; б) А=8210⁶ Дж; в) А=8410⁶ Дж; г) А=8610⁶ Дж; д) А=8810⁶ Дж.

2.1.105. Карандаш длиной=15 см, поставленный вертикально, падает на стол (рис. 2.52). Какую угловую скорость будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша (точка А)? 2) верхний его конец (точка В)? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.

Ответ: а) ₁=₂=22 с^-1; б) ₁=₂=20 с^-1; в) ₁=₂=18 с^-1; г) ₁=₂=16 с^-1; д) ₁=₂=14 с^-1.

2.1.106. Карандаш длиной =15 см, поставленный вертикально, падает на стол (рис. 2.52). Какую линейную скорость будет иметь в конце падения середина карандаша (точка А)? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.

Ответ: а) v=1,45 м/с; б) v=1,35 м/с; в) v=1,25 м/с; г) v=1,15 м/с;

д) v=1,05 м/с.

2.1.107. С какой наименьшей высоты H должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом R=3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли (рис. 2.53). Масса велосипедиста вместе с велосипедом M=75 кг, причем на массу колес приходится m=3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.

Ответ: а) H_min=8,6 м; б) H_min=7,6 м; в) H_min=6,6 м; г) H_min=5,6 м; д) H_min=4,6 м.

2.1.108. Тело массой m=1 кг скользит без трения по гладкому горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку массой M=5 кг. Высота горки H=1,2 м (рис. 2.54). Трение между горкой и телом отсутствует. Найти конечную скорость горки. Начальная скорость тела 5 м/с.

Ответ: а) u=0,04 м/с; б) u=0,14 м/с; в) u=0,24 м/с; г) u=0,34 м/с;

д) u=0,44 м/с.

2.1.109. С вершины полусферы радиусом R=30 см катится без проскальзывания диск радиусом r=2 см. На какой высоте от вершины он оторвется от поверхности полусферы (рис. 2.55)?

Ответ: а) H=7,9 см; б) H=6,9 см; в) H=5,9 см;

г) H=4,9 см; д) H=3,9 см.

2.1.110. Гладкий стальной шарик прыгает по длинной гладкой лестнице, отскакивая по одному разу от каждой ступеньки. При каждом соударении со ступенькой шарик теряет 5% энергии. С какой скоростью v и под каким углом к вертикали был брошен шарик? Ступенька лестницы имеет высоту h=10 см и длину =20 см.

Ответ: а) =20,5⁰; б) =19,5⁰; в) =18,5⁰; г) =17,5⁰; д) =16,5⁰.

2.1.111. В покоящийся клин массой M=2 кг попадает горизонтально летящая пуля массой m=10 г и после абсолютно упругого удара о поверхность клина отскакивает вертикально вверх (рис. 2.56). На какую высоту поднимется пуля, если горизонтальная скорость клина после удара оказалась равной v=1 м/с? Трением пренебречь.

Ответ: а) h=1,410³ м; б) h=1,610³ м; в) h=1,810³ м; г) h=2,010³ м; д) h=2,210³ м.

2.1.112. Небольшое тело массой M=1 кг лежит на вершине гладкой полусферы радиусом R=1м. В тело попадает пуля массой m=10 г, летящая горизонтально со скоростью v_o=100 м/с, и застревает в нём. Пренебрегая смещением тела во время удара, определить, на какой высоте от основания оно оторвётся от поверхности полусферы (рис. 2.57).

Ответ: а)h=0,3 м; б) h=0,4 м; в) h=0,5 м;

г) h=0,6 м; д) h=0,7 м.

2.1.113. Математический маятник длиной 1 м и массойm=1 г отводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить максимальное натяжение нити после удара о гвоздь, вбитый на расстоянии ℓ₁=50 см от точки подвеса на линии, образующей с вертикалью угол =60^о (рис. 2.58).

Ответ: а) T_max=210^-2 Н; б) T_max=310^-2 Н;

в)T_max=410^-2 Н; г) T_max=510^-2 Н; д) T_max=610^-2 Н.

2.1.114. Математический маятник длиной 1 м и массой m=1 г отводят в горизонтальное положение и отпускают (рис. 2.59). Определить предельную высоту подъёма маятника после удара о гвоздь, вбитый на расстоянии ℓ₁=50 см от точки подвеса на линии, образующей с вертикалью угол =60^о.

Ответ: а) h_max=0,95 м; б) h_max=0,75 м; в) h_max=0,55 м; г) h_max=0,45 м; д) h_max=0,35 м.

2.1.115. Абсолютно упругий шар массой m=1,8 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы M. В результате прямого удара шар потерял 36% своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.

Ответ: а) M=7,1 кг; б) M=6,1 кг; в) M=5,1 кг; г) M=4,1 кг; д) M=3,1 кг.

2.1.116. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров больший шар покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял ¾ своей кинетической энергии. Определить отношение M/m масс шаров.

Ответ: а) M/m=2,3; б) M/m=2,4; в) M/m=2,6; г) M/m=2,8; д) M/m=3,0.

2.1.117. Какую максимальную часть своей кинетической энергии может передать частица массой m₁=210^-22 г, сталкиваясь упруго с частицей массой m₂=610^-22 г, которая до столкновения покоилась?

Ответ: а) (W₂^'/W₁)=0,90; б) (W₂^'/W₁)=0,85; в) (W₂^'/W₁)=0,80;

г) (W₂^'/W₁)=0,75; д) (W₂^'/W₁)=0,70.

2.1.118. Частица массой m₁=10^-25 кг обладает импульсом p₁=510^-20 кгм/с. Определить, какой максимальный импульс p₂ может передать эта частица, сталкиваясь упруго с другой частицей массой m₂= =410^-25 кг, которая до удара покоилась?

Ответ: а) p₂=610^-20 кгм/с; б) p₂=6,510^-20 кгм/с; в) p₂=710^-20 кгм/с;

г) p₂=7,510^-20 кгм/с; д) p₂=810^-20 кгм/с.

2.1.119. Частица массой m₁=10^-24 г имеет кинетическую энергию W₁=910^-12 Дж. В результате упругого столкновения с покоящейся частицей массой m₂=410^-24 г сообщает ей кинетическую энергию W₂=510^-12 Дж. Определить угол , на который отклонится частица от своего первоначального направления.

Ответ: а) =104⁰; б) =114⁰; в) =124⁰; г) =134⁰; д) =144⁰.

2.1.120. На покоящийся шар налетает со скоростьюv₁=2 м/с другой шар, одинаковый с ним массы (рис. 2.60). В результате столкновения шар изменил направление движения на угол =30⁰. Определить угол  между вектором скорости второго шара и первоначальным направлением движения первого шара.

Ответ: а) =60⁰; б) =50⁰; в) =40⁰; г) =30⁰; д) =20⁰.

2.1.121. Найти численное значение второй космической скорости, т.е. такой скорости, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное тяготение и навсегда удалилось от Земли.

Ответ: а) v₂=12,2 км/с; б) v₂=11,2 км/с; в) v₂=10,2 км/с; г) v₂=9,2 км/с; д) v₂=8,2 км/с.

2.1.122. Найти линейную скорость движения Земли по орбите, если принять, что масса Солнца равна 210³⁰ кг и расстояние от Земли до Солнца равно 1,510⁸ км. Орбиту Земли считать круговой.

Ответ: а) v₂=31,8 км/с; б) v₂=30,8 км/с; в) v₂=29,8 км/с; г) v₂=28,8 км/с; д) v₂=27,8 км/с.

2.1.123. Спутник Фобос планеты Марс находится на расстоянии 9500 км от центра Марса. Найти период обращения спутника вокруг Марса. Масса Марса составляет 0,108 массы Земли.

Ответ: а) T=10,8 ч; б) T=9,8 ч; в) T=8,8 ч; г) T=7,8 ч; д) T=6,8 ч.

2.1.124. Спутник Деймос планеты Марс находится на расстоянии 24000 км от центра Марса. Найти период обращения спутника вокруг Марса. Масса Марса составляет 0,108 массы Земли.

Ответ: а) Т=23,2 ч; б) Т=25,2 ч; в) Т=27,2 ч; г) Т=29,2 ч; д) Т=31,2 ч.

2.1.125. Для осуществления всемирной телевизионной связи достаточно иметь три спутника Земли, вращающихся по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток и расположенных друг относительно друга под углом 120^о. Период обращения каждого спутника 24 часа. Определить радиус орбиты и линейную скорость такого спутника.

Ответ: а) R₀=5210⁶ м, v=4,110³ м/с; б) R₀=6210⁶ м, v=5,110³ м/с;

в) R₀=3210⁶ м, v=2,110³ м/с; г) R₀=2210⁶ м, v=1,110³ м/с; д) R₀=4210⁶ м, v=3,110³ м/с.

2.1.126. На какой высоте должен вращаться искусственный спутник Земли, чтобы он находился все время над одной и той же точкой Земли?

Ответ: а) h=7610⁶ м; б) h=6610⁶ м; в) h=5610⁶ м; г) h=4610⁶ м; д) h=3610⁶ м.

2.1.127. Какая работа будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой 2 кг с высоты 1000 км?

Ответ: а) А=2210⁶ Дж; б) А=2010⁶ Дж; в) А=1810⁶ Дж; г) А=1610⁶ Дж; д) А=1410⁶ Дж.

2.1.128. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой 30 кг. Определить работу, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

Ответ: а) А=1,2710⁹ Дж; б) А=1,4710⁹ Дж; в) А=1,6710⁹ Дж; г) А=1,8710⁹ Дж;

д) А=2,0710⁹ Дж.

2.1.129. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

Ответ: а) h=0,2210⁶ м; б) h=0,3210⁶ м; в) h=0,4210⁶ м; г) h=0,5210⁶ м;

д) h=0,6210⁶ м.

2.1.130. На какую высоту над поверхностью Земли поднимется ракета, запущенная вертикально вверх, если начальная скорость ракеты будет равна первой космической скорости?

Ответ: а) h=8,410³ км; б) h=7,410³ км; в) h=6,410³ км; г) h=5,410³ км; д) h=4,410³ км.

2.1.131. Скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно покинуло гравитационное поле Земли, равна примерно 11 км/с. Если межпланетный корабль двигался при выходе из атмосферы со скоростью 12 км/с. Какова будет его скорость на расстоянии 10⁶ км от Земли?

Ответ: а) v=5,410³ м/с; б) v=4,410³ м/с; в) v=3,410³ м/с;

г) v=2,410³ м/с; д) v=1,410³ м/с.

2.1.132. Радиус малой планеты R=100 км, средняя плотность вещества планеты =310³ кг/м³. Определить вторую космическую скорость у поверхности этой планеты.

Ответ: а) v=119 м/с; б) v=129 м/с; в) v=139 м/с; г) v=149 м/с;

д) v=159 м/с.

2.1.133. Две планеты обращаются вокруг Солнца по орбитам, принимаемым приближенно за круговые с радиусами R₁=15010⁶ км (Земля) и R₂=10810⁶ км (Венера). Найти отношение их линейных скоростей.

Ответ: а) v₁/v₂=0,55; б) v₁/v₂=0,65; в) v₁/v₂=0,95; г) v₁/v₂=0,75;

д) v₁/v₂=0,85.

2.1.134. С какой скоростью упадет на поверхность Луны метеорит, скорость которого вдали от Луны мала? Атмосфера на Луне отсутствует.

Ответ: а) v=2,38 км/с; б) v=2,58 км/с; в) v=2,78 км/с; г) v=2,98 км/с;

д) v=3,18 км/с.

2.1.135. На какое расстояние от поверхности Земли удалилось бы тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 5 км/с, если бы атмосфера у Земли отсутствовала?

Ответ: а) h=1400 км; б) h=1600 км; в) h=1800 км; г) h=2000 км;

д) h=2200 км.

2.1.136. Предположим, что механическая энергия системы «искусственный спутник–Земля» уменьшилась вследствие потерь на трение на 2 %. Принимая, что орбита спутника и до потери энергии и после нее мало отличается от окружности, вычислить, как изменится при потере 2% энергии радиус орбиты.

Ответ: а) R/R=3,0%; б) R/R=2,5%; в) R/R=2,0%; г) R/R=1,5%;

д) R/R=1,0%.

