Глава 2.

Численные методы решения уравнений.

Лекция 5.

«Постановка задачи. Метод половинного деления.»

Постановка задачи.

Пусть задана некоторая функция , являющаяся левой частью уравнения .

Задача решения уравнения заключается в отыскании такого значения , где X – область определения , что . Ясно, что аналитическое, или как принято говорить «точное» решение уравнения возможно получить лишь, когда удается аналитически представить , где – обратная для функция.

В общем случае задача решается с использованием специально разработанных методов, позволяющих отыскивать некоторое приближение для с гарантированной погрешностью. При этом, как правило, исходная задача сводится к решению двух последовательных задач: задаче локализации (отделения) корня и задаче уточнения корня.

Рассмотрим каждую из задач более подробно. Задача локализации (отделения) корня уравнения состоит в следующем: найти отрезок, содержащий единственный корень уравнения . В основе аналитического способа отделения корней лежит следующая теорема существования.

Теорема 2.1. (Теорема Коши.) Если и , то существует точка такая, что.

Идея метода заключается в том, что исходный отрезок разбивается на n частей – элементарных отрезков и в каждом отрезке исследуется знак функции на его концах.

Теорема Коши не гарантирует единственности корня. Единственность корня следует из монотонности функции на отрезке . То есть справедлива следующая теорема единственности.

Теорема 2.2. Если существует точка такая, что и монотонна на отрезке , то – единственный корень на отрезке .

На практике при аналитическом отделении корней шаг разбиения отрезка берут достаточно малым.

Кроме аналитического отделения корней существует и графический способ, основанный на построении качественного графика функции и приближенного (на глаз) определения точек пересечения графика с осью Ox. Если график функции построить трудно, то представляют уравнение в виде . И тогда решением уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков и .

Пример. .

Рис. 2.1.

Задача уточнения корней заключается в том, чтобы найти точку такую, что , где – заданная точность решения уравнения .

Метод половинного деления.

Если функция является функцией общего вида, и никакой дополнительной информацией о ней мы не располагаем, то метод половинного деления является оптимальным методом перебора. Суть его заключается в следующем. Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет на концах этого отрезка значения разных знаков. Предположим также, что задача локализации уже решена, то есть отрезок содержит единственный корень уравнения . В качестве начального приближения корня принимаем середину отрезка . То есть . Если , то – точный корень уравнения. В противном случае находим знаки функции на концах отрезков и . Тот из них, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень, поэтому его принимают в качестве нового отрезка . Вторую половину отрезка , на которой знак не меняется, отбрасываем. В качестве первой итерации принимаем середину нового отрезка и так далее.

Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором располагается корень, уменьшается вдвое, то есть после n итераций он сокращается в раз. Итерационный процесс следует прекратить, если . За приближенное значение корня надо принять .

Заметим, что при рассмотрении практически любого численного метода следует четко знать ответы на следующие четыре вопроса.

1. Что взять в качестве нулевого приближения?

2. По какому принципу строить итерационный процесс?

3. Когда его следует остановить?

4. И что брать за приближенное решение задачи в случае остановки итерационного процесса?

При рассмотрении метода половинного деления мы ответили на все четыре вопроса.