3.3. Способы анализа стохастических взаимосвязей
Корреляционная (стохастическая) связь – это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений. Отличают парную и множественную корреляцию.
Парная корреляция – это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой – результативным.
Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.
Применение корреляционного анализа позволяет решить следующие задачи:
1) определить изменение результативного показателя под воздействием одного или нескольких факторов (в абсолютном измерении), то есть определить, на сколько единиц изменяется величина результативного показателя при изменении факторного на единицу;
2) установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора.
Пример
для иллюстрации корреляционного анализа прямолинейной зависимости
(изменение урожайности зерновых культур (Y) в зависимости от качества пахотной земли (х))
Таблица 3.3. Расчет производных величин для определения параметров
Уравнения связи и коэффициента корреляции
|
№ хозяйства n |
Качество земли (балл) х |
Урожайность (ц/га) у |
ху |
х2 |
у2 |
Теоретические (расчетные) знач. результ. пок-ля |
|
1 2 3 … 20 |
32 33 35 … 60 |
19,5 19,0 20,5 … 33,0 |
624 627 717 … 1980 |
1024 1089 1225 … 3600 |
380,25 361,00 420,25 … 1089,00 |
19,8 20,2 21,0 … 31,0 |
|
Итого |
900 |
500,0 |
22900 |
41500 |
12860,00 |
500,0 |
Подставив полученные значения в систему уравнений, получим
Умножив все члены первого уравнения на 45(900/20), получим следующую систему уравнений:
Отнимем от второго
уравнения первое. Отсюда
Таким образом, уравнение связи, которое описывает зависимость урожайности от качества почвы, будет иметь вид:
Пример для иллюстрации корреляционного анализа криволинейной зависимости
Если при увеличении одного показателя значения другого возрастают до определенного уровня, а потом начинают снижаться (например, зависимость производительности труда рабочих от их возраста), то для записи такой зависимости лучше всего подходит парабола второго порядка:
В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров а, b и с необходимо решить следующую систему уравнений:
Значения
находят на основании исходных данных
(табл. 2).
Таблица 3.4. Зависимость производительности труда (у)
От возраста работников (х)
|
Средний возраст по группе (х) |
Среднемесячная выработка (у) |
х/10 |
ху |
х2 |
х2у |
х3 |
х4 |
ух |
|
20 25 30 35 40 45 50 55 60 |
4,2 4,8 5,3 6,0 6,2 5,8 5,3 4,4 4,0 |
2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 |
8,4 12,0 15,9 21,0 24,8 26,1 26,5 24,2 24,0 |
4,00 6,25 9,00 12,25 16,00 20,25 25,00 30,25 36,00 |
16,8 30,0 47,7 73,5 99,2 117,4 132,5 133,1 144,0 |
8,00 15,62 27,00 42,87 64,00 91,13 125,00 166,40 216,00 |
16 39 81 150 256 410 625 915 1296 |
3,93 4,90 5,55 5,95 6,05 5,90 5,43 4,78 3,70 |
|
Всего |
46,0 |
36,0 |
183,0 |
159,00 |
794,0 |
756,00 |
3788 |
46,00 |
Подставив полученные значения в систему уравнений, получим
Параметры а, b и с находят способом определителей или способом исключения. Используем способ определителей.
Сначала найдем общий определитель по схеме:
Т.е.,
Затем находим
частные определители
(в них коэффициенты при соответствующих
буквах заменяются на итоговые значения
соответствующего уравнения в системе).
Отсюда:
Уравнение параболы будет иметь следующий вид:
Для измерения тесноты связи между факторными и результативными показателями определяется коэффициент корреляции.
В случае прямолинейной формы связи между изучаемыми показателями коэффициент корреляции рассчитывается по следующей формуле:
.
Что касается измерения тесноты связи при криволинейной форме зависимости, то здесь используется не линейный коэффициент корреляции, а корреляционное отношение:
,
где
.