2.1.137. Предположим, что механическая энергия системы "искусственный спутник-Земля" уменьшилась вследствие потерь на трение на 2 %. Принимая, что орбита спутника и до потери энергии и после нее мало отличается от окружности, вычислить, как изменится при потере 2% энергии скорость спутника.

Ответ: а) v/v=2,5%; б) v/v=2,0%; в) v/v=1,5%; г) v/v=1,0%;

д) v/v=0,5%.

2.1.138. Предположим, что механическая энергия системы «искусственный спутник–Земля» уменьшилась вследствие потерь на трение на 2 %. Принимая, что орбита спутника и до потери энергии и после нее мало отличается от окружности, вычислить, как изменится при потере 2% энергии период обращения спутника.

Ответ: а) T/T=2,2%; б) T/T=2,4%; в) T/T=2,6%; г) T/T=2,8%;

д) T/T=3,0%.

2.1.139. Два медных шара массой 100 т каждый касаются друг друга. С какой силой они притягиваются?

Ответ: а) F=0,64 Н; б) F=0,54 Н; в) F=0,44 Н; г) F=0,34 Н; д) F=0,24 Н.

2.1.140. В качестве единицы массы было предложено взять массу такой материальной точки, которая, притягивая точно такую же точку, находящуюся на расстоянии 1 м, сообщает ей ускорение 1 м/с² (гравитационная единица массы). Как велика эта единица?

Ответ: а) m=910⁶ т; б) m=1110⁶ т; в) m=1310⁶ т; г) m=1510⁶ т; д) m=1710⁶ т.

2.1.141. Предположим, что строительная техника позволяет возводить сколь угодно высокие сооружения. Какую высоту должна иметь башня, расположенная на экваторе Земли, чтобы тело, находящееся на ее вершине, было невесомым?

Ответ: а) H=4210³ км; б) H=4010³ км; в) H=3810³ км; г) H=3610³ км; д) H=3410³ км.

2.1.142. Радиус Луны 1760 км, а сила тяжести на Луне в шесть раз меньше, чем на Земле. Какова на Луне первая космическая скорость?

Ответ: а) v₁=1,3 км/с; б) v₁=1,5 км/с; в) v₁=1,7 км/с; г) v₁=1,9 км/с; д) v₁=2,1 км/с.

2.1.143. Спутник Сириуса, так называемый «Сириус В» состоит из вещества с плотностью 6010⁶ кг/м³. Каким был бы период обращения искусственного спутника Земли, если бы Земля имела такую плотность?

Ответ: а) Т=58 с; б) Т=48 с; в) Т=38 с; г) Т=28 с; д) Т=18 с.

2.1.144. Радиус орбиты Нептуна в 30 раз больше радиуса орбиты Земли. Какова продолжительность года на Нептуне?

Ответ: а) T_н=1,4510⁶ ч; б) T_н=1,5510⁶ ч; в) T_н=1,6510⁶ ч; г) T_н=1,7510⁶ ч; д) T_н=1,8510⁶ ч.

2.1.145. Радиус земной орбиты 15010⁶ км, а радиус Солнца 710⁵ км. Какова средняя плотность Солнца?

Ответ: а) _С=2,210³ кг/м³; б) _С=2,010³ кг/м³; в) _С=1,810³ кг/м³;

г) _С=1,610³ кг/м³; д) _С=1,410³ кг/м³.

2.1.146. Телу, находящемуся на поверхности Земли, сообщена вертикальная скорость 6 км/с. Считая, что сопротивление воздуха отсутствует, найти максимальную высоту его подъема. Радиус Земли R_з=6400 км.

Ответ: а) h=5,510³ км; б) h=4,510³ км; в) h=3,510³ км; г) h=2,510³ км; д) h=1,510³ км.

2.1.147. Телу, находящемуся на поверхности Земли, сообщена вертикальная скорость 15 км/с. Какую скорость оно будет иметь, когда удалится в бесконечность? Сопротивление атмосферы и влияние других небесных тел не учитывать.

Ответ: а) v=610³ м/с; б) v=810³ м/с; в) v=1010³ м/с; г) v=1210³ м/с; д) v=1410³ м/с.

2.1.148. На некоторой планете вторая космическая скорость равна 12 км/с. Телу, находящемуся на поверхности этой планеты, сообщена вертикальная скорость 13 км/с. Какую скорость будет оно иметь в бесконечности?

Ответ: а) v_=3 км/с; б) v_=5 км/с; в) v_=7 км/с; г) v_=9 км/с; д) v_=11 км/с.

2.1.149. Представим, что Земля потеряла свою орбитальную скорость и стала падать на Солнце. С какой скоростью подойдет она к его поверхности? Радиус земной орбиты 15010⁶ км, Радиус Солнца 710⁵ км, орбитальная скорость Земли 30 км/с.

Ответ: а) u=620 км/с; б) u=630 км/с; в) u=640 км/с; г) u=650 км/с; д) u=660 км/с.

2.1.150. Ракета, запущенная вертикально вверх, поднялась на высоту h=3200 км и начала падать. Какой путь пройдет ракета за первую секунду своего падения?

Ответ: а) h₁=2,18 м; б) h₁=2,58 м; в) h₁=2,28 м; г) h₁=2,48 м; д) h₁=2,38 м.

2.1.151. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью v=15 м/с. Период колебаний точек шнура равен T=1,2 с. Определить длину волны .

Ответ: а) =28 м; б) =8 м; в) =128 м; г) =38 м; д) =18 м.

2.1.152. Найти длину волны колебания, период которого T=10^-14 с. Скорость распространения колебаний v=310⁸ м/с.

Ответ: а) =2 мкм; б) =43 мкм; в) =3 мкм; г) =30 мкм; д) =23 мкм.

2.1.153. Звуковые колебания, имеющие частоту =500 Гц, распространяются в воздухе. Длина волны =70 см. Найти скорость распространения колебаний.

Ответ: а) v=450 м/с; б) v=250 м/с; в) v=550 м/с; г) v=350 м/с; д) v=150 м/с.

2.1.154. Найти длину волны колебаний , если расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны ℓ=15 см.

Ответ: а) =0,2 м; б)=0,1 м; в)=0,3 м; г)=0,4 м; д)=0,01 м.

2.1.155. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями v₁=72 км/ч и v₂=54 км/ч. Первый поезд подает свисток с частотой =600 Гц. Найти частоту ^' колебаний звука, который слышит пассажир второго поезда перед встречей поездов. Скорость распространения звука в воздухе c=340 м/с.

Ответ: а) ^'=666 Гц; б) ^'=766 Гц; в) ^'=566 Гц; г) ^'=466 Гц; д) ^'=866 Гц.

2.1.156. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями v₁=72 км/ч и v₂=54 км/ч. Первый поезд подает свисток с частотой =600 Гц. Найти частоту ^' колебаний звука, который слышит пассажир второго поезда после встречи поездов. Скорость распространения звука в воздухе c=340 м/с.

Ответ: а) ^'=142 Гц; б) ^'=242 Гц; в) ^'=342 Гц; г) ^'=442 Гц; д) ^'=542 Гц.

2.1.157. Найти частоту  основного тона струны, натянутой с силой F=6 кН. Длина струны l=0,8 м, ее масса m=30 г.

Ответ: а) =250 Гц; б) =350 Гц; в) =450 Гц; г) =550 Гц; д) =650 Гц.

2.1.158. Какую длину ℓ должна иметь стальная струна радиусом r=0,05 см, чтобы при силе натяжения F=0,49 кН она издавала тон с частотой =320 Гц. Плотность стали =7,810³ кг/м³.

Ответ: а) ℓ^'=0,15 м; б) ℓ^'=0,25 м; в) ℓ^'=0,35 м; г) ℓ^'=0,45 м; д) ℓ^'=0,55 м.

2.1.159. Найти собственную частоту колебаний стальной струны, длина которой =50 см, а диаметр-1 мм, если натяжение струны равно 2,4510^-2 Н. Плотность стали =7,810³ кг/м³.

Ответ: а) =5 с^-1; б) =4 с^-1; в) =3 с^-1; г) =2 с^-1; д) =1 с^-1.

2.1.160. Найти собственную частоту колебаний воздушного столба в закрытой с обоих концов трубе, имеющей длину =3,4 м. Скорость звука в воздухе с=340 м/с.

Ответ: а) =10 с^-1; б) =20 с^-1; в) =30 с^-1; г) =40 с^-1; д) =50 с^-1.

2.1.161. Над цилиндрическим сосудом высотой 1 м звучит камертон, имеющий собственную частоту колебаний ₀=340 с^-1. В сосуд медленно наливают воду. При каких положениях уровня воды в сосуде звучание камертона значительно усиливается?

Ответ: а) ₀=0,25 м; ₁=0,75 м; б) ₀=0,35 м; ₁=0,65 м;

в) ₀=0,15 м; ₁=0,65 м; г) ₀=0,35 м; ₁=0,85 м; д) ₀=0,45 м; ₁=0,95 м.

2.1.162. Реактивный самолет пролетел со скоростью 500 м/с на расстоянии 6 км от человека. На каком расстоянии от человека был самолет, когда человек услышал его звук?

Ответ: а) =11 км; б) =9 км; в) =7 км; г) =5 км; д) =3 км.

2.1.163. Радиолокатор работает в импульсном режиме. Частота повторения импульсов =1700 Гц, длительность импульса =0,8 мкс. Найти максимальную дальность обнаружения цели данным радиолокатором.

Ответ: а) _max=100 м; б) _max=110 м; в) _max=120 м; г) _max=130 м; д) _max=140 м.

2.1.164. Радиолокатор работает в импульсном режиме. Частота повторения импульсов =1700 Гц, длительность импульса =0,8 мкс. Найти минимальную дальность обнаружения цели данным радиолокатором.

Ответ: а) _min=60 м; б) _min=70 м; в) _min=80 м; г) _min=90 м; д) _min=100 м.

2.1.165. Пуля пролетела со скоростью 660 м/с на расстоянии 5 м от человека. На каком расстоянии от человека была пуля, когда он услышал ее свист?

Ответ: а) =5,6 м; б) =6,6 м; в) =7,6 м; г) =8,6 м; д) =9,6 м.

2.1.166. Эхолот измеряет глубину моря по отражению звука от морского дна. Какова должна быть минимальная точность в определении времени отправления и возврата сигнала, если прибор рассчитывается на измерение глубин более 30 м с точностью 5%? Скорость звука в воде 1500 м/с.

Ответ: а) =510^-3 с; б) =410^-3 с; в) =310^-3 с; г) =210^-3 с; д) =110^-3 с.

2.1.167. При измерении скорости звука длина полуволны звука, излучаемого стержнем, в воздухе оказалась равной 6 см. Чему равна скорость звука в стержне, если длина стержня равна 60 см и закреплен он в середине?

Ответ: а) v=3100 м/с; б) v=3200 м/с; в) v=3300 м/с; г) v=3400 м/с; д) v=3500 м/с.

2.1.168. Какова длина струны, если при укорочении ее на 10 см частота колебаний повышается в полтора раза? Натяжение струны остается неизменным.

Ответ: а) =0,5 м; б) =0,4 м; в) =0,3 м; г) =0,2 м; д) =0,1 м.

2.1.169. В жидком гелии, обладающем при T=4,2 К плотностью =0,1510³ кг/м³, скорость звука равна 220 м/с. Найти адиабатическую сжимаемость  жидкого гелия.

Ответ: а) =16 м²/Н; б) =14 м²/Н; в) =12 м²/Н; г) =10 м²/Н; д) =8 м²/Н.

2.1.170. Определить максимальное ускорение частицы воздуха в ультразвуковой волне с частотой 510⁴ Гц и амплитудой смещения частицы 0,110^-6 м.

Ответ: а) а_max=9,810³ м/с²; б) а_max=8,810³ м/с²; в) а_max=7,810³ м/с²; г) а_max=6,810³ м/с²;

д) а_max=5,810³ м/с².

2.1.171. Определить максимальную скорость частицы воздуха в ультразвуковой волне с частотой 510⁴ Гц и амплитудой смещения частицы 0,110^-6 м.

Ответ: а) v_max=314 м/с; б) v_max=324 м/с; в) v_max=334 м/с; г) v_max=344 м/с; д) v_max=354 м/с.

2.1.172. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии =4 см, в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину  бегущей волны.

