Оценка погрешности метода Ньютона.

Для характеристики приближенных методов решения уравнений вводится понятие порядка сходимости метода.

Определение 2.7. Говорят, что метод имеет k-ый порядок сходимости, если существуют , такие, что при условии .

Очевидно, что чем больше k, тем быстрее сходится процесс итераций. В вычислительной практике широко распространены методы второго порядка.

Теорема 2.5. Для метода Ньютона имеет место следующая оценка:

, где , .

Доказательство.

По формуле конечных приращений Лагранжа для некоторого найдется точка (или ) такая, что . Учитывая, что , получим . Выразим из последней формулы модуль разности между n-ым приближением и истинным корнем: .

Запишем формулу Тейлора в окрестности точки .

.

Тогда

,

где – остаточный член формулы Тейлора, (или ).

В силу самого метода Ньютона . Тогда . Используя полученное неравенство и выведенное ранее , можно записать .

Теорема 2.6. Метод Ньютона является методом второго порядка сходимости.

Доказательство.

Полученную выше оценку погрешности метода Ньютона запишем в виде: .

По неравенству треугольника имеем . Так как , то . Возвращаясь к первоначальной оценке метода Ньютона имеем

.

Обозначив , получаем . Таким образом метод Ньютона является методом второго порядка и сходится гораздо быстрее, чем другие методы приближенного решения уравнений.

Из оценки метода Ньютона можно заключить, что итерации следует завершать, если выполнилось условие , то есть . Однако, для использования этого условия приходится находить величины и , что не всегда бывает просто. Поэтому иногда это условие нестрого упрощают и записывают в виде . Очевидно, что

,

если , то есть, если .

Пример.

Определить условие выхода из цикла при решении уравнения методом Ньютона, зная, что корень уравнения находится на отрезке .

Пусть , тогда , . Абсцисса вершины параболы не принадлежит рассматриваемому отрезку, а значит достигает наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка: , , . – линейная функция, а, значит, и она достигает наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка: , , . , а, значит, условие выхода из цикла:

.

Заметим, что поскольку , то, упростив условие выхода из цикла до

,

мы бы не ошиблись при приближенном нахождении корня с точностью 0,1 и любой лучшей.

Глава 3.

Численные методы решения систем уравнений.

Лекция 9.

«Постановка задачи. Метод Гаусса с выбором главного элемента.»

Постановка задачи.

Так как существует целый класс задач, сводящихся к решению систем линейный алгебраических уравнений, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, а определитель системы отличен от нуля, то, прежде всего, следует научиться решать такие системы, тем более, что системы нелинейных уравнений часто сводятся к системам линейных уравнений.

Итак, пусть требуется решить систему линейных алгебраических уравнений , гдеA – матрица коэффициентов системы ,– искомый вектор,– заданный вектор правых частей. Предположим, что определитель матрицыA отличен от 0 () и, следовательно, решениеX существует и единственно.

Для большинства вычислительных задач характерным является большой порядок матрицы A. Из курса алгебры известно, что систему можно решить по крайней мере тремя способами: по формулам Крамера, матричным или методом последовательного исключения неизвестных Гаусса. Из них наиболее удобным для реализации на ЭВМ является метод Гаусса.

Методы численного решения систем делятся на две группы: прямые и итерационные. В прямых (или точных) методах решениеX системы находится за конечное число арифметических действий. Примером прямого метода является метод Гаусса. Отметим, что вследствие погрешностей округлений при решении задач на ЭВМ, прямые методы на самом деле не приводят к точному решению системы, и называть их точными можно только отвлекаясь от погрешностей округления.

Итерационные методы (методы последовательных приближений) состоят в том, что решение x – системы находится как предел припоследовательности приближений, гдеn – номер итерации. Как правило, за конечное число итераций этот предел не достигается. Обычно задается некоторое малое число , и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнено условие, где– одна из норм в пространстве, например:или.

Прямые методы на практике применяются для матриц умеренного порядка (m – порядка 100). Для матриц высокого порядка предпочтительнее итерационные методы.