3. На множестве целых чисел z, так же как и на множестве n0 целых неотрицательных чисел, определим бинарное отношение «меньше».

Определение 9. Говорят, что целое число х меньше целого числа у (пишут х < у), если существует такое натуральное число k, что выполняется равенство х + k = у. В символах математической логики определение 9 имеет вид:

(x < y) ($ k N)(x + k = y).

Если число х меньше числа у, то говорят, что у больше х и пишут у > х. Запись х £ у означает, что х меньше или равняется y (x не больше у), а запись х ³ у, в свою очередь, означает, что х больше или равняется у (х не меньше у).

Теорема 6. Для любых х, у Z имеет место точно одно из трех соотношений: х < у; х = у ; у < х.

Доказательство. Рассмотрим разность х – у. Согласно теореме 4 и определению 6, она может быть числом отрицательным, равным нулю или положительным. Если разность х – у есть число отрицательное, то число – (х – у) = у – х = k является положительным, а значит, по определению 5 разности, х + k = у, то есть х < у.

Если х – у = 0, то очевидно, что х = у.

Если же х – у – положительное число, то можем записать, что х – у = k , k N. Но тогда, по определению разности, х = у + k, или х > у. Теорема доказана.

Как и на множестве целых неотрицательных чисел N₀, отношение «меньше» на множестве Z является отношением строгого линейного порядка, а значит, Z – линейно упорядоченное множество.

Кроме того, множество Z бесконечное, так как содержит бесконечное подмножество N₀. Легко показать, что Z – дискретное множество, в нем выполнен принцип наибольшего (наименьшего) числа и свойство Архимеда.

Всеми указанными свойствами обладает и множество N₀ целых неотрицательных чисел. Однако, в отличие от множества N₀, множество Z, не содержит наименьшего числа. Действительно, для всякого х Z существует число х – 1 Z, которое будет меньше, чем х.

Итак, множество Z целых чисел обладает следующими свойствами: оно бесконечное, линейно упорядоченное, дискретное, в нем нет наибольшего и наименьшего чисел.

Как уже отмечалось, множество целых чисел Z образует группу относительно операции сложения. Кроме того, по свойствам 3, 4 и 5 операций сложения и умножения, множество Z является коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей. Однако множество Z не является полем, поскольку не выполняется условие существования обратного элемента.

Для геометрической интерпретации целых чисел возьмем произвольную прямую l и точку О на ней. Точка О делит прямую на два луча, один из которых назовем положительным (правым), а другой – отрицательным (левым). Выберем произвольный отрезок е и будем считать его единичным отрезком, или единицей длины. От точки О на положительном луче (вправо) отложим отрезок ОА = пе, являющийся суммой п единичных отрезков. Точке А на прямой поставим в соответствие натуральное число п (рис. 1).

А^/ О А

– n 0 e n x

Рис. 1

Откладывая отрезок ОА¹ = пе (п N) от точки О на отрицательном луче (влево), найдем на прямой l точку А', которой поставим в соответствие отрицательное число –п. Точке О поставим в соответствие число нуль.

Таким образом, каждому целому числу х ставится в соответствие точка М прямой l, отстоящая от точки О на единиц и расположенная на правом луче, если х – положительное, и на левом – если х – отрицательное число.

Число х, соответствующее точке М, называется координатой этой точки. Тот факт, что точка М имеет координату х, будем записывать в виде М(х).

Изображение целых чисел с помощью точек прямой позволяет задавать не только длины отрезков, но и указывать их направление. Следовательно, геометрически целое число – это направленный отрезок, лежащий на прямой l и выходящий из точки О.

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x

Рис. 2

Вышеуказанные свойства множества целых чисел иллюстрируются на числовой прямой (см. рис. 2).