Ответ: а) =0,48 м; б) =0,58 м; в) =0,68 м; г) =0,78 м; д) =0,88 м.

2.1.173. Звуковые колебания, имеющие частоту =500 Гц и амплитуду А=0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина звуковой волны =70 см. Найти максимальную скорость частиц воздуха.

Ответ: а) v_max=0,885 м/с; б) v_max=0,785 м/с; в) v_max=0,985 м/с; г) v_max=0,685 м/с;

д) v_max=0,585 м/с.

2.1.174. Определить разность фаз  колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 2 м от источника. Частота колебаний =5 Гц, скорость распространения волн v=40 м/с.

Ответ: а) =1,67 рад; б) =1,57 рад; в) =1,47 рад; г) =1,37 рад; д) =1,27 рад.

2.1.175. Волны распространяются в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту колебаний.

Ответ: а) =70 с^-1; б) =50 с^-1; в) =30 с^-1; г) =20 с^-1; д) =10 с^-1.

2.1.176. Определить скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз  колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна 60⁰. частота колебаний =25 Гц.

Ответ: а) v=19 м/с; б) v=17 м/с; в) v=15 м/с; г) v=13 м/с; д) v=11 м/с.

2.1.177. От источника колебаний распространяются волны вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний А=10 см. Как велико смещение точки, удаленной от источника на ¾ длины волны в момент, когда от начала колебаний источника прошло время t=0,9T?

Ответ: а) y=7,88 см; б) y=6,88 см; в) y=5,88 см; г) y=4,88 см; д) y=3,88 см.

2.1.178. Волны с периодом T=1,2 с и амплитудой колебаний А=2 см распространяются со скоростью v=15 м/с. Чему равно численное значение смещения точки y, находящейся на расстоянии 45 м от источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время t=4 с?

Ответ: а) y=1,43 см; б) y=1,53 см; в) y=1,63 см; г) y=1,73 см; д) y=1,83 см.

2.1.179. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 50 м/с. Период колебаний T=0,05 с, расстояние между точками x=50 см. найти разность фаз  колебаний в этих точках.

Ответ: а) =0,156 рад; б) =0,146 рад; в) =0,136 рад; г) =0,126 рад; д) =0,116 рад.

2.1.180. Интенсивность звука I=10^-4 Вт/см². Определить среднюю плотность энергии звуковой волны, если звук распространяется в сухом воздухе при температуре t=0 ⁰С.

Ответ: а) <>=710^-3 Дж/м³; б) <>=610^-3 Дж/м³; в) <>=510^-3 Дж/м³; г) <>=410^-3 Дж/м³; д) <>=310^-3 Дж/м³.

2.1.2. Задачи III-го уровня сложности

2.2.01. Тело массой m=5 кг поднимают с ускорением а=2 м/с². Определить работу силы в течение первых пяти секунд.

Ответ: а) А=1,78 кДж; б) А=1,68 кДж; в) А=1,58 кДж; г) А=1,48 кДж; д) А=1,38 кДж.

2.2.02. Автомобиль массойm=1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути (рис. 2.61). Определить работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1.

Ответ: а) А=15,5 кДж; б) А=14,5 кДж; в) А=13,5 кДж; г) А=12,5 кДж; д) А=11,5 кДж.

2.2.03. Определить работу, совершаемую при подъеме груза массойm=50 кг по наклонной плоскости с углом наклона =30⁰ к горизонту на расстояние S=4 м, если время подъема t=2 с, а коэффициент трения =0,06 (рис. 2.62).

Ответ: а) А=1,88 кДж; б) А=1,78 кДж; в) А=1,68 кДж; г) А=1,58 кДж; д) А=1,48 кДж.

2.2.04. Автомобиль массой m=2000 кг останавливается за t=6 с, пройдя расстояние S=30 м. Определить начальную скорость автомобиля.

Ответ: а) v₀=16 м/с; б) v₀=14 м/с; в) v₀=12 м/с; г) v₀=10 м/с; д) v₀=8 м/с.

2.2.05. Автомобиль массой m=2000 кг останавливается за t=6 с, пройдя расстояние S=30 м. Определить силу торможения.

Ответ: а) Fт=3,13 Н; б) Fт=3,23 Н;

в) Fт=3,33 Н; г) Fт=3,63 Н; д) Fт=3,53 Н.

2.2.06. Ядро массой m=5 кг бросают под углом =60⁰ к горизонту, затрачивая при этом работу 500 Дж (рис. 2.63). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить через сколько времени ядро упадет на Землю?

Ответ: а) t=2,4 с; б) t=2,5 с; в) t=2,6 с; г) t=2,7 с; д) t=2,8 с.

2.2.07. Ядро массой m=5 кг бросают под углом =60⁰ к горизонту, затрачивая при этом работу 500 Дж (рис. 2.63). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить какое расстояние по горизонтали оно пролетит?

Ответ: а) =17,6 м; б) =16,6 м; в) =15,6 м; г) =14,6 м; д) =13,6 м.

2.2.08. Вентилятор вращается с частотой n=600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=50 оборотов, остановился. Работа сил торможения А=31,4 Дж. Определить момент сил торможения.

Ответ: а) M=0,1 Нм; б) M=0,3 Нм; в) M=0,5 Нм; г) M=0,7 Нм; д) M=0,9 Нм.

2.2.09. Вентилятор вращается с частотой n=600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=50 оборотов, остановился. Работа сил торможения А=31,4 Дж. Определить момент инерции вентилятора.

Ответ: а) I=16,9 кгм²; б) I=15,9 кгм²; в) I=14,9 кгм²; г) I=13,9 кгм²; д) I=11,9 кгм².

2.2.10. К ободу однородного сплошного диска радиусомR=0,5 м приложена постоянная касательная сила F=100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения M_тр=2 Нм (рис. 2.64). Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение  постоянно и равно 16 рад/с².

Ответ: а) m=28 кг; б) m=26 кг; в) m=24 кг; г) m=22 кг; д) m=20 кг.

2.2.11. Тело массойm=5 кг падает с высоты h=20 м. Определить сумму потенциальной и кинетической энергий тела в точке, находящейся от поверхности Земли на высоте h₁=5 м (рис. 2.65). Трением тела о воздух пренебречь.

Ответ: а) W=951 Дж; б) W=961 Дж; в) W=971 Дж;

г) W=981 Дж; д) W=991 Дж.

2.2.12. Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Землей обладает импульсом p=100 кгм/с и кинетической энергией W_k=500 Дж. Определить с какой высоты тело падало.

Ответ: а) h=9,1 м; б) h=8,1 м; в) h=7,1 м; г) h=6,1 м; д) h=5,1 м.

2.2.13. Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Землей обладает импульсом p=100 кгм/с и кинетической энергией W_k=500 Дж. Определить массу тела.

Ответ: а) m=10 кг; б) m=12 кг; в) m=14 кг; г) m=16 кг; д) m=18 кг.

2.2.14. С башни высотой H=20 м горизонтально со скоростью v₀=10 м/с брошен камень массой m=400 г (рис. 2.66). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t=1 с после начала движения кинетическую энергию.

Ответ: а)W_k=59,2 Дж; б) W_k=39,2 Дж;

в) W_k=49,2 Дж; г) W_k=69,2 Дж; д) W_k=29,2 Дж.

2.2.15. С башни высотой H=20 м горизонтально со скоростью v₀=10 м/с брошен камень массой m=0,4 кг (рис. 2.66). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t=1 с после начала движения потенциальную энергию.

Ответ: а) W_p=55,2 Дж; б) W_p=57,2 Дж; в) W_p=59,2 Дж; г) W_p=61,2 Дж; д) W_p=63,2 Дж.

2.2.16. Материальная точка массой m=20 г движется по окружности радиусом R=10 см с постоянным тангенциальным ускорением. К концу пятого оборота после начала движения кинетическая энергия материальной точки оказалась равной 6,3 мДж. Определить тангенциальное ускорение.

Ответ: а) a_t=0,4 м/с²; б) a_t=0,2 м/с²; в) a_t=0,3 м/с²; г) a_t=0,1 м/с²; д) a_t=0,5 м/с².

2.2.17. Тело массой m=70 кг движется под действием постоянной силы F=63 Н. Определить, на каком пути S скорость этого тела возрастет в три раза по сравнению с моментом времени, когда скорость тела была равна v₀=1,5 м/с.

Ответ: а) S=18 м; б) S=16 м; в) S=14 м; г) S=12 м; д) S=10 м.

2.2.18. Полый тонкостенный цилиндр массойm=0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее (рис. 2.67). Скорость цилиндра до удара о стенку v₁=1,4 м/с, после удара u₁=1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

Ответ: а) Q=0,88 Дж; б) Q=0,78 Дж; в) Q=0,68 Дж; г) Q=0,58 Дж; д) Q=0,48 Дж.

2.2.19. К ободу однородного сплошного диска массойm=10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F=30 Н. Определить кинетическую энергию диска через время t=4 с после начала действия силы.

Ответ: а) W_k=1,84 кДж; б) W_k=1,74 кДж; в) W_k=1,64 кДж; г) W_k=1,44 кДж; д) W_k=1,34 кДж.

2.2.20. Груз подвешенный к спиральной пружине, совершает гармонические колебательные движения по вертикали с амплитудой А=6 см (рис. 2.68). Определить полную энергию колебаний груза, если жесткость пружины k=500 Н/м.

Ответ: а) W=0,6 Дж; б) W=0,7 Дж; в) W=0,8 Дж;

г) W=0,9 Дж; д) W=1,0 Дж.

2.2.21. Автомобиль массой m=1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути. Определить развиваемую двигателем автомобиля мощность на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1 и, что этот путь был преодолен за 5 мин.

Ответ: а) N=18,3 кВт; б) N=28,3 кВт; в) N=38,3 кВт; г) N=48,3 кВт; д) N=58,3 кВт.

2.2.22. Поезд массой m=600 т движется под гору с уклоном =0,3⁰ и за время t=1 мин развивает скорость v=18 км/ч. Коэффициент трения =0,01. Определить среднюю мощность локомотива.

Ответ: а) <N>=199 кВт; б) <N>=197 кВт; в) <N>=195 кВт;

г) <N>=193 кВт; д) <N>=191 кВт.

2.2.23. Тепловоз тянет поезд, масса которого равна 2000 т. Принимая, что мощность тепловоза постоянна и равна 1800 кВт и что коэффициент силы тяги равен 0,005, определить ускорение поезда, когда скорость его 12 м/с.

Ответ: а) а=0,016 м/с²; б) а=0,026 м/с²; в) а=0,036 м/с²; г) а=0,046 м/с²; д) а=0,056 м/с².

2.2.24. Тепловоз тянет поезд, общая масса которого 2000 т. Принимая, что мощность тепловоза постоянна и равна 1800 кВт и что коэффициент силы тяги равен 0,005, определить максимальную скорость поезда.

Ответ: а) v_max=56 км/ч; б) v_max=66 км/ч; в) v_max=76 км/ч; г) v_max=86 км/ч; д) v_max=96 км/ч.

2.2.25. Автомобиль движется вверх по слабому подъему с установившейся скоростью 3 м/с; если он движется в обратном направлении, т.е. под уклон, то при той же мощности двигателя автомобиля установившееся скорость равна 7 м/с. Какую скорость будет иметь автомобиль при той же мощности двигателя, если он будет двигаться по горизонтальному шоссе? (При указанных скоростях принять, что сила тяги не зависит от скорости).

Ответ: а) v_г=4,2 м/с; б) v_г=4,4 м/с; в) v_г=4,6 м/с; г) v_г=4,8 м/с; д) v_г=5,0 м/с.

2.2.26. Конькобежец движется по горизонтальному пути равномерно, а затем с разгона проезжает до остановки путь S=60 м в течение t=25 с. Масса конькобежца 50 кг. Определить, считая движение с разгона равнозамедленным мощность, затрачиваемую конькобежцем при равномерном движении.

Ответ: а) N=46 Вт; б) N=44 Вт; в) N=42 Вт; г) N=40 Вт; д) N=38 Вт.

2.2.27. Какова мощность воздушного потока сечением S=0,55 м² при скорости воздуха 20 м/с и нормальных условиях?

