Лекция 7. «Метод простых итераций.» Метод простых итераций.

Перейдем непосредственно к задаче решения уравнения методом простой итерации, основным моментом которого является сведение исходного уравнения к эквивалентному уравнению вида .

.

Пусть задача локализации корня уже решена, то есть известно, что единственный корень уравнения находится в отрезке . Используя принцип сжатых отображений Банаха, можно построить итерационный процесс с любым начальным приближением . Предел последовательности будет единственной неподвижной точкой отображения, то есть решением уравнения , а значит и уравнения . Однако для этого нужно, чтобы отображение в уравнении было сжатым отображением .

В общем случае оставляем открытым вопрос о том, как свести уравнение к виду так, чтобы отображение было сжатым . Однако, если функция непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке и на , то сведение уравнения к виду осуществляют следующим образом:

, где ,

Если в качестве константы  взять , то

,

То есть .

1. Докажем сперва, что  есть отображение , то есть что для любого также принадлежит . Так как на отрезке , то возрастает на . Так как

(отрезок содержит корень по предположению), то

.

по т. Лагранжа

То есть находится от не далее, чем a.

по т. Лагранжа

То есть находится от не далее, чем b.

Следовательно, . Так как и возрастает на , то , то есть . А, значит, . Итак, отображение  отображает отрезок в .

2. Докажем теперь, что  есть сжатое отображение . По теореме Лагранжа для любых найдется точка такая, что , то есть .

Так как на , то , где . Итак, условие сжатости отображения доказано.

Заметим, что если функция будет удовлетворять условию , то аналогично можно показать, что в качестве коэффициента  следует взять .

Пример.

Написать программу на языке «Паскаль» для решения уравнения методом простых итераций с точностью , если известно, что корень уравнения находится на отрезке .

Легко показать, что на рассматриваемом отрезке, а, значит, в задаче можно применять описанную выше схему. Абсцисса вершины параболы не входит в отрезок , а, значит,

, , , .

Составим программу.

Uses crt;

Const e=0.001; la=-1/15; k=11/15;

Var x1,x2:real;

Function f(x:real):real;

Begin

F:=x*sqr(x)+2*sqr(x)+2;

End;

Function fi(x:real):real;

Begin

Fi:=x+la*f(x);

End;

Begin

ClrScr;

X2:=-2.5;

Repeat

x1:=x2;

x2:=fi(x1);

Until abs(x2-x1)<e*(1-k)/k;

WriteLn(x2:3:3);

ReadKey;

End.

После выполнения программы будет получен ответ .

Лекция 8.

«Метод Ньютона.

Оценка погрешности метода Ньютона.»

Метод Ньютона.

Рассмотрим уравнение , причем удовлетворяет следующим условиям: , , то есть функция принимает на концах отрезка значения с противоположными знаками, производные и сохраняют знак в отрезке .

При этих условиях возможны четыре случая, указанные на рисунках 2.2, 2.3, 2.4, 2.5.

Заметим, что на рисунке 2.2 функция возрастает и вогнута, на рисунке 2.3 – убывает и вогнута, на рисунке 2.4 – возрастает и выпукла, на рисунке 2.5 – убывает и выпукла.

1. , . 2. , .

Рис. 2.2. Рис. 2.3.

3. , . 4. , .

Рис. 2.4. Рис. 2.5.

Примем за тот конец отрезка , в котором функция имеет тот же знак, что и . Метод Ньютона, называемый также методом касательных, состоит в следующем. Рассмотрим в точке касательную к кривой , задаваемую уравнением . Положив , найдем точку пересечения касательной с осью Ox.

Построив касательную в точке , получаем по аналогичной формуле точку пересечения этой касательной с осью Ox.

Продолжая этот процесс, получаем

Полученная итерационная последовательность является убывающей (возрастающей) и ограниченной снизу (сверху). По соответствующей теореме из анализа эта последовательность имеет предел . Покажем, что он равен корню уравнения.

Перейдем в равенстве к пределу, пользуясь непрерывностью и . Имеем . Из последнего равенства следует, что , то есть .