1. Индивидуальные задания

Выбор индивидуального задания к модулю-2 осуществляется по номеру варианта студента n. При этом используются параметр Р_к − остаток от деления номера варианта n на число к, и выражение [n / k] − целая часть от деления n на k. Например, если n = 7, то Р₂=1, Р₃=1, Р₄=3, Р₅=2, Р₆=1, Р₇=0, Р₈=7, Р₉=7 и т.д. Если n = 7 и к = 4, то [n/k] = [7/4] = 1.

1. Теоретические упражнения

Выполнить теоретическое упражнение номер m, где . 1. Сформулировать и доказать свойства проекции вектора на ось. 2. Записать и доказать соотношения между координатами вектора и координатами точек “начала” и “конца” вектора.

3. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

4. Записать и доказать формулы, выражающие координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, через координаты концов этого отрезка.

5. Записать и доказать формулы для длины и направляющих косинусов вектора, выражающие эти величины через декартовы ко- ординаты вектора.

6. Доказать свойства скалярного произведения векторов.

7. Записать и доказать формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их декартовы координаты.

8. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие ортогональности векторов.

9. Записать и доказать формулы для косинуса угла между двумя векторами в пространствах V₂ и V₃.

10. Доказать свойство [] = − [] векторного произведения

векторов.

11. Используя свойства векторного произведения, доказать фор- мулу, выражающую векторное произведение векторов через их декартовы координаты.

12. Записать и доказать формулы для вычисления площади параллелограмма и треугольника с помощью векторного произведения векторов.

13. Записать и доказать формулу, выражающую смешанное про- изведение векторов через их декартовы координаты.

14. Доказать свойства смешанного произведения векторов.

15. Записать и доказать формулы для вычисления объема параллелепипеда и треугольной пирамиды с помощью смешанного произведения векторов.

16. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие компланарности векторов пространства V₃.

17. Доказать, что любая прямая на плоскости имеет уравнение , где нормальный вектор этой прямой.

18. Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М₀(х₀;у₀) с угловым коэффициентом k.

19. Доказать, что любая прямая на плоскости имеет параметрические уравнения

,

где − произвольная точка прямой, а вектор – направляющий вектор этой прямой. Записать каноническое уравнение прямой.

20. Доказать, что любая прямая в пространстве имеет параметри- ческие уравнения

где (), − произвольная точка прямой, а вектор − направляющий вектор этой прямой. Записать каноническое уравнение прямой.

21. Вывести формулу для косинуса угла между двумя прямыми на плоскости, заданными общими уравнениями. Доказать условия параллельности и перпендикулярности прямых.

22. Вывести формулу для тангенса угла между двумя прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом. Сформулировать и доказать условия параллельности и перпендикулярности прямых.

23. Вывести формулу для косинуса угла между двумя прямыми на плоскости, заданными каноническими (параметрическими) уравнениями. Сформулировать и доказать условия параллель- ности и перпендикулярности прямых.

24. Записать и доказать формулы для расстояния от точки до пря- мой на плоскости и от точки до плоскости в пространстве. 25. Записать и доказать формулу для расстояния от точки до пря- мой в пространстве.

26. Доказать, что любая плоскость в пространстве имеет уравнение где = (A;B;C) нормальный вектор этой плоскости.

27. Вывести уравнение плоскости проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.

28. Вывести формулу для косинуса угла между двумя плоскостя- ми. Сформулировать и доказать условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

29. Вывести формулу для косинуса угла между двумя прямыми в пространстве, заданными каноническими (параметрическими) уравнениями. Сформулировать и доказать условия параллель- ности и перпендикулярности прямых.

30. Вывести формулу для синуса угла между прямой и плос- костью. Сформулировать и доказать условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.