Ответ: а) N=2,14 кВт; б) N=2,24 кВт; в) N=2,44 кВт; г) N=2,64 кВт; д) N=2,84 кВт.

2.2.28. Материальная точка массой m=2 кг двигалась под действием некоторой силы, направленной вдоль оси Ox согласно уравнению x=10-2t+t²-0,2t³. Найти мощность, затрачиваемую на движение точки в момент времени t=2 с.

Ответ: а) N=0,38 Вт; б) N=0,36 Вт; в) N=0,34 Вт; г) N=0,32 Вт; д) N=0,30 Вт.

2.2.29. Материальная точка массой m=2 кг двигалась под действием некоторой силы, направленной вдоль оси Ox согласно уравнению x=10-2t+t²-0,2t³. Найти мощность, затрачиваемую на движение точки в момент времени t=5 с.

Ответ: а) N=60 Вт; б) N=58 Вт; в) N=56 Вт; г) N=54 Вт; д) N=52 Вт.

2.2.30. Вертолет массой m=3 т висит в воздухе. Определить мощность, расходуемую на поддержание вертолета в этом положении, если диаметр ротора d=8 м. При расчете принять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора.

Ответ: а) N=311 кВт; б) N=313 кВт; в) N=315 кВт; г) N=317 кВт; д) N=319 кВт.

2.2.31. Лодка неподвижно стоит на озере. На корме и на носу лодки на расстоянии 2 м друг от друга сидят рыболовы. Масса лодки-140 кг, масса рыболовов – 70 кг и 40 кг. Рыболовы меняются местами. Определить перемещение лодки.

Ответ: а) =0,12 м; б) =0,14 м; в) =0,16 м; г) =0,18 м; д) =0,20 м.

2.2.32. Через два маленьких неподвижных блока, оси которых горизонтальны и находятся на одной высоте на расстоянии ℓ=90 см друг от друга, перекинута нить (рис. 2.69). К концам и к середине нити привязаны три одинаковых груза. Средний груз поднимают так, чтобы нить была горизонтальна и чтобы он находился посередине между блоками, и отпускают, после чего средний груз опускается, а крайние поднимаются. С какой скоростью двигаются грузы в тот момент, когда части нити образуют угол α=120⁰?

Ответ: а) v₁=1,46 м/с; v₂=0,4 м/с; б) v₁=1,36 м/с; v₂=0,4 м/с;

в) v₁=1,36 м/с; v₂=0,8 м/с; г) v₁=1,26 м/с; v₂=0,6 м/с; д) v₁=1,56 м/с; v₂=0,8 м/с.

2.2.33. Через два маленьких неподвижных блока, оси которых горизонтальны и находятся на одной высоте на расстоянии 90 см друг от друга, перекинута нить. К концам и к середине нити привязаны три одинаковых груза (рис. 2.69). Средний груз поднимают так, чтобы нить была горизонтальна и чтобы он находился посередине между блоками, и отпускают, после чего средний груз опускается, а крайние поднимаются. Какой путь пройдет средний груз прежде, чем начать подниматься?

Ответ: а) =1,4 м; б) =1,2 м; в) =1,0 м; г) =0,8 м; д) =0,6 м.

2.2.34. Тело брошено под углом=45⁰ со скоростью v₀=15 м/с (рис. 2.70). Используя закон сохранения энергии, определить скорость тела в высшей точке его траектории.

Ответ: а) v=13,6 м/с; б) v=12,6 м/с; в) v=11,6 м/с; г) v=10,6 м/с; д) v=9,6 м/с.

2.2.35. Спортсмен с высоты h=12 м падает на упругую сетку. Пренебрегая массой сетки, определить во сколько раз наибольшая сила давления спортсмена на сетку больше его силы тяжести, если прогиб сетки под действием силы тяжести спортсмена x₀=15 см.

Ответ: а) n=15,7 раза; б) n=14,7 раза; в) n=13,7 раза; г) n=12,7 раза; д) n=11,7 раза.

2.2.36. Два цилиндра массамиm₁=150 г и m₂=300 г, соединены сжатой пружиной, разошлись при внезапном освобождении пружины в разные стороны (рис. 2.71). Пренебрегая силами сопротивления и учитывая, что кинетическая энергия упругой деформации пружины составляет 1,8 Дж, определить скорость v₁ движения первого цилиндра.

Ответ: а) v₁=3 м/с; б) v₁=4 м/с; в) v₁=5 м/с; г) v₁=6 м/с; д) v₁=7 м/с.

2.2.37. Два цилиндра массами m₁=150 г и m₂=300 г, соединены сжатой пружиной, разошлись при внезапном освобождении пружины в разные стороны (рис. 2.71). Пренебрегая силами сопротивления и учитывая, что кинетическая энергия упругой деформации пружины составляет 1,8 Дж, определить скорость v₂ движения второго цилиндра.

Ответ: а) v₂=2 м/с; б) v₂=3 м/с; в) v₂=4 м/с; г) v₂=5 м/с; д) v₂=6 м/с.

2.2.38. Шарик из некоторого материала, падая с высоты h=0,9 м, несколько раз отскакивает от пола. Определить коэффициент восстановления материала шарика при ударе о пол, если с момента падения до второго удара прошло время t=1 с.

Ответ: а) k=0,57; б) k=0,67; в) k=0,77;

г) k=0,87; д) k=0,97.

2.2.39. Определить, во сколько раз уменьшится скорость шара движущегося со скоростью v₁, при его соударении с покоящимся шаром, масса которого в 5 раз больше массы налетающего шара. Удар считать центральным абсолютно упругим (рис. 2.72).

Ответ: а) N=1,9 раза; б) N=1,7 раза; в) N=1,5 раза; г) N=1,3 раза; д) N=1,1 раза.

2.2.40. Два шара массамиm₁=9 кг и m₂=12 кг подвешены на нитях длиной =1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол =30⁰ и отпустили (рис. 2.73). Считая удар неупругим, определить высоту, на которую поднимутся оба шара после удара.

Ответ: а) h=3,1 см; б) h=3,3 см; в) h=3,5 см; г) h=3,7 см; д) h=3,9 см.

2.2.41. Два шара массами m₁=200 г и m₂=400 г подвешены на нитях длиной =67,5 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем первый шар отклонили от положения равновесия на угол =60⁰ и отпустили (рис. 2.73). Считая удар упругим, определить на какую высоту поднимется второй шар после удара.

Ответ: а) h=23 см; б) h=21 см; в) h=19 см; г) h=17 см; д) h=15 см.

2.2.42. Два шара массами m₁=3 кг и m₂=2 кг подвешены на нитях длиной =1 м (рис. 2.74). Первоначально шары соприкасаются между собой, затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол =60⁰ и отпустили. Считая удар упругим, определить скорость второго шара после удара.

Ответ: а) u₂=3,76 м/с; б) u₂=3,66 м/с; в) u₂=3,56 м/с; г) u₂=3,46 м/с; д) u₂=3,36 м/с.

2.2.43. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной=2,5 м и массой m=8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система обладает моментом инерции I=10 кгм² и вращается с частотой n₁=12 мин^-1. Определить частоту вращения n₂ системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение (рис. 2.75).

Ответ: а) n₂=22 мин^-1; б) n₂=20 мин^-1; в) n₂=18 мин^-1; г) n₂=16 мин^-1;

д) n₂=14 мин^-1.

2.2.44. Два вагона массами m=15 т движутся навстречу друг другу со скоростями v=3 м/с и сталкиваются между собой. Определить сжатие пружины буферов вагонов, если известно, что сила пропорциональна деформации и под действием силы F=50 кН пружина сжимается на =1 см.

Ответ: а) =14,6 см; б) =12,6 см; в) =11,6 см; г) =10,6 см; д) =9,6 см.

2.2.45. На горизонтально расположенной пружине жесткостью k=800 Н/м укреплен шар массой М=4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения (рис. 2.76). Пуля массой m=10 г, летящая с горизонтальной скоростью v₀=600 м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить амплитуду колебаний шара.

Ответ: а) А=16 см; б) А=14 см; в) А=12 см; г) А=10 см; д) А=8 см.

2.2.46. На горизонтально расположенной пружине жесткостью k=800 Н/м укреплен шар массой М=4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения (рис. 2.76). Пуля, масса которой m=10 г, летящая с горизонтальной скоростью v₀=600 м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить период колебаний шара.

Ответ: а) Т=0,411 с; б) Т=0,413 с; в) Т=0,415 с; г) Т=0,417 с; д) Т=0,419 с.

2.2.47. Тело массойm=1 кг скользит без трения по гладкому горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку массой М=5 кг. Высота горки h=1,2 м (рис. 2.77). Трение между горкой и столом отсутствует. Найти модуль конечной скорости тела. Начальная скорость тела v₀=5 м/с.

Ответ: а) u₁=3,63 м/с; б) u₁=3,53 м/с; в) u₁=3,43 м/с; г) u₁=3,33 м/с; д) u₁=3,23 м/с.

2.2.48. Тело массой m=1 кг скользит без трения по гладкому горизонтальному столу и въезжает на подвижную горку. Масса горки М=5 кг. Высота горки 1,2 м (рис. 2.77). Трение между горкой и столом отсутствует. Найти конечную скорость горки. Начальная скорость тела v₀=5 м/с.

Ответ: а)u₂=1,47 м/с; б) u₂=1,57 м/с; в) u₂=1,67 м/с;

г) u₂=1,77 м/с; д) u₂=1,87 м/с.

2.2.49. Лента горизонтального транспортера (рис. 2.78) движется со скоростью u=0,5 м/с. На ленту, касаясь ее, влетает шайба с начальной скоростью v₀=2,1 м/с, перпендикулярной краю ленты. Найти ширину ленты, при которой шайба остановится на ее краю, если коэффициент трения между шайбой и лентой =0,75.

Ответ: а) =0,21 м; б) =0,31 м; в) =0,41 м; г) =0,51 м; д) =0,61 м.

2.2.50. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня=1 м (рис. 2.79). Найти скорость пули, если известно, что стержень отклонился после удара пули на угол =10⁰.

Ответ: а) v=550 м/с; б) v=560 м/с; в) v=570 м/с; г) v=580 м/с; д) v=590 м/с.

2.2.51. В детском пистолете шарик кладут на пружинку, укрепленную внутри ствола (рис. 2.80). Пружинку сжимают на длину=5 см, а потом отпускают, направив ствол вертикально вверх. Шарик взлетает на высоту h=0,5 м. Какое максимальное ускорение приобрел шарик? Шарик отрывается от пружины в тот момент, когда она полностью распрямится. Трением, сопротивлением воздуха и массой пружины пренебречь.

Ответ: а) а=186,2 м/с²; б) а=186,2 м/с²; в) а=176,2 м/с²; г) а=166,2 м/с²; д) а=156,2 м/с².

2.2.52. Два неупругих шара массамиm₁=2 кг и m₂=3 кг движутся со скоростями соответственно v₁=8 м/с и v₂=4 м/с. Определить увеличение U внутренней энергии шаров при их столкновении, если меньший шар нагоняет больший (рис. 2.81).

Ответ: а) U=10,6 Дж; б) U=9,6 Дж; в) U=8,6 Дж; г) U=7,6 Дж; д) U=6,6 Дж.

2.2.53. Два неупругих шара массамиm₁=2 кг и m₂=3 кг движутся со скоростями соответственно v₁=8 м/с и v₂=4 м/с (рис. 2.82). Определить увеличение U внутренней энергии шаров при их столкновении, если шары движутся навстречу друг другу.

Ответ: а) U=90,4 Дж; б) U=88,4 Дж; в) U=86,4 Дж;

г) U=84,4 Дж; д) U=82,4 Дж.

2.2.54. Шар массой m₁=2 кг, летящий со скоростью v₁=5 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂=8 кг. Удар прямой, неупругий. Определить долю w кинетической энергии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров.

Ответ: а) w=0,90; б) w=0,85; в) w=0,80; г) w=0,75; д) w=0,70.

2.2.55. Шар массой m₁=8 кг, летящий со скоростью v₁=5 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂=2 кг. Удар прямой, неупругий. Определить долю w кинетической энергии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров.

Ответ: а) w=0,35; б) w=0,30; в) w=0,25; г) w=0,20; д) w=0,15.

