Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .Найти координаты центра масс тела, предполагая, что оно однородно.

РЕШЕНИЕ. Данное тело ограничено снизу параболоидом , сверху плоскостью z=h и проектируется в круг плоскостиXOY.

z

y

х Рис.2.4. Область интегрирования

Используем цилиндрические координаты:

в которых уравнение параболоида будет

т.е. .

Объем тела равен

Координаты центра масс тела вычисляются по формулам

где

где - плотность тела в точке (х,y,z). Для однородного тела можно положить

Находим:

Таким образом

2.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА МATHCAD ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ

КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ЗАДАЧА. Вычислить тройной интеграл

где (т.о. Т – часть области, ограниченной эллипсоидом, лежащая в неотрицательном октанте пространства).

РЕШЕНИЕ. Выполняя переход от кратного интеграла к повторным интегралам, получаем

(*)

Обратимся к Mathcad. Вызовем на экран математическую палитру. Из окна математической палитры вызовем Arithmetic Palette и Calculus Palette. Наберем на экране правую часть равенства (*). Для набора знака определенного интеграла используем Calculus Palette, действуя мышью. Все остальное набираем или клавиатурой или – математические знаки –с помощью Arithme- tic Palette, действуя мышью. По окончании набора нажмем клавишу ПРОБЕЛ и затем знак "=" (равно). Справа от знака "=" появляется результат: 1.994.

Задача решена.

3.ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.

3.1. ЗАДАЧА 1

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, сделав чертеж области интегрирования.

Таблица 3.1

№	Задание	№	Задание
1		10
2		11
3		12
4		13
5		14
6		15
7		16
8		17
9		18

Продолжение табл.3.1

№	Задание	№	Задание
19		29
20		30
21		31
22		32
23		33
24		34
25		35
26		36
27		37
28		38

Продолжение табл.3.1

№	Задание	№	Задание
39		50
40		51
41		52
42		53
43		54
44		55
45		56
46		57
47		58
48		59
49		60

Продолжение табл.3.1

№	Задание	№	Задание
61		72
62		73
63		74
64		75
65		76
66		77
67		78
68		79
69		80
70		81
71		82

Окончание табл.3.1

№	Задание	№	Задание
83		92
84		93
85		94
86		95
87		96
88		97
89		98
90		99
91		100

3.2 ЗАДАЧА 2

Вычислить двойной интеграл . Предварительно сделать чертеж области интегрирования.

Таблица 3.2

№№	f(x,y)	Уравнения линий, ограничивающих область D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11