2.2.56. Шар массой m₁=2 кг налетает на покоящийся шар массой m₂=8 кг. Импульс движущегося шара p₁=10 кгм/с. Удар шаров прямой, упругий. Определить непосредственно после удара изменение импульса первого шара p₁.

Ответ: а) p₁=-10 кгм/с; б) p₁=-12 кгм/с; в) p₁=-14 кгм/с;

г) p₁=-16 кгм/с; д) p₁=-18 кгм/с.

2.2.57. Шар массой m₁=2 кг налетает на покоящийся шар массой m₂=8 кг. Импульс движущегося шара p₁=10 кгм/с. Удар шаров прямой, упругий. Определить непосредственно после удара изменение кинетической энергии W₁ первого шара.

Ответ: а) W₁=12 Дж; б) W₁=13 Дж; в) W₁=14 Дж; г) W₁=15 Дж; д) W₁=16 Дж.

2.2.58. Шар массой m₁=2 кг налетает на покоящийся шар массой m₂=8 кг. Импульс движущегося шара p₁=10 кгм/с. Удар шаров прямой, упругий. Определить непосредственно после удара долю w кинетической энергии, переданной первым шаром второму шару.

Ответ: а) w=0,70; б) w=0,68; в) w=0,66; г) w=0,64; д) w=0,62.

2.2.59. Шар массой m₁=6 кг налетает на покоящийся шар массой m₂=4 кг. Импульс движущегося шара p₁=5 кгм/с. Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после удара изменение импульса первого шара p₁.

Ответ: а) p₁=-4,0 кгм/с; б) p₁=-3,5 кгм/с; в) p₁=-3 кгм/с;

г) p₁=-2,5 кгм/с; д) p₁=-2,0 кгм/с.

2.2.60. Шар массой m₁=6 кг налетает на покоящийся шар массой m₂=4 кг. Импульс движущегося шара p₁=5 кгм/с. Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после удара изменение кинетической энергии W₁ первого шара.

Ответ: а) W₁=1,33 Дж; б) W₁=1,43 Дж; в) W₁=1,53 Дж;

г) W₁=1,63 Дж; д) W₁=1,73 Дж.

2.2.61. Шар массой m₁=6 кг налетает на покоящийся шар массой m₂=4 кг. Импульс движущегося шара p₁=5 кгм/с. Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после удара долю w₁ кинетической энергии, переданной первым шаром второму шару.

Ответ: а) w₁=0,22; б) w₁=0,24; в) w₁=0,26; г) w₁=0,28; д) w₁=0,30.

2.2.62. Шар массой m₁=6 кг налетает на покоящийся шар массой m₂=4 кг. Импульс движущегося шара p₁=5 кгм/с. Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после удара долю w₂ кинетической энергии, оставшейся у первого шара.

Ответ: а) w₂=0,56; б) w₂=0,46; в) w₂=0,36; г) w₂=0,26; д) w₂=0,16.

2.2.63. Шар массой m₁=6 кг налетает на покоящийся шар массой m₂=4 кг. Импульс движущегося шара p₁=5 кгм/с. Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после удара изменение внутренней энергии шаров U.

Ответ: а) U=0,893 Дж; б) U=0,873 Дж; в) U=0,853 Дж;

г) U=0,833 Дж; д) U=0,813 Дж.

2.2.64. Шар массой m₁=6 кг налетает на покоящийся шар массой m₂=4 кг. Импульс движущегося шара p₁=5 кгм/с. Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после удара долю w кинетической энергии первого шара, перешедшей во внутреннюю энергию шаров.

Ответ: а) w=0,60; б) w=0,55; в) w=0,50; г) w=0,45; д) w=0,40.

2.2.65. Шар массой m=1,8 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы M. В результате прямого упругого удара шар потерял w=0,36 своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.

Ответ: а) M=20,2 кг; б) M=19,2 кг; в) M=18,2 кг; г) M=17,2 кг;

д) M=16,2 кг.

2.2.66. Частица массой m₁=10^-24 г имеет кинетическую энергию W₁=910^-9 Дж. В результате упругого столкновения с покоящейся частицей массой m₂=410^-24 г она сообщает ей кинетическую энергию W₂=510^-9 Дж. Определить угол , на который отклонится частица от своего первоначального направления.

Ответ: а) =150⁰; б) =148⁰; в) =146⁰; г) =144⁰; д) =142⁰.

2.2.67. Два шара массами m и 4m движутся в одном направлении, имея одинаковые кинетические энергии (W₁=W₂=100 Дж). Определить непосредственно после удара кинетическую энергию W₂^' второго (большего) шара.

Ответ: а) W₂^'=164 Дж; б) W₂^'=154 Дж; в) W₂^'=144 Дж; г) W₂^'=134 Дж; д) W₂^'=124 Дж.

2.2.68. Два шара массами m и 4m движутся в одном направлении, имея одинаковые кинетические энергии (W₁=W₂=100 Дж). Определить непосредственно после изменение U внутренней энергии шаров. Удар считать прямым, центральным, неупругим.

Ответ: а) U=18 Дж; б) U=20 Дж; в) U=22 Дж; г) U=24 Дж;

д) U=26 Дж.

2.2.69. Два шара массами m и 4m движутся в одном направлении, имея одинаковые кинетические энергии (W₁=W₂=200 Дж). Определить непосредственно после удара кинетическую энергию W₁^' первого (меньшего) шара. Удар считать центральным, неупругим.

Ответ: а) W₂^'=8 Дж; б) W₂^'=10 Дж; в) W₂^'=12 Дж; г) W₂^'=14 Дж;

д) W₂^'=16 Дж.

2.2.70. Два шара массами m и 4m движутся в одном направлении, имея одинаковые кинетические энергии (W₁=W₂=200 Дж). Определить непосредственно после удара изменение U внутренней энергии шаров. Удар считать центральным, неупругим.

Ответ: а) U=370 Дж; б) U=360 Дж; в) U=350 Дж; г) U=340 Дж; д) U=330 Дж.

2.2.71. Кинетические энергии двух шаров, движущихся в одном направлении, соответственно равны W₁=400 Дж и W₂=100 Дж. Определить непосредственно после прямого, центрального, неупругого удара изменение W₁ кинетической энергии первого шара.

Ответ: а) W₁=-155 Дж; б) W₁=-165 Дж; в) W₁=-175 Дж;

г) W₁=-185 Дж; д) W₁=-195 Дж.

2.2.72. Кинетические энергии двух шаров, движущихся в одном направлении, соответственно равны W₁=400 Дж и W₂=100 Дж. Определить непосредственно после прямого, центрального, неупругого удара изменение W₂ кинетической энергии второго шара.

Ответ: а) W₂=155 Дж; б) W₂=145 Дж; в) W₂=135 Дж; г) W₂=125 Дж;

д) W₂=115 Дж.

2.2.73. Кинетические энергии двух шаров, движущихся в одном направлении, соответственно равны W₁=400 Дж и W₂=100 Дж. Определить непосредственно после прямого, центрального, неупругого удара изменение U внутренней энергии шаров.

Ответ: а) U=10 Дж; б) U=20 Дж; в) U=30 Дж; г) U=40 Дж; д) U=50 Дж.

2.2.74. Кинетические энергии двух шаров, движущихся навстречу друг другу, соответственно равны W₁=400 Дж и W₂=100 Дж. Определить непосредственно после прямого, центрального, неупругого удара изменение W₁ кинетической энергии первого шара.

Ответ: а) W₁=-335 Дж; б) W₁=-345 Дж; в) W₁=-355 Дж;

г) W₁=-365 Дж; д) W₁=-375 Дж.

2.2.75. Кинетические энергии двух шаров, движущихся навстречу друг другу, соответственно равны W₁=400 Дж и W₂=100 Дж. Определить непосредственно после прямого, центрального, неупругого удара изменение W₂ кинетической энергии второго шара.

Ответ: а) W₂=-45 Дж; б) W₂=-55 Дж; в) W₂=-65 Дж; г) W₂=-75 Дж; д) W₂=-85 Дж.

2.2.76. Кинетические энергии двух шаров, движущихся навстречу друг другу, соответственно равны W₁=400 Дж и W₂=100 Дж. Определить непосредственно после прямого, центрального, неупругого удара изменение U внутренней энергии шаров.

Ответ: а) U=480 Дж; б) U=470 Дж; в) U=460 Дж; г) U=450 Дж; д) U=440 Дж.

2.2.77. Шар массой m налетает на другой шар массой 4m, движущейся в том же направлении. Кинетические энергии шаров до удара одинаковы (W₁=W₂=250 Дж). Удар шаров прямой, центральный, упругий. Определить непосредственно после удара изменение кинетической энергий второго шара W₂^'.

Ответ: а) W₂=220 Дж; б) W₂=230 Дж; в) W₂=240 Дж; г) W₂=250 Дж;

д) W₂=260 Дж.

2.2.78. Шар массой m налетает на другой шар массой 4m, движущейся в том же направлении. Кинетические энергии шаров до удара одинаковы (W₁=W₂=250 Дж). Удар шаров прямой, центральный, упругий. Определить непосредственно после удара кинетическую энергию W₁^' первого шара.

Ответ: а) W₁^'=14 Дж; б) W₁^'=12 Дж; в) W₁^'=10 Дж; г) W₁^'=8 Дж; д) W₁^'=6 Дж.

2.2.79. Шар массой m налетает на другой шар массой 4m, движущейся в том же направлении. Кинетические энергии шаров до удара одинаковы (W₁=W₂=250 Дж). Удар шаров прямой, центральный, упругий. Определить непосредственно после удара кинетическую энергию W₂^' второго шара.

Ответ: а) W₂^'=250 Дж; б) W₂^'=240 Дж; в) W₂^'=230 Дж; г) W₂^'=220 Дж; д) W₂^'=210 Дж.

2.2.80. Шар массой m налетает на другой шар массой 4m, движущейся в том же направлении. Кинетические энергии шаров до удара одинаковы (W₁=W₂=250 Дж). Удар шаров прямой, центральный, упругий. Определить непосредственно после удара изменение кинетической энергий первого шара W₁^'.

Ответ: а) W₁=500 Дж; б) W₁=490 Дж; в) W₁=480 Дж; г) W₁=470 Дж;

д) W₁=460 Дж.

2.2.81. Шар массой m налетает на другой шар массой 4m, движущейся ему навстречу. Кинетические энергии шаров до удара одинаковы (W₁=W₂=250 Дж). Удар шаров прямой, центральный, упругий. Определить непосредственно после удара изменение кинетической энергий второго шара W₂^'.

Ответ: а) W₂=-240 Дж; б) W₂=-250 Дж; в) W₂=-260 Дж; г) W₂=-270 Дж; д) W₂=-280 Дж.

2.2.82. Шар массой m налетает на другой шар массой 4m, движущейся ему навстречу. Кинетические энергии шаров до удара одинаковы (W₁=W₂=250 Дж). Удар шаров прямой, центральный, упругий. Определить непосредственно после удара кинетическую энергию W₁^' первого шара.

Ответ: а) W₁^'=450 Дж; б) W₁^'=460 Дж; в) W₁^'=470 Дж; г) W₁^'=480 Дж; д) W₁^'=490 Дж.

2.2.83. Шар массой m налетает на другой шар массой 4m, движущейся ему навстречу. Кинетические энергии шаров до удара одинаковы (W₁=W₂=250 Дж). Удар шаров прямой, центральный, упругий. Определить непосредственно после удара кинетическую энергию W₂^' второго шара.

Ответ: а) W₂^'=12 Дж; б) W₂^'=10 Дж; в) W₂^'=8 Дж; г) W₂^'=6 Дж; д) W₂^'=4 Дж.

2.2.84. Шар массой m налетает на другой шар массой 4m, движущейся ему навстречу. Кинетические энергии шаров до удара одинаковы (W₁=W₂=250 Дж). Удар шаров прямой, центральный, упругий. Определить непосредственно после удара изменение кинетической энергий первого шара W₁^'.

Ответ: а) W₁=270 Дж; б) W₁=260 Дж; в) W₁=250 Дж; г) W₁=240 Дж; д) W₁=230 Дж.

2.2.85. В одном направлении движутся два шара с одинаковыми импульсами (p₁=p₂; |p₁|=10 кгм/с). Считая удар шаров прямым, центральным и упругим, определить импульс p₁^' первого шара после удара, если отношение масс шаров равно четырем.

Ответ: а) p₁^'=3,0 кгм/с; б) p₁^'=2,5 кгм/с; в) p₁^'=2,0 кгм/с; г) p₁^'=1,5 кгм/с; д) p₁^'=1,0 кгм/с.

2.2.86. В одном направлении движутся два шара с одинаковыми импульсами (p₁=p₂; |p₁|=10 кгм/с). Считая удар шаров прямым, центральным и упругим, определить импульс p₂^' второго шара после удара, если отношение масс шаров равно четырем.

Ответ: а) p₂^'=20 кгм/с; б) p₂^'=22 кгм/с; в) p₂^'=24 кгм/с; г) p₂^'=26 кгм/с; д) p₂^'=28 кгм/с.

2.2.87. Два шара с одинаковыми импульсами (p₁=p₂; |p₁|=10 кгм/с) движутся навстречу друг другу. Считая удар шаров прямым, центральным и упругим, определить численное значение импульса p₁^' первого шара после удара, если отношение масс шаров равно четырем.

Ответ: а) p₁^'=10 кгм/с; б) p₁^'=12 кгм/с; в) p₁^'=14 кгм/с; г) p₁^'=16 кгм/с; д) p₁^'=18 кгм/с.

2.2.88. Два шара с одинаковыми импульсами (p₁=-p₂; |p₁|=10 кгм/с) движутся навстречу друг другу. Считая удар шаров прямым, центральным и упругим, определить численное значение импульса p₂^' второго шара после удара, если отношение масс шаров равно четырем.

Ответ: а) p₂^'=18 кгм/с; б) p₂^'=16 кгм/с; в) p₂^'=14 кгм/с; г) p₂^'=12 кгм/с; д) p₂^'=10 кгм/с.

2.2.89. Катер массой m=1,5 т начинает движение по озеру под действием постоянной силы тяги. Определить, через какой промежуток  скорость катера достигнет значения, равного половине максимально достижимой скорости. Принять силу сопротивления пропорциональной скорости катера. Коэффициент сопротивления 100 кг/с.

Ответ: а) =13,4 с; б) =12,4 с; в) =11,4 с; г) =10,4 с; д) =9,4 с.

2.2.90. Моторная лодка массой m=200 кг, достигнув скорости v=8 м/с, стала двигаться далее с выключенным двигателем. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, определить путь, пройденный лодкой за время  с момента выключения двигателя. Коэффициент сопротивления принять равным 25 кг/с.

Ответ: а) S=41,7 м; б) S=43,7 м; в) S=45,7 м; г) S=47,7 м; д) S=49,7 м.

2.2.91. С поверхности Луны стартовала ракета массой m_c=2 т. Спустя время  ракета достигла первой (лунной) космической скорости v₁=1,68 км/с. Определить массовый расход =m_c/ топлива, если скорость истечения газов из сопла ракеты равна u=4 км/с. силой тяжести пренебречь.

Ответ: а) =1,58 кг/с; б) =1,68 кг/с; в) =1,78 кг/с; г) =1,88 кг/с; д) =1,98 кг/с.

2.2.92. Топливо баллистической ракеты составляет =¾ от стартовой массы ракеты. Определить скорость v ракеты после полного сгорания топлива, если скорость u истечения газов из сопла ракеты постоянна и равна 2 км/с. Силой тяжести и сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: а) v=2,77 км/с; б) v=2,67 км/с; в) v=2,57 км/с; г) v=2,47 км/с; д) v=2,37 км/с.

2.2.93. Во сколько раз будет отличаться ускорение ракеты от стартового ускорения а_с в тот момент времени, когда ее скорость v станет равной скорости u истечения газов из сопла ракеты? Силу тяги считать неизменной. Силами тяжести и сопротивления воздуха пренебречь.

Ответ: а) а/а_с=2,82; б) а/а_с=2,72; в) а/а_с=2,62; г) а/а_с=2,52; д) а/а_с=2,42.

2.2.94. Каково относительное изменение (Δm/m_c) массы ракеты (m_с – стартовая масса) к тому времени, когда ее скорость v достигнет скорости u истечения газов из сопла ракеты. Силами тяжести и сопротивления воздуха пренебречь.

Ответ: а) (Δm/m_c)=0,612; б) (Δm/m_c) =0,622;

в) (Δm/m_c) =0,632; г) (Δm/m_c) =0,642; д) (Δm/m_c) =0,652.

2.2.95. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/2.

Ответ: а) =2,31 рад/с; б) =2,41 рад/с; в) =2,51 рад/с; г) =2,61 рад/с; д) =2,71 рад/с.

2.2.96. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/3.

Ответ: а) =1,83 рад/с; б) =1,73 рад/с; в) =1,63 рад/с; г) =1,53 рад/с; д) =1,43 рад/с.

2.2.97. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/4.

Ответ: а) =0,869 рад/с; б) =0,859 рад/с; в) =0,849 рад/с;

г) =0,839 рад/с; д) =0,829 рад/с.

2.2.98. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u нижнего конца стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/2.

Ответ: а) u=1,10 м/с; б) u=1,20 м/с; в) u=1,30 м/с; г) u=1,40 м/с; д) u=1,50 м/с.

2.2.99. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u нижнего конца стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/3.

Ответ: а) u=0,962 м/с; б) u=0,952 м/с; в) u=0,942 м/с; г) u=0,932 м/с; д) u=0,922 м/с.

2.2.100. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 2.83). В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u нижнего конца стержня в начальный момент времени, если расстояние между точками А и О равно а=/4.

Ответ: а) u=0,629 м/с; б) u=0,639 м/с; в) u=0,649 м/с; г) u=0,659 м/с;

д) u=0,669 м/с.

2.2.101. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О. В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности (рис. 2.84). Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  диска в начальный момент времени, если расстояние a=b=R.

Ответ: а) =4,25 рад/с; б) =4,35 рад/с; в) =4,45 рад/с;

г) =4,55 рад/с; д) =4,65 рад/с.

2.2.102. Однородный диск массойm₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  диска в начальный момент времени, если расстояние a=R/2; b=R.

Ответ: а) =2,47 рад/с; б) =2,37 рад/с; в) =2,27 рад/с; г) =2,17 рад/с; д) =2,07 рад/с.

2.2.103. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  диска в начальный момент времени, если расстояние a=2R/3; b=R/2.

Ответ: а) =3,13 рад/с; б) =3,03 рад/с; в) =2,93 рад/с; г) =2,83 рад/с; д) =2,73 рад/с.

2.2.104. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить угловую скорость  диска в начальный момент времени, если расстояние a=R/3; b=2R/3.

Ответ: а) =1,52 рад/с; б) =1,62 рад/с; в) =1,72 рад/с; г) =1,82 рад/с; д) =1,92 рад/с.

2.2.105. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u точки В на диске в начальный момент времени, если расстояние a=b=R.

Ответ: а) u=1,009 м/с; б) u=0,909 м/с; в) u=0,809 м/с; г) u=0,709 м/с; д) u=0,609 м/с.

2.2.106. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью v=10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса шарика m₂=10 г. Определить линейную скорость u точки В на диске в начальный момент времени, если расстояние a=R/2; b=R.

Ответ: а) u=0,474 м/с; б) u=0,464 м/с; в) u=0,454 м/с; г) u=0,444 м/с; д) u=0,434 м/с.

2.2.107. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z), и прилипает к его поверхности. Скорость шарика v=10 м/с, его масса m₂=10 г. Определить линейную скорость u точки В на диске в начальный момент времени, если расстояние a=2R/3; b=R/2.

Ответ: а) u=0,323 м/с; б) u=0,323 м/с; в) u=0,313 м/с; г) u=0,303 м/с; д) u=0,293 м/с.

2.2.108. Однородный диск массой m₁=0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (рис. 2.84). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z), и прилипает к его поверхности. Скорость шарика v=10 м/с, его масса m₂=10 г. Определить линейную скорость u точки В на диске в начальный момент времени, если расстояние a=R/3; b=2R/3.

Ответ: а) u=0,242 м/с; б) u=0,232 м/с; в) u=0,222 м/с; г) u=0,212 м/с; д) u=0,202 м/с.

2.2.109. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусомR=2 м, стоит человек массой m₁=80 кг. Масса платформы m₂=240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью  будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью v=2 м/с относительно платформы (рис. 2.85).

Ответ: а) =0,8 рад/с; б) =0,7 рад/с; в) =0,6 рад/с;

г) =0,5 рад/с; д) =0,4 рад/с.

2.2.110. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m₁=60 кг. На какой угол  повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса платформы m₂=240 кг. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки (рис. 2.85).

Ответ: а) =-135⁰; б) =-130⁰; в) =-125⁰;

г) =-120⁰; д) =-115⁰.

2.2.111. Платформа в виде диска радиусомR=1 м вращается по инерции с частотой ₁=6 мин^-1. На краю платформы стоит человек, масса которого m₂=80 кг (рис. 2.86). С какой частотой  будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы I=120 кгм². Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

Ответ: а) =16 мин^-1; б) =14 мин^-1; в) =12 мин^-1; г) =10 мин^-1;

д) =8 мин^-1.

2.2.112. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной=2,4 м и массой m=8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамьи (рис. 2.87). Скамья с человеком вращается с частотой ₁=1 с^-1. С какой частотой ₂ будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи I=6 кгм².

Ответ: а) ₂=0,41 с^-1; б) ₂=0,51 с^-1; в) ₂=0,61 с^-1;

г) ₂=0,71 с^-1; д) ₂=0,81 с^-1.

2.2.113. Три лодки одинаковой массы m=120 кг идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью v=5 м/с. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью u=2 м/с грузы массой m₁=10 кг (рис. 2.88). Какова будет скорость первой лодки после переброски грузов?

Ответ: а) v₁=5,6 м/с; б) v₁=5,4 м/с; в) v₁=5,2 м/с; г) v₁=5,0 м/с;

д)v₁=4,8 м/с.

2.2.114. Три лодки одинаковой массы m=120 кг идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью v=5 м/с. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью u=2 м/с грузы массой m₁=10 кг (рис. 2.88). Какова будет скорость второй лодки после переброски грузов?

Ответ: а) v₂=4,8 м/с; б) v₂=5,0 м/с; в) v₂=5,2 м/с; г) v₂=5,4 м/с;

д) v₂=5,6 м/с.

2.2.115. Три лодки одинаковой массы m=120 кг идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью v=5 м/с. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью u=2 м/с грузы массой m₁=10 кг (рис. 2.88). Какова будет скорость третьей лодки после переброски грузов?

Ответ: а) v₃=5,0 м/с; б) v₃=4,8 м/с; в) v₃=4,6 м/с; г) v₃=4,4 м/с;

д) v₃=4,2 м/с.

2.2.116. Однородная тонкая пластинка массыm₀=1 кг может свободно вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 2.89). В точку А, находящуюся на расстоянии 2/3а (а=10 см) от оси, нормально к пластинке ударяется шар с массой m=0,5 кг, летевший со скоростью v=2 м/с. Определить угловую скорость пластинки после соударения, которое происходит по закону упругого удара.

Ответ: а) =24 рад/с; б) =26 рад/с; в) =28 рад/с; г) =30 рад/с; д) =32 рад/с.

2.2.117. Однородная тонкая пластинка массы m₀=1 кг может свободно вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 2.89). В точку А, находящуюся на расстоянии 2/3а (а=10 см) от оси, нормально к пластинке ударяется шар с массой m=0,5 кг. Шар летел со скоростью v=2 м/с. Определить линейную скорость шара после соударения, которое происходит по закону упругого удара.

Ответ: а) v₁=0,4 м/с; б) v₁=0,5 м/с; в) v₁=0,6 м/с; г) v₁=0,7 м/с;

д) v₁=0,8 м/с.

2.2.118. Однородный сосновый брус с массой М (плотность сосны=0,510³ кг/м³), длина которого ℓ=300 см, ширина b=25 см и толщина d=10 см, может вращаться около оси АВ, проходящей через один из его концов, параллельной ширине бруса (рис. 2.90). В точку О, отстоящую на расстоянии а=100 см от свободного конца бруса, расположенную по середине его ширины, ударяет горизонтально летящее ядро, массой m=10 кг. Определить начальную скорость ядра v, если брус отклонился на угол =28⁰, а ядро упало на месте удара.

Ответ: а) v=7 м/с; б) v=6 м/с; в) v=5 м/с; г) v=4 м/с; д) v=3 м/с.

2.2.119. Стержень массой М=5 кг и длинойℓ=1 м, который может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси, проходящей через один из его концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтального положения в вертикальное положение (рис. 2.91). Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня упруго ударяет о малое тело массой m=0,1 кг, лежащее на гладком горизонтальном столе. Определить скорость v тела m после удара.

Ответ: а) v=8,2 м/с; б) v=9,2 м/с; в) v=10,2 м/с;

г) v=11,2 м/с; д) v=12,2 м/с.

2.2.120. Стержень массой М=2 кг и длиной ℓ=1 м, который может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси, проходящей через один из его концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтального положения в вертикальное положение (рис. 2.91). Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня упруго ударяет о малое тело массой m=1 кг, лежащее на гладком горизонтальном столе. Определить, на какое расстояние S переместится тело m после удара, если коэффициент трения между телом и столом k=0,4 и не зависит от скорости. Стержень после удара остановился. Тело скользит по столу без вращения.

Ответ: а) S=1,1 м; б) S=1,3 м; в) S=1,5 м; г) S=1,7 м; д) S=1,9 м.

2.2.121. Зависимость потенциальной энергии тела в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается функцией . Определить, при каком значенииr принимает максимальное значение потенциальная энергия тела.

Ответ: а) r=6,0 см; б) r=5,5 см; в) r=5,0 см; г) r=4,5 см; д) r=4 см.

2.2.122. Зависимость потенциальной энергии тела в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается функцией . Определить, при каком значенииr принимает максимальное значение сила, действующая на тело.

Ответ: а) r₁=8 см, r₂=9 см; б) r₁=6 см, r₂=8 см; в) r₁=5 см, r₂=7 см;

г) r₁=4 см, r₂=6 см; д) r₁=2 см, r₂=5 см.

2.2.123. Считая плотность Земли постоянной, определить глубину, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

Ответ: а) h=4,410⁶ м; б) h=4,610⁶ м; в) h=4,810⁶ м; г) h=5,010⁶ м; д) h=5,210⁶ м.

2.2.124. Принимая, что радиус Земли известен, определить, на какой высоте h над поверхностью Земли напряженность поля тяготения равна 4,9 Н/кг.

Ответ: а) h=2,5410⁶ м; б) h=2,6410⁶ м; в) h=2,7410⁶ м; г) h=2,8410⁶ м; д) h=2,9410⁶ м.

2.2.125. Определить, в какой точке (считая от поверхности Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Ответ: а) h=0,9R; б) h=0,7R; в) h=0,5R; г) h=0,3R; д) h=0,1R.

2.2.126. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала соприкасаются друг с другом. Определить, как изменится потенциальная энергия их гравитационного взаимодействия, если массу шаров увеличить в три раза.

Ответ: а) W₂/W₁=6,14; б) W₂/W₁=6,24; в) W₂/W₁=6,34; г) W₂/W₁=6,44; д) W₂/W₁=6,54.

2.2.127. Спутник поднимают на высоту h=6370 км и запускают его по круговой орбите на той же высоте. Определить отношение работ на поднятие (А₁) и на запуск (А₂) спутника.

Ответ: а) А₁/А₂=2,1; б) А₁/А₂=2,3; в) А₁/А₂=2,0; г) А₁/А₂=1,7; д) А₁/А₂=1,4.

2.2.128. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы тело массой m=1000 кг, находящееся на Земле, смогло превратиться в спутник Солнца. Сопротивлением среды пренебречь.

Ответ: а) А=65,6 ГДж; б) А=64,6 ГДж; в) А=63,6 ГДж; г) А=62,6 ГДж; д) А=61,6 ГДж.

2.2.129. Масса Земли в n=81,6 раза больше массы Луны. Расстояние  между центрами масс Земли и Луны равно 60,3R (R – радиус Земли). На каком расстоянии r (в единица R) от центра Земли находится точка, в которой суммарная напряженность гравитационного поля Земли и Луны равна нулю?

Ответ: а) r=58,3R; б) r=57,3R; в) r=56,3R; г) r=55,3R; д) r=54,3R.

2.2.130. Луна движется вокруг Земли со скоростью v₁=1,02 км/с. Среднее расстояние Луны от Земли =60,3R (R – радиус Земли). Определить по этим данным, с какой скоростью v₂ должен двигаться искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на незначительной высоте над ее поверхностью.

Ответ: а) v₂=7,92 км/с; б) v₂=7,82 км/с; в) v₂=7,72 км/с; г) v₂=7,62 км/с; д) v₂=7,52 км/с.

2.2.131. Зная среднюю скорость v₁ движения Земли вокруг Солнца (30 км/с), определить, с какой средней скоростью v₂ движется малая планета, радиус орбиты которой в n=4 раза больше радиуса орбиты Земли?

Ответ: а) v₂=15 км/с; б) v₂=17 км/с; в) v₂=19 км/с; г) v₂=21 км/с; д) v₂=23 км/с.

2.2.132. Космическая ракета, ставшая искусственной планетой, обращается вокруг Солнца по эллипсу. Наименьшее расстояние r_min ракеты от Солнца равно 0,97, наибольшее расстояние r_max равно 1,31 среднего расстояния Земли от Солнца. Определить период вращения (в годах) искусственной планеты.

Ответ: а) T=1,12 года; б) T=1,22 года; в) T=1,32 года; г) T=1,42 года; д) T=1,52 года.

2.2.133. Ближайший спутник Марса находится на расстоянии r=9,410⁶ м от центра планеты и движется вокруг нее со скоростью v=2,1 км/с. Определить массу Марса.

Ответ: а) М=6,1110²³ кг; б) М=6,2110²³ кг; в) М=6,3110²³ кг;

г) М=6,4110²³ кг; д) М=6,5110²³ кг.

2.2.134. Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит, двигаясь вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 2.92). Среднее расстояниеr планеты Марс от Солнца равно 1,5 среднего расстояния Земли от Солнца. В течение какого времени t будет лететь ракета до встречи с Марсом?

Ответ: а) t=275 суток; б) t=265 суток; в) t=255 суток; г) t=245 суток; д) t=235 суток.

2.2.135. Определить значения потенциала  гравитационного поля на поверхности Солнца.

Ответ: а) =-186 ГДж/кг; б) =-188 ГДж/кг; в) =-190 ГДж/кг;

г) =-192 ГДж/кг; д) =-194 ГДж/кг.

2.2.136. Ракета пущена с Земли с начальной скоростью 15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстояние от Земли бесконечно увеличивается? Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кроме Земли, не учитывать.

Ответ: а) v=13 км/с; б) v=12 км/с; в) v=11 км/с; г) v=10 км/с; д) v=8 км/с.

2.2.137. Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую можно считать параболической. С какой скоростью v движется комета, когда она проходит через ближайшую к Солнцу точку своей орбиты (перигей), если расстояние r кометы от Солнца в этот момент равно 50 Гм?

Ответ: а) v=75,6 км/с; б) v=74,6 км/с; в) v=73,6 км/с; г) v=72,6 км/с; д) v=71,6 км/с.

2.2.138. Малая планета в виде шара радиусом R₁, обладающая массой M, создает вокруг себя гравитационной поле (поле тяготения). Концентрическая этой планете поверхность делит пространство на две части (внутреннюю конечную и внешнюю бесконечную) так, что энергия гравитационного поля обеих частей одинакова. Определить радиус R₂ этой сферической поверхности.

Ответ: а) R₂=1,2R₁; б) R₂=1,4R₁; в) R₂=1,6R₁; г) R₂=1,8R₁; д) R₂=2,0R₁.

2.2.139. Две малых планеты радиусами R₁=4 км и R₂=6 км обладают равномерно распределенными по объему массами M₁=210¹⁵ т и M₂=310¹⁵ т. Расстояние ℓ между центрами планет равно 20 км. Определить потенциальную энергию гравитационного поля такой системы с учетом собственной потенциальной энергии планет.

Ответ: а) W=2010²² Дж; б) W=1810²² Дж; в) W=1610²² Дж;

г) W=1410²² Дж; д) W=1210²² Дж.

2.2.140. Найти расстояние между компонентами двойной звезды, если их общая масса М₁+М₂ равна удвоенной массе Солнца М₀ и звезды обращаются по круговым орбитам вокруг их центра масс с периодом Т=2Т₀, где Т₀ – продолжительность земного года. Расстояние от Земли до Солнца R₀=1,510⁸ км.

Ответ: а) R=3,010⁸ км; б) R=3,210⁸ км; в) R=3,410⁸ км; г) R=3,610⁸ км;

д) R=3,810⁸ км.

2.2.141. Среднее время обращения советского корабля-спутника «Восток», на котором Ю.А. Гагарин 12 апреля 1961 г. впервые облетел вокруг земного шара, Т₁=89,2 мин при средней высоте полета над земной поверхностью h=254 км. Ближайший спутник Марса ("Фобос") обращается вокруг планеты за время Т₂=7,65 ч, находясь от центра Марса в среднем на расстоянии R₂=9350 км. Определить отношение массы Марса М₂ к массе Земли М₁, если средний радиус земного шара R=6371 км.

Ответ: а) М₂/М₁=0,09; б) М₂/М₁=0,11; в) М₂/М₁=0,13; г) М₂/М₁=0,15; д) М₂/М₁=0,17.

2.2.142. Искусственный спутник, имеющий форму шара радиусом r=0,5 м, обращается вокруг Земли по круговой орбите на такой высоте (200 км), где плотность атмосферы =10^-13 г/см³. Оценить, на сколько будет снижаться спутник за один оборот вокруг планеты. Плотность вещества спутника ₀=1 г/см³. При решении задачи принять, что скорость сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения спутника.

Ответ: а) R- 12 м; б) R- 10 м; в) R- 8 м; г) R- 6 м; д) R- 4 м.

2.2.143. Легкий спутник, вращаясь по круговой орбите радиуса R=2R_з (R_з=6400 км-радиус Земли), переходит на эллиптическую орбиту приземления, которая касается земной поверхности в точке, диаметрально противоположной точке начала спуска. Сколько времени продлится спуск по эллиптической орбите? Сопротивление воздуха не учитывать (рис. 2.93).

Ответ: а) =4,110³ с; б) =4,310³ с; в) =4,510³ с; г) =4,710³ с; д) =4,910³ с.

2.2.144. Вычислить вторую космическую скорость при старте ракеты с поверхности Юпитера, используя следующие данные. Третий спутник Юпитера («Ганимед») вращается вокруг планеты практически по круговой орбите радиуса R=1,0710⁶ км с периодом обращения Т=7,15 суток. Радиус планеты r=710⁴ км.

Ответ: а) v=40 км/с; б) v=45 км/с; в) v=50 км/с; г) v=55 км/с; д) v=60 км/с.

2.2.145. Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить минимальную работу которую надо затратить, чтобы доставить массу в 1 кг с поверхности Земли на поверхность Луны. Радиус Земли 6400 км, радиус Луны 1740 км. Ускорение свободного падения на Луне, вызванное ее собственным притяжением, составляет g_Л=0,16g_З, где g_З=9,8 м/с² – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Влияние Солнца и других планет не учитывать.

Ответ: а) А=6010⁶ Дж; б) А=5010⁶ Дж; в) А=4010⁶ Дж; г) А=3010⁶ Дж; д) А=2010⁶ Дж.

2.2.146. Вычислить гравитационную постоянную , зная радиус земного шара R, среднюю плотность Земли  и ускорение свободного падения g у поверхности Земли.

Ответ: а) =6,6710^-11 Нм²/кг²; б) =6,5710^-11 Нм²/кг²;

в) =6,4710^-11 Нм²/кг²; г) =6,3710^-11 Нм²/кг²; д) =6,2710^-11 Нм²/кг².

2.2.147. На прямой, перпендикулярной к оси тонкого однородного стержня и проходящей через его центр, находится частица массыm=0,1 кг. Длина стержня ℓ, его масса М=5 кг, расстояние до частицы L=10 м (рис. 2.94). Найти модуль силы, с которой стержень действует на частицу (L>>ℓ).

Ответ: а) F=31,410^-14 Н; б) F=33,410^-14 Н; в) F=35,410^-14 Н;

г)F=37,410^-14 Н; д) F=39,410^-14 Н.

2.2.148. Имеется тонкий однородный диск радиуса R=0,5 м. Поверхностная плотность диска равна =2,0 кг/м². На прямой, проходящей через центр диска перпендикулярно к нему, на расстоянии x=5 м находится частица массы m=0,1 кг (рис. 2.95). Найти силу F, с которой диск притягивает частицу.

Ответ: а) F=0,05410^-11 Н; б) F=0,04410^-11 Н; в) F=0,03410^-11 Н;

г) F=0,02410^-11 Н; д) F=0,01410^-11 Н.

2.2.149. Имеется тонкий однородный диск радиуса R=0,5 м. Поверхностная плотность диска равна = 2,0 кг/м² (рис. 2.95). На прямой, проходящей через центр диска перпендикулярно к нему, на расстоянии x=5 м находится частица массы m=0,1 кг. Найти потенциальную энергию взаимодействия частицы и диска.

Ответ: а) W_p=1,0210^-11 Дж; б) W_p=2,0210^-11 Дж; в) W_p=3,0210^-11 Дж; г) W_p=4,0210^-11 Дж; д) W_p=5,0210^-11 Дж.

2.2.150. Искусственный спутник Земли запущен с экватора и движется по круговой орбите в плоскости экватора в направлении вращения Земли. Найти отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли при условии, что спутник периодически раз в двое суток проходит над точкой запуска радиус Земли 6400 км, Т=24 ч.

Ответ: а) R₁/R_З=1,05. R₁/R_З=6,5; б) R₁/R_З=2,05. R₁/R_З=7,5; в) R₁/R_З=3,05. R₁/R_З=8,5;

г) R₁/R_З=4,05. R₁/R_З=9,5; д) R₁/R_З=5,05. R₁/R_З=10,5.

2.2.151. Определить разность числовых значений фазовой и групповой скоростей для частоты =800 Гц, если фазовая скорость задается выражением .

Ответ: а) (v-u)=2,86 м/с; б) (v-u)=2,76 м/с; в) (v-u)=2,66 м/с;

г) (v-u)=2,56 м/с; д) (v-u)=2,46 м/с.

2.2.152. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой =400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде v=1000 м/с. Определить, при какой наименьшей разности хода будет наблюдаться максимальное усиление колебаний.

Ответ: а) x=3,3 м; б) x=3,1 м; в) x=2,9 м; г) x=2,7 м; д) x=2,5 м.

2.2.153. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой =400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде v=1000 м/с. Определить, при какой наименьшей разности хода будет наблюдаться максимальное ослабление колебаний.

Ответ: а) x=1,55 м; б) x=1,45 м; в) x=1,35 м; г) x=1,25 м; д) x=1,15 м.

2.2.154. Два динамика расположены на расстоянии d=0,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте =1500 Гц. Приемник находится на расстоянии =4 м от центра динамиков. Принимая скорость звука v=340 м/с, определить, на какое расстояние от центральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он зафиксировал первый интерференционный минимум.

Ответ: а) x=84,7 см; б) x=86,7 см; в) x=88,7 см; г) x=90,7 см; д) x=92,7 см.

2.2.155. Два приемника расположены на расстоянии d=2,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определенной частоте, который регистрируется приемником, находящимся на расстоянии =3,5 м от центра динамиков. Если приемник передвинуть от центральной линии параллельно динамикам на расстояние x=1,55 м, то он фиксирует первый интерференционный минимум. Скорость звука v=340 м/с. Определить частоту звука.

Ответ: а) =145 Гц; б) =155 Гц; в) =165 Гц; г) =175 Гц; д) =185 Гц.

2.2.156. Микроволновой генератор излучает в положительном направлении оси x плоские электромагнитные волны, которые затем отражаются обратно. Точки М₁ и М₂ соответствуют положениям двух соседних минимумов интенсивности и отстоят друг от друга на расстоянии =5 см. Определить частоту микроволнового генератора.

Ответ: а) =4,0 Гц; б) =3,5 Гц; в) =3,0 Гц; г) =3,5 Гц; д) =4,0 Гц.

2.2.157. Труба, длина которой =1 м, заполнена воздухом и открыта с одного конца. Принимая скорость звука v=340 м/с, определить, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна.

Ответ: а) =89 Гц; б) =87 Гц; в) =85 Гц; г) =83 Гц; д) =81 Гц.

2.2.158. Определить интенсивность звука, уровень интенсивности L которого составляет 67 дБ. Интенсивность звука на пороге слышимости I₀=10^-12 Вт/м².

Ответ: а) I=3,01 мкВт/м²; б) I=5,01 мкВт/м²; в) I=7,01 мкВт/м²;

г) I=9,01 мкВт/м²; д) I=5,61 мкВт/м².

2.2.159. Скорость распространения звуковой волны в газе с молярной массой =2,910^-2 кг/моль при t=20 ⁰С составляет 343 м/с. Определить отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и объеме.

Ответ: а) =1,3; б) =1,4; в) =1,5; г) =1,6; д) =1,7.

2.2.160. Средняя квадратичная скорость <v_кв> молекул двухатомного газа при некоторых условиях равна 480 м/с. Определить скорость распространения звука в газе при тех же условиях.

Ответ: а) v=328 м/с; б) v=338 м/с; в) v=348 м/с; г) v=358 м/с; д) v=368 м/с.

2.2.161. Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой ₀=400 Гц. Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка частотой =395 Гц. Принимая скорость звука v=340 м/с, определить скорость движения теплохода.

Ответ: а) v_т=4,1 м/с; б) v_т=4,3 м/с; в) v_т=4,5 м/с; г) v_т=4,7 м/с; д) v_т=4,9 м/с.

2.2.162. Электропоезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного приемника и подает звуковой сигнал. Приемник воспринимает скачок частотой =53 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определить частоту тона звукового сигнала электропоезда.

Ответ: а) =619 Гц; б) =609 Гц; в) =599 Гц; г) =589 Гц; д) =579 Гц.

2.2.163. Поезд проходит со скоростью 72 км/ч мимо неподвижного приемника и подает гудок, частота которого =300 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определить скачок частоты, воспринимаемый приемником.

Ответ: а) =40,5 Гц; б) =38,5 Гц; в) =36,5 Гц; г) =34,5 Гц; д) =32,5 Гц.

2.2.164. Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, движущегося со скоростью v₁=10 м/с, посылается ультразвуковой сигнал частотой ₁=50 Гц, который распространяется в воде. После отражения от второго катера сигнал принят первым катером с частотой ₂=52 кГц. Принимая скорость распространения звуковых колебаний в воде равной 1,54 км/с, определить скорость движения второго катера.

Ответ: а) v=28,2 м/с; б) v=26,2 м/с; в) v=24,2 м/с; г) v=22,2 м/с; д) v=20,2 м/с.

2.2.165. Изменение давления в звуковой волне дается выражением , гдеp измеряется в паскалях, x – в метрах, а t в секундах. Определить длину волны.

Ответ: а) =6 см; б) =8 см; в) =10 см; г) =12 см; д) =14 см.

2.2.166. Изменение давления в звуковой волне дается выражением , гдеp измеряется в паскалях, x в метрах, а t в секундах. Определить частоту волны.

Ответ: а) =860 Гц; б) =850 Гц; в) =840 Гц; г) =830 Гц; д) =820 Гц.

2.2.167. Изменение давления в звуковой волне дается выражением , гдеp измеряется в паскалях, x в метрах, а t в секундах. Определить скорость распространения волны.

Ответ: а) v=5000 мкм/с; б) v=5100 мкм/с; в) v=5200 мкм/с; г) v=5300 мкм/с; д) v=5400 мкм/с.

2.2.168. Изменение давления в звуковой волне дается выражением , гдеp измеряется в паскалях, x в метрах, а t в секундах. Определить амплитуду смещения волны.

Ответ: а) А=4,010^-11 м; б) А=3,510^-11 м; в) А=3,010^-11 м; г) А=2,510^-11 м; д) А=2,010^-11 м.

2.2.169. Продольная сейсмическая волна падает на границу раздела между двумя породами под углом =10⁰. Относительные плотности пород 3,6 и 4,9. Определить угол преломления, считая модули упругости этих пород одинаковыми.

Ответ: а) =5,6⁰; б) =6,6⁰; в) =7,6⁰; г) =8,6⁰; д) =9,6⁰.

2.2.170. Вычислить максимальное смещение молекул воздуха для звука на пороге слышимости. Частота звука 1000 Гц.

Ответ: а) x_max=1,810^-11 м; б) x_max=1,610^-11 м; в) x_max=1,410^-11 м;

г) x_max=1,210^-11 м; д) x_max=1,010^-11 м.

2.2.171. Человеческое ухо способно воспринимать разницу уровней громкости 1,0 Дб. Каково отношение амплитуд этих звуков, уровни громкости которых отличаются на эту величину?

Ответ: а) А₁/А₂=1,52; б) А₁/А₂=1,42; в) А₁/А₂=1,32; г) А₁/А₂=1,22; д) А₁/А₂=1,12.

2.2.172. Звуковая волна с частотой =5000 Гц испускается в направлении тела, которое приближается к источнику звука со скоростью 3,3 м/с. Чему равна частота отраженной волны?

Ответ: а) ^'=5020 Гц; б) ^'=5030 Гц; в) ^'=5040 Гц; г) ^'=5050 Гц; д) ^'=5060 Гц.

2.2.173. Подводная лодка, погружаясь вертикально, излучает короткие звуковые импульсы сигнала гидролокатора длительностью ₀=100 мс в направлении дна. Длительность отраженных сигналов, измеренных гидроакустиком на лодке, равна =99,5 мс. Какова скорость погружения лодки? Скорость звука в воде v=1485 м/с.

Ответ: а) u=3,42 м/с; б) u=3,52 м/с; в) u=3,62 м/с; г) u=3,72 м/с; д) u=3,82 м/с.

2.2.174. Плоская звуковая волна имеет период T=3 мс, амплитуду А=0,2 мм и длину волны =1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние x=2 м, найти смещение (x,t) в момент t=7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

Ответ: а) =-0,20 мм; б) =-0,15 мм; в) =-0,1 мм; г) =-0,25 мм; д) =-0,05 мм.

2.2.175. Плоская звуковая волна имеет период T=3 мс, амплитуду А=0,2 мм и длину волны =1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние x=2 м, найти скорость в момент t=7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

Ответ: а) v=0,383 м/с; б) v=0,373 м/с; в) v=0,363 м/с; г) v=0,353 м/с;

д) v=0,343 м/с.

2.2.176. Плоская звуковая волна имеет период T=3 мс, амплитуду А=0,2 мм и длину волны =1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние x=2 м, найти ускорение в момент t=7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

Ответ: а) a=0,429 км/с²; б) a=0,439 км/с²; в) a=0,449 км/с²;

г) a=0,459 км/с²; д) a=0,469 км/с².

2.2.177. Определить разность фаз  колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 2 м от источника. Частота колебаний =5 Гц. Волны распространяются со скоростью с_зв=40 м/с.

Ответ: а) =1,47 рад; б) =1,57 рад; в) =1,67 рад; г) =1,77 рад; д) =1,87 рад.

2.2.178. Скорость с_зв звука в некотором газе при нормальных условиях равна 308 м/с. Плотность газа =1,78 кг/м³. определить отношение С_p/С_v для данного газа.

Ответ: а) С_p/С_v=1,67; б) С_p/С_v=1,57; в) С_p/С_v=1,47; г) С_p/С_v=1,37;

д) С_p/С_v=1,27.

2.2.179. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, высота тона звукового сигнала меняется скачком. Определить относительное изменение частоты /. Скорость поезда u=54 км/ч.

Ответ: а) /=0,09; б) /=0,11; в) /=0,13; г) /=0,15;

д) /=0,17.

2.2.180. Мощность N изотропного источника звуковых волн равна 10 Вт. Какова средняя объемная плотность <w> энергии на расстоянии r=10 м от источника волн? Температуру T воздуха принять равной 250 К.

Ответ: а) 0,281 Дж/м³; б) 0,271 Дж/м³; в) 0,261 Дж/м³; г) 0,251 Дж/м³;

д) 0,241 Дж